宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题
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宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试
理科数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
- 已知,是虚数单位，若，，则（ ）
A. B. C. D.
- 已知集合，则( )
- B. C. D.
- 函数的图象大致为（ ）
A.B．C．D．
- 设向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
- 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
- B. C. D.
- 已知△的三个内角所对的边分别为，若，
且，则△的面积( )
A. B. C. D.
- 《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ）
- B. C. D.
- 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )
- B. C. D.
- 已知底面为长方形的四棱锥中，平面，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
- B. C. D.
- 已知函数，，且，则（ ）
- 或 B. C. D. 或
- 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为( )
- B. C. D.
- 已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
- 曲线在点处的切线方程为_________.
- 若满足约束条件，则的最大值是__________.
- 若，是第三象限角，则_______________.
- 在矩形中，，为中点，将和分别沿翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分.
- （本小题满分12分）
已知数列满足，，设．
（Ｉ）证明数列是等差数列，并求其通项公式；
（ＩＩ）若，求数列的前项和.
- （本小题满分12分）
在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：
艺术爱好指数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
创新灵感指数 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 |
（I）求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程；
（II）企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培
训，培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为，培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为，其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？
参考公式：回归方程中，.
参考数据：，
- （本小题满分12分）
已知抛物线与圆相交于两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.
（I）求抛物线的方程.
（II）过点作抛物线的切线，是的交点，求证：点在定直线上.
- （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，四边形为平行四边形，
且.
（I）证明：平面
（II）当直线与平面所成角的正切值为时，
求锐二面角的余弦值.
- （本小题满分12分）
已知函数，.
（I）证明：当时，.
（II）若函数在有两个零点，证明：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
- （本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为：.
（I） 求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（II）设点的直角坐标为，若直线与曲线分别交于两点，
求的值.
- （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
设函数.
（I）求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.
（II）若集合，求实数的取值范围.
绝密★启用前
宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试
理科数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
- 已知,是虚数单位，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】D. 以为复数，，，所以，故选D
- 已知集合，则( )
- B. C. D.
【解析】C 因为，
，所以，故选C
- 函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由表达式可知，函数为偶函数，排除A，当时，为正，，所以，B正确.故选：B
- 设向量满足，则（ ）
- B. C. D.
【解析】D.由已知得，得，
所以
- 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
- B. C. D.
【解析】A. 因为双曲线的离心率为，则，所以，所以渐近线方程为，故选A .
- 已知△的三个内角所对的边分别为，若，且，则△的面积( )
- B. C. D.
【解析】B.因为，所以有正弦定理得，又因为，所以，由余弦定理得，所以，.故选B.
- 《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ）
- B. C. D.
【解析】C.
- 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )
- B. C. D.
【解析】 C.对八雅进行全排列，方法总数为种，满足“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的方法书为种，则所求概率为，故选C.
- 已知底面为长方形的四棱锥中，平面，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
- B. C. D.
【解析】D. 如图，去PB 中点F,连接AF，EF，因为E为PD中点，所以EF//BD，所以∠AEF（或补角）为异面直线与所成角.由已知得，，，
所以，故选D.
- 已知函数，，且，则（ ）
- 或 B. C. D. 或
【解析】A. 因为，所以函数图象关于对称，
所以，所以或，故选A.
- 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为( )
- B. C. D.
【解析】 B.因为函数为偶函数，为奇函数，且满足，
所以，得，
由得，，由于为增函数，所以当时函数取得最大值，故，即实数的最大值为，故选B.
- 已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为( )
- B. C. D.
【解析】A. 依次构成等差数列，设公差为，根据椭圆的定义得，因为，所以，所以，解得，，所以，所以在△和△中，由余弦定理得，
整理得，故选A .
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
- 曲线在点处的切线方程为_________.
答案：
【解析】：因为，所以，所以在点处的切线方程为，即：.
- 若满足约束条件，则的最大值是__________.
答案：4
- 若，是第三象限角，则_______________.
