宁夏银川一中2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得；由，解得，故.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.复数，若复数， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知，据此结合复数的乘法运算法则计算的值即可.【详解】由题意可知，所以，故选A．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数的对称性，属于基础题.3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增函数是    （   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】试题分析：A：函数为偶函数，在上单调递减，B：函数为偶函数，在上单调递减，C：函数为偶函数，在上单调递增，D：函数为奇函数．所以综上可得：C正确．考点：函数奇偶性、函数的单调性．4.若，，且，则与的夹角是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.【详解】由题有，即，故，因为，所以.故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.5.为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如下表.已知在小区的居民中随机抽取名，抽到岁~岁女居民的概率是.现用分层抽样的方法在全小区抽取名居民，则应在岁以上抽取的女居民人数为（    ） 岁—岁岁—岁岁以上女生男生  A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先根据抽到岁~岁女居民的的概率是，可求出岁~岁女居民的人数， 进而求出岁以上的女居民的人数为，根据全小区要抽取人，再根据分层抽样法，即可求出结果．【详解】因为在全小区中随机抽取1名，抽到岁~岁女居民的概率是0.19 即：， ∴． 岁以上的女居民的人数为， 现用分层抽样的方法在全小区抽取名居民， 应在应在岁以上抽取的女居民人数为名．故选：C.【点睛】本题考查分布的意义和作用，考查分层抽样，属于基础题．6.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（  ）A.  B.  C. 27 D. 18【答案】B【解析】【分析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积.故选B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知，则（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】将问题中的角看作未知角，条件中的角看作已知角，由未知角与已知角的关系，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值.【详解】因为，又因为，所以，则有故选A.【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.8.已知数列为等差数列，前项和为，且则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式和等差中项的概念，即可求出结果.【详解】因数列为等差数列且，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题.9.函数f（x）=的大数图象为（　　）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.在三角形中，，，分别是角，，的对边，若，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据余弦定理，即可求出，然后再根据，即可求出结果.【详解】由余弦定理可知，，即，所以，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的中应用，同时考查了三角形面积公式的应用，属于基础题.11.已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由题意作出草图，设点，从而由可写出点；再由椭圆第二定义可得，从而可得，从而化简得到 ，再由及椭圆的第二定义可得，从而解得．【详解】由题意作出草图，如下图所示，其中是椭圆的准线，设点 ， ∵， ∴点； 又∵ ， ∴， 又∵ ，， ∴ ， 解得，， ∵，∴； 将 代入化简可得，， 即 ； 解得 (舍去)或 ，所以椭圆的离心率为. 故选：C．【点睛】本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．12.已知定义在上的函数满足，时，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得，即是周期为的周期函数，结合函数的解析式求出的值，分析可得的值，进而可得，又由，分析可得答案．【详解】根据题意，函数满足， 则，即是周期为的周期函数， 当时，，则 ，， 又由，则，， 所以， 所以.故选：D．【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，满足约束条件，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果．【详解】作出 满足约束条件的可行域，如下图：  当直线经过点时，．故答案为：．【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题．14.如图，y=f（x）是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），其中是g（x）的导函数，则＝       ．【答案】0【解析】试题分析：由题意直线: y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，由图像可知其切点为（3,1）代入直线方程得k=,,所以.考点：导数的运算.15.已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为__________.【答案】【解析】试题分析：由题意可得：双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，即.考点：双曲线的定义及性质.16.如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地，现欲在其中修建一个正方形花坛，若已知花坛面积为正方形草地面积的，则________【答案】或【解析】【分析】设，，用，表示出草地和正方形的面积，根据面积比列出方程得出．【详解】设，则． ∵花坛面积为正方形草地面积的， ∴ ，即． ∴，解得 或 ，即或者∴或． 故答案为：或．【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分)17.记为等比数列的前项和，，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）已知，且的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等比数列通项公式及求和公式，代入即可求得公比，进而求得通项公式．