宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题
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宁夏六盘山高级中学2020届高三第二次模拟考试
文科数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则( )
（A） （B） （C） （D）
2．已知复数满足，则的共轭复数为( )
（A） （B） （C） （D）
3．( )
（A） （B） （C） （D）
4．设向量，满足，则( )
（A） （B） （C） （D）
5．已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D）
6．设为两条直线，若直线平面，直线平面，下列说法正确的是（ ）
① 若//，则 ②若，则
③ 若，则 ④若，则//
（A）①③ （B） ②③ （C）①④ （D）③④
7．若满足约束条件 则 的最小值是( )
（A）3 （B） （C） （D）
8．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ）
（A）甲 （B）丁 （C） 丙 （D）乙
9．已知函数是上的奇函数，且对任意，都有.若
，则的大小关系为（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．执行右面的程序框图，则输出的值是( )
（A） （B） （C） （D）
11．2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线．某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士被选为第一医院工作的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
12．已知抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆的半径 为( )
（A） （B） （C） （D）
第II卷（非选择题)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_________．
14．函数在区间上的最小值为__________．
15．已知长方体全部棱长的和为，表面积为，则该长方体的外接球的表面积为_________．
16．在中，内角所对的边分别为且，则_________．
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
必做题：共60分.
17．（12分）
在等差数列中，，且、、成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的公差不为，设，求数列的前项和.
18．（12分）
为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：
并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：
| 愿意购买该款手机 | 不愿意购买该款手机 | 总计 |
40岁以下 |
| 600 |
|
40岁以上 | 800 |
| 1000 |
总计 | 1200 |
|
|
（Ⅰ）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；
（Ⅱ）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
19．（12分）
如图，在四棱锥中，平面平面,,
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设点在线段上，且，若的面积为，
求四棱锥的体积.
20．（12分）
已知圆 ，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，
圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，证明：直线过定点.
21．（12分)
已知函数.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若.求证：存在唯一的极大值点，且.
选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.
22． [选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l1，l2的极坐标方程分别为，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．
23． [选修4-5：不等式选讲](10分）
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若，求证：.
宁夏六盘山高级中学高三第二次模拟文科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | D | B | A | C | A | D | B | A | C | D | B |
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. -2 14. 1 ；
15. 16.
17.（12分）
解（Ⅰ）设数列的公差为.因为，，成等比数列，所以 ，
又，所以，即
解得或.
当时，.
当时，.
（Ⅱ）因为公差不为，由（Ⅰ）知，则，
所以.
18.解：（1）该款手机的平均使用时间为7.76年.
（2）
| 愿意购买该款手机 | 不愿意购买该款手机 | 总计 |
40岁以下 | 400 | 600 | 1000 |
40岁以上 | 800 | 200 | 1000 |
总计 | 1200 | 800 | 2000 |
可知有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．
19.(1) 平面平面 ，
平面，，
在中，，，
由正弦定理可得： ，，∴PD⊥PA,又PA∩AB=A,
∴ 平面，.
(2)取的中点，连结， ，设AD＝2a，则AB＝BC＝AP＝a，PDa,则，∴为等腰三角形，且底边BC上的高为
，的面积为.
的面积为，解得：，
四梭锥的体积为 .
20解：（1）设动圆P的半径为r，因为动圆P与圆M外切，所以，因为动圆P与圆N内切，所以，
则，
由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，设椭圆方程为，
则，，故，
所以曲线C的方程为.
（2）①当直线l斜率存在时，设直线，，
联立，
得，
设点，则，
，
所以，
即，
得.
则，
因为，所以.
即，
直线，
所以直线l过定点.
②当直线l斜率不存在时，设直线，且，
则点
，解得，所以直线也过定点.
综上所述，直线l过定点.
1.解： ，，
.
当时，，即函数在上单调递减；
当时，，即函数在上单调递增.
.
由知，
设，则
当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.
因为，所以是的唯一极大值点 .
由得，故 .
由得 ，
由，可知，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
综上所述，存在唯一的极大值点，且.
22.（1）由参数方程，可得普通方程为，由，，可得，所以曲线C的极坐标方程为.
（2）由直线l1：与曲线C的交点为O，M，得.由直线l2：与曲线C的交点为O，N，得.易知，所以.
23.（1）解：，
当时，由，得，解得.
当时，由，得，此时无解.
当时，由，得，解得.
综上所述，的解集为.
（2）证明：，
