山东省2020届高三高三高考模拟数学试题

山东省2020年高三高考模拟数学试题

一、单项选择题：

1.已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分为空集和不为空集两种情况讨论，分别求出的范围，即可得出结果.

【详解】因为集合，，，

若为空集，则方程无解，解得；

若不为空集，则；由解得，所以或，解得或，

综上，由实数的所有可能的取值组成的集合为.

故选D

【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型.

2.若（其中是虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(  )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

分析：变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标即可得结论.

详解：由，

得，

复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，

位于第四象限，故选D.

点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.

3.函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于轴对称，排除；根据时，，排除，从而得到正确选项.

【详解】定义域为，且

为偶函数，关于轴对称，排除；

当时，，，可知，排除.

本题正确选项：

【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.

4.《九章算术衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱,乙持钱,丙持钱,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（  ）

A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲

C. 乙应出的税钱约为 D. 丙付的税钱最少

【答案】B

【解析】

【分析】

通过阅读可以知道说法的正确性,通过计算可以知道说法的正确性.

【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的不超过甲。可知错误:乙应出的税钱为.可知正确.

故选:B

【点睛】本题考查了数学阅读能力,考查数学运算能力.属于基础题.

5.若，则（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

令，则把条件和目标都转化为关于的式子，根据诱导公式和二倍角公式，进行化简，得到答案.

【详解】解：令，则

由，可得

故选D．

【点睛】本题主要考查换元法、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于简单题．

6.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（   ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】B

【解析】

【分析】

分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果.

【详解】若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；

若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意；

若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；

若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；

故选B

【点睛】本题主要考查逻辑推理的问题，推理案例是常考内容，属于基础题型.

7.若，，满足，，.则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】

利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.

【详解】，，，

，，

，，，

，

故选：A.

【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题.

8.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为

A. 2 B. 3 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果．

【详解】

根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，

因为，在双曲线上，

所以根据双曲线性质可知，，即，，

因为圆的半径为，是圆的半径，所以，

因为，，，，

所以，三角形是直角三角形，

因为，所以，，即点纵坐标为，

将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，

将点坐标带入双曲线中可得，

化简得，，，，故选D．

【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题．

二、多项选择题

9.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

则下列判断中正确的是（）

A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损

B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同

C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供

D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．

【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；

小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；

该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；

所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．

故选ACD．

【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．

10.已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 不是周期函数 B. 奇函数

C. 的图象关于直线对称 D. 在处取得最大值

【答案】AC

【解析】

【分析】

作出函数的图象，结合函数周期性，奇偶性对称性以及最值等性质分别进行判断即可．

【详解】作出函数的图象如图：

则由图象知函数不是周期函数，故正确；

不是奇函数，故错误，

若，，

，

此时，

若，，

，此时，

综上恒有，即图象关于直线对称，故正确，

在处不是最大值，故错误，

故选：A．

【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及函数周期性、奇偶性对称性以及最值性的性质，利用定义法结合数形结合是解决本题的关键．

11.设A，B是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（    ）

A. 若，则

B. 若，直线AB过定点

C. 若，到直线AB的距离不大于1

D. 若直线AB过抛物线的焦点F，且，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】

设直线方程为，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，逐一分析判断得解.

【详解】B.设直线方程为，，，，，

将直线方程代入抛物线方程，得，

则，，

，，．

于是直线方程为，该直线过定点．故不正确；

C.到直线的距离，即正确；

A.

．正确；

D.由题得,所以，不妨取.

所以，所以直线AB的方程为，所以.

由题得

=.

所以.所以D正确.

故选：ACD．

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．解题的关键是灵活利用韦达定理和抛物线的定义.

12.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（    ）

A. 存在某个位置，使得

B. 翻折过程中，的长是定值

C. 若，则

D. 若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是

【答案】BD

【解析】

【分析】

对于选项A，取中点，取中点，连结，，通过假设，推出平面，得到，则，即可判断；

对于选项B，在判断A的图基础上，连结交于点，连结，易得，由余弦定理，求得为定值即可；

对于选项C，取中点，，，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断；

对于选项D，易知当平面与平面垂直时，三棱锥的体积最大，说明此时中点为外接球球心即可.

【详解】如图1，取中点，取中点，连结交于点，连结，，,

则易知，，，，，

由翻折可知，，，

对于选项A，易得，则、、、四点共面，由题可知，若，可得平面，故，则，不可能，故A错误；

对于选项B，易得，

在中，由余弦定理得，

整理得，

故为定值，故B正确；

如图2，取中点，取中点，连结，，，，，

对于选项C，由得，若，易得平面，故有，从而，显然不可能，故C错误；

对于选项D，由题易知当平面与平面垂直时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，此时平面，则，由，易求得，，故，因此，为三棱锥的外接球球心，此外接球半径为，表面积为，故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.

三、填空题：

13.已知两个单位向量的夹角为，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

直接把代入化简即得m的值.

【详解】，

所以，

故答案为．

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

14.已知曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为____________.