（2）根据等比数列的乘积，表示为指数为等差数列求和，进而求得，再根据二次函数的单调性求得最大值即可．【详解】（1）设的公比为，由题意得：所以，即则所以.（2）当或4时，取得最大值，且.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，等差数列求和公式的应用及最值求法，属于基础题．18.在直三棱柱中，是的中点，是上一点.（1）当时，证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明 与两线垂直，利用线面垂直的判定定理得出 平面 ；（2）若 ，则 ，可求 ，即可求三棱锥 体积.试题解析：（1）证明：因为是的中点，所以，在直三棱柱中，因为底面，底面，所以,因为，所以平面，因为平面，所以.在矩形中，因为，所以，所以，所以,（或通过计算，得到为直角三角形）所以，因为，所以平面.（2）解：因为平面，,因为是的中点，所以，在中，,所以，因为，所以，所以，所以，所以.19.某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：)进行统计规定：植株吸收在（包括）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该株植株样本进行统计，其中“植株存活”的株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共株.编号吸收量 （1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？ 吸收足量吸收不足量合计植株存活  植株死亡   合计   （2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取株，求这株中恰有株“植株存活”的概率.参考数据： ，其中【答案】（1）填表见解析；不能在犯错误概率不超过的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关（2）【解析】【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【详解】解析：(1)由题意可得“植株存活”的株，“植株死亡”的株；“吸收足量”的株，“吸收不足量”的株，填写列联表如下： 吸收足量吸收不足量合计植株存活植株死亡合计  所以不能在犯错误概率不超过的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关(2)样本中“制剂吸收不足量”有株，其中“植株死亡”的有株，存活的株设事件：抽取的株中恰有株存活记存活的植株为，死亡的植株分别为，，，则选取的株有以下情况：，，，，，，，共种，其中恰有一株植株存活的情况有种所以(其他方法酌情给分.)【点睛】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20.已知动点到定点的距离比到定直线的距离小.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点任意作互相垂直的两条直线，，分别交曲线于点，和，.设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点；（3）在（2）条件下，求面积的最小值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，由此利用抛物线的定义能求出点的轨迹的方程． （2）设 两点坐标分别为 ，则点的坐标为．由题意可设直线的方程为，，由，得．由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能证明直线恒过定点． （3）求出，利用基本不等式能求出三角形面积的最小值．【详解】解：(1)由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离.根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线.，抛物线方程为：(2)设，两点坐标分别为，，则点的坐标为.由题意可设直线的方程为.由，得..因为直线与曲线于，两点，所以，.所以点的坐标为.由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.当时，有，此时直线的斜率.所以，直线的方程为，整理得.于是，直线恒过定点；当时，直线的方程为，也过点.综上所述，直线恒过定点.(3)可求得.所以面积.当且仅当时，“”成立，所以面积的最小值为.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线恒过定点的证明，考查三角形面积的最小值的求法，考查抛物线、根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21.已知函数.（1）若函数在上是减函数，求实数的最小值；（2）若存在，，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质求出导函数的最大值，从而求出的范围即可； （2）问题等价于当时，有，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出的具体范围即可．【详解】解：已知函数的定义域为.(1)因为在上为减函数，故在上恒成立，即当时，.又，故当，即时，.所以，于是，故的最小值为.(2)命题“若存在，使成立”等价于“当时，有”.由(1)知，当时，，所以.故问题等价于：“当时，有”①当时，由(2)知，在上为减函数，则，故.②当，时，，由(1)知，函数在上是减函数，，所以，与矛盾，不合题意.综上，得实数的取值范围.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，曲线.（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ，的极坐标方程；（2）若射线(与的异于极点的交点为，与的交点为，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由曲线：(为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得 ，的极坐标方程；（2）分别求得点对应的的极径，根据极经的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线：(为参数)可化为普通方程：，由可得曲线的极坐标方程为， 曲线的极坐标方程为.（2）射线与曲线的交点的极径为，射线与曲线的交点的极径满足，解得，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.（1）求值；（2）正数满足，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得，所以，解这个不等式可求得.（2）由（1）得，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为.试题解析：（1）,若不等式有解，则满足，解得，∴.（2）由（1）知正数满足，∴.当且仅当，时，取等号.