答案：
【解析】
- 在矩形中，，为中点，将和分别沿翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为______________.
答案：
【解析】由题意知，，所以，设外接圆的半径为，则有正弦定理可得，所以，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为.
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（二）必考题：共60分.
- （本小题满分12分）
已知数列满足，，设．
（Ｉ）证明数列是等差数列，并求其通项公式；
（ＩＩ）若，求数列的前项和.
- （本小题满分12分）
在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：
艺术爱好指数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
创新灵感指数 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 |
（I）求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程；
（II）企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培训，培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为，培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为，其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？
参考公式：回归方程中，.
参考数据：，
解析：（I）设，有，
（ＩＩ）员工甲经过20次的培训后，
估计他的艺术爱好指数将达到，
因此估计他的创新灵感指数为．
员工乙经过20次的培训后，
估计他的艺术爱好指数将达到，
因此估计他的创新灵感指数为．
由于，故培训后乙的创新灵感指数更高．
- （本小题满分12分）
已知抛物线与圆相交于两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.
（III）求抛物线的方程.
（IV）过点作抛物线的切线，是的交点，求证：点在定直线上.
【解析】（I）点的横坐标为，所以点的坐标为，……………2分
代入解得，所以抛物线的方程为……………4分
（ＩＩ）抛物线，则，设……………5分
所以切线的方程为，即
同理切线的方程为………………………………………7分
联立解得点………………………………………………9分
设直线的方程为，代入
得，所以………………………………… … 11分
所以点在上，结论得证.…………………………………………12分
- 如图，在四棱锥中，，四边形为平行四边形，且.
（I）证明：平面
（II）当直线与平面所成角的正切值为时，求锐二面角的余弦值.
解：
（I）证明：∵ 四边形为平行四边形，
∴，，……………………2分
∴在△中，，∴.
∴，即，……………………………………3分
又∵平面，∴，……………………………………4分
又∵
∴平面……………………………………………………………5分
（II） 由（I）知，是直线与平面所成角，，
∴， 又∵平面，∴.………6分
∴△是等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则有：
，………………7分
由已知是平面的法向量，………………………… …8分
设平面的法向量为，，，
，，………………………… …10分
，…………………………… …… …11分
∴ 锐二面角的余弦值…………………………… …… …12分
- 已知函数，.
（III）证明：当时，.
（IV）若函数在有两个零点，证明：.
解析：（I），……………………………2分
当时，
在区间上单调递增………………… ………………3分
，不等式成立.………………… ……………………4分
（ＩＩ）函数在有两个零点，
即方程在区间上有两解，…………5分
令，则
令，，
在区间单调递增…………………………………………6分
又，
故存在唯一的实数，使得，
即…………………………………………………………8分
所以在上单调递减，在区间上单调递增，
且，…………………………………………………………9分
，
又因为，所以，…………………………………11分
方程关于的方程在上有两个零点，
由的图象可知，，
即.……………………………………………………………12分
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为：.
（III）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（IV）设点的直角坐标为，若直线与曲线分别交于两点，求的值.
【解析】（I）将曲线的参数方程（为参数），
化为普通方程，………………………………………………………2分
由直线的极坐标方程得：，…………4分
将代入上式得：直线的方程为，…………5分
（II）因为点的直角坐标为在直线上，
可设直线的参数方程为(为参数），………………………………7分
与曲线的方程联立，化简得：，，设对应的参数分别为，则………………………………………………………8分
故…………………………………………………10分
- [选修4-5：不等式选讲]
设函数.
（III）求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.
（IV）若集合，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为
当且仅当，即时，上式等号成立，
故函数的最小值为3，
且取得最小值时的取值范围是.………………………………4分
（2）因为，所以
函数化为……………………6分
令，其图像为过点,斜率为的一条直线.
如图，
则直线的斜率为，
直线的斜率为，………………………………8分
因为，所以，即.
所以的取值范围为………………………………10分