【答案】2

【解析】

【分析】

求得双曲线的渐近线方程，结合，，的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．

【详解】双曲线的渐近线方程为，

由题意可得，即，

即有双曲线的．

故答案为：2

【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______.

【答案】.

【解析】

【分析】

作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.

【详解】作出圆柱与其外接球轴截面如下：

设圆柱的底面圆半径为，则，所以轴截面的面积为，解得，

因此，该圆柱的外接球的半径，

所以球的表面积为.

故答案为

【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.

16.已知函数，若，则不等式的解集为__________，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是__________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

将a=1代入原函数，可得的解析式，可得不等式的解集；

分a的情况进行讨论，可得有两个零点时候，a的取值范围.

【详解】解：由题意得：，当a=1时，，

可得：（1）当时，，可得；（2）当时，，可得，综合可得的解集为；

由，只有一个零点时，，可得，当时，此时，只有一个零点，当时，有两个零点，同理，当时，此时，只有一个零点，当时，有两个零点，

故可得的取值范围是

【点睛】本题主要考查分段函数与函数的性质，综合性强，注意分类讨论思想的运用.

四、解答题：

17. 在中，内角，，的对边分别为，，，设的面积为，.

（1）求的值；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由三角形的面积公式与余弦定理，化简已知等式，可得，根据同角三角函数基本关系式即可求得；

（2）由同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形面积公式求得的值，代入所给等式，即可求解的值.

【详解】（1）在中，

由三角形面积公式得，，

由余弦定理得，，

，

，

整理可得，

又，，故，

.

（2）由（1）得，

,

，

，，

，

解得，

，

.

【点睛】本题考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，考查了计算能力和转化能力，属于基础题.

18.已知在四棱锥中，，，是的中点，是等边三角形，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

分析】

（1）取的中点为，连结，，，设交于，连结.证明，，即可证平面；（2）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，利用向量法求二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：取的中点为，连结，，，设交于，连结.

因为，，

四边形与四边形均为菱形，

， ，，

因为为等边三角形，为中点，

，

因为平面平面，且平面平面.

平面且，

平面

因为平面，

，

因为H，分别为， 的中点，

 ，

.

又因为 ，

平面，

平面.

（2）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，

，，

设平面的一法向量.

由 .令，则.

由（1）可知，平面的一个法向量，

二面角的平面角的余弦值为.

【点睛】本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

19.已知数列的前项和为，且（），数列满足，（）．

（Ⅰ）求数列通项公式；

（Ⅱ）记数列的前项和为，证明：．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由与的关系式得到时，，由等比数列的定义，可得为等比数列，由求得，写出通项公式即可；

（2）由，代入，，得到，从而得到的通项，应用裂项相消法求得，即可证明.

【详解】（Ⅰ）（），①

当时， ，②

①②得，

即，，

，，

又，，

数列是首项为1，公比为2的等比数列，

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

（），

，

，

 .

【点睛】本题考查了和的关系、等比数列的通项公式以及裂项相消法求和的应用，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.

20.某销售公司在当地、两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了、两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：

以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记表示这两家超市每日共销售食品件数，表示销售公司每日共需购进食品的件数.

（1）求的分布列；

（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在与之中选其一，应选哪个？

【答案】(1)见解析；(2) .

【解析】

【分析】

（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11，得取值为16,17,18,19,20,21，22，求出相应的概率即可；

（2）分别列出n=19，n=20的分布列，求出相应的期望，比较即可.

【详解】（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为 .

取值为16,17,18,19,20,21,22.

，；

； ；

；

所以分布列为  

（2） 当时，记为销售该食品利润，则的分布列为

当时，记为销售该食品利润，则的分布列为

因为 ，故应选.

【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，运用统计的知识解决实际问题，属于基础题.

21.已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据椭圆截直线所得的线段的长度为，可得椭圆过点 ，结合离心率即可求得椭圆方程；

（Ⅱ）分类讨论：当直线的斜率不存在时，四边形的面积为 ； 当直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由 得 ，代入曲线C，整理出k，m的等量关系式，再根据 写出面积的表达式整理即可得到定值．

【详解】(Ⅰ)由解得

得椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，

此时四边形的面积为．

当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程

，

点到直线的距离是

由得

因为点在曲线上，所以有

整理得

由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为

由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．

【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．

22.已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，当时，求的最大值.

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增；在上单调递减；

（2）

【解析】

【分析】

（1）先对函数求导，分别讨论和，即可得出结果；

（2）先由（1）得到，，对化简整理，再令，得到，根据（1）和求出的范围，再令，用导数的方法求其最大值，即可得出结果.

【详解】（1）由得；

因为，所以；

因此，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；

当时，由得，解得或；由得；

所以在，上单调递增；在上单调递减；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增；在上单调递减；

（2）若有两个极值点，

由（1）可得， 是方程的两不等实根，

所以，，

因此

，

令，则；

由（1）可知，

当时，，

所以，

令，，

则在上恒成立；

所以在上单调递减，

故.

即的最大值为.

【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性、极值、最值等，属于常考题型.