山东省淄博市2020届高三第一次模拟考试（4月）数学试题
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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，集合，则集合
A． B． C． D．
2. 命题“”的否定是
A． B．
C． D．
3．设，则
A． B． C． D．
4．二项式的展开式中的系数为15，则
A． B． C． D．
5．已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为
A． B． C． D．
6．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知函数．若存在个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，分别的中点，，则球的体积为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是
A．年接待游客量逐年增加
B．各年的月接待游客量高峰期大致在8月
C．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是
A．
B．
C．
D．三棱锥的体积为定值
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于点、，则
- 当时，的面积为
- 不存在使为直角三角形
- 存在使四边形面积最大
- 存在，使的周长最大
- 函数在上有定义，若对任意，有则称在上具有性质。设在上具有性质，则下列说法错误的是：
A.在上的图像是连续不断的；
B在上具有性质P；
C.若在处取得最大值1，则，；
D.对任意，有
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___种．（用数字填写答案）
14．已知，且，则的最小值为________．
15．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则双曲线的离心率为__________；椭圆的离心率为_______（本题第一空2分，第二空3分）．
16．已知函数，则的最小值是_____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列满足，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
18.（12分）已知分别在射线(不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.
（1）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；
（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值.
19．（12分）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
(1) 证明：平面平面；
(2) 当三棱锥体积最大时，
求面与面所成二面角的正弦值．
20．（12分）如图，已知抛物线．点，，抛物线上的点
，过点作直线的垂线，垂足为．
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）求的最大值．
21．（12分）下图是我国2013年至2019年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1~7分别对应年份2013~2019．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2021年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：，，，．
参考公式：，，
线性相关系数．
22．（12分）
已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且．
（1）讨论的单调性；
（2）求实数和a的值；
（3）证明.
高三数学试题参考答案
1.C. 2.A. 3.D. 4.B. 5.B. 6.A. 7.B. 8.D 9.ABD. 10.ABD.
11.AC. 12.AB. 13. 16 . 14. . 15.， 2 16. .
17.解：（1）证明：∵，∴.……………………1分
又∵，
∴.………………4分
又∵，……………………5分
∴数列是首项为2，公比为4的等比数列.……………………6分
（2）由（1）知，， ……………………7分
∴， ……………………8分
∴.……………………10分.
- 解：（1）依次成等差数列，且公差为2，
∴， …………………1分
又因，
即，,可得, ………………………3分
恒等变形得：，解得。
又， ……………………5分
（2）在△ABC中，由正弦定理可得，
…………7分
∴△ABC的周长
, ………………………9分
又, ………………………10分
当,即时，
取得最大值. ……………………………12分
19．解：(1)由题设知，平面⊥平面面面．
因为⊥，平面，所以⊥平面，
故⊥． ……………………………………2分
因为为上异于，的点，且为直径，所以 ⊥
又=，面，面，
所以⊥平面． ……………………………4分
而平面，故平面⊥平面．………………………5分
(2)以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
当三棱锥体积最大时，
为的中点．
由题设得，，
，，，
，， ………………7分
设是平面的法向量，则
即
可取． ………………………………9分
是平面的法向量，所以
， ………………………………11分
，
所以面与面所成二面角的正弦值是．……………12分
20．解：（1）设直线AP的斜率为，
， …………………………………………2分
因为，
所以直线AP斜率的取值范围是． …………………………4分
（2）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标为 , ……………………5分
联立直线AP与抛物线方程，由韦达定理得点横坐标为
…………………………………………6分
故==
= =， …………………8分
所以= ……………………………9分
令，
因为， ……………………………10分
所以在区间上单调递增，上单调递减，
因此当时，取得最大值．………………………12分
21.解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得：
，， …………………1分
，
，…………………3分
． …………………5分
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系． …………………6分
（2）由及（1）得，
…………………8分
． …………………9分
所以，关于的回归方程为：． ……………11分
将2021年对应的代入回归方程得：．
所以预测2021年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨．
…………………12分
22．解：（1）由已知可得函数的定义域为，
且，…………………………………1分
令，则有，由，可得，
可知当x变化时，的变化情况如下表：
1 | |||
- | 0 | + | |
极小值 |
…………………………………2分
，即，可得在区间单调递增；
…………………………………3分
（2）由已知可得函数的定义域为，且，
…………………………………4分
由已知得，即，①
由可得，，②
联立①②，消去a，可得，③
…………………………………6分
令，
则，
由（1）知，，故，
在区间单调递增，
注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，
； …………………………………8分
（3）证明：由（1）知在区间单调递增，
故当时，，，
可得在区间单调递增，…………………………………9分
因此，当时，，
即，亦即，
这时，故可得，……………………10分
取，可得，
…………………………………10分
而，…………………………………11分
故
．…………………………………12分
