宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题
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绝密★启用前宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试理科数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知,是虚数单位，若，，则（ ）A. B. C. D. 已知集合，则( ) B. C. D. 函数的图象大致为（ ）A.B．C．D．设向量满足，则（ ）A. B. C. D.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） B. C. D. 已知△的三个内角所对的边分别为，若，且，则△的面积( )A. B. C. D. 《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ） B. C. D. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( ) B. C. D. 已知底面为长方形的四棱锥中，平面，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） B. C. D. 已知函数，，且，则（ ） 或 B. C. D. 或 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为( ) B. C. D. 已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．曲线在点处的切线方程为_________.若满足约束条件，则的最大值是__________.若，是第三象限角，则_______________.在矩形中，，为中点，将和分别沿翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为______________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分. （本小题满分12分）已知数列满足，，设．（Ｉ）证明数列是等差数列，并求其通项公式；（ＩＩ）若，求数列的前项和. （本小题满分12分）在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：艺术爱好指数23456创新灵感指数33.544.55 （I）求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程；（II）企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培 训，培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为，培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为，其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？ 参考公式：回归方程中，.参考数据：，（本小题满分12分） 已知抛物线与圆相交于两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.（I）求抛物线的方程.（II）过点作抛物线的切线，是的交点，求证：点在定直线上. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，四边形为平行四边形，且.（I）证明：平面（II）当直线与平面所成角的正切值为时，求锐二面角的余弦值. （本小题满分12分）已知函数，.（I）证明：当时，.（II）若函数在有两个零点，证明：. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． （本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为：.（I） 求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（II）设点的直角坐标为，若直线与曲线分别交于两点，求的值. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]设函数.（I）求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.（II）若集合，求实数的取值范围.
绝密★启用前宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试理科数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知,是虚数单位，若，，则（ ）A. B. C. D. 【解析】D. 以为复数，，，所以，故选D 已知集合，则( ) B. C. D. 【解析】C 因为，，所以，故选C函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．【解析】由表达式可知，函数为偶函数，排除A，当时，为正，，所以，B正确.故选：B设向量满足，则（ ） B. C. D.【解析】D.由已知得，得，所以 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） B. C. D. 【解析】A. 因为双曲线的离心率为，则，所以，所以渐近线方程为，故选A .已知△的三个内角所对的边分别为，若，且，则△的面积( ) B. C. D. 【解析】B.因为，所以有正弦定理得，又因为，所以，由余弦定理得，所以，.故选B.《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ） B. C. D. 【解析】C.琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( ) B. C. D. 【解析】 C.对八雅进行全排列，方法总数为种，满足“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的方法书为种，则所求概率为，故选C.已知底面为长方形的四棱锥中，平面，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） B. C. D. 【解析】D. 如图，去PB 中点F,连接AF，EF，因为E为PD中点，所以EF//BD，所以∠AEF（或补角）为异面直线与所成角.由已知得，，，所以，故选D.已知函数，，且，则（ ） 或 B. C. D. 或 【解析】A. 因为，所以函数图象关于对称，所以，所以或，故选A. 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为( ) B. C. D. 【解析】 B.因为函数为偶函数，为奇函数，且满足，所以，得，由得，，由于为增函数，所以当时函数取得最大值，故，即实数的最大值为，故选B.已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为( ) B. C. D. 【解析】A. 依次构成等差数列，设公差为，根据椭圆的定义得，因为，所以，所以，解得，，所以，所以在△和△中，由余弦定理得，整理得，故选A . 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 曲线在点处的切线方程为_________.答案：【解析】：因为，所以，所以在点处的切线方程为，即：.若满足约束条件，则的最大值是__________.答案：4若，是第三象限角，则_______________.答案：【解析】在矩形中，，为中点，将和分别沿翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为______________.答案：【解析】由题意知，，所以，设外接圆的半径为，则有正弦定理可得，所以，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为. 四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （二）必考题：共60分. （本小题满分12分）已知数列满足，，设．（Ｉ）证明数列是等差数列，并求其通项公式；（ＩＩ）若，求数列的前项和. （本小题满分12分）在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：艺术爱好指数23456创新灵感指数33.544.55 （I）求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程；（II）企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培训，培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为，培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为，其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？ 参考公式：回归方程中，.参考数据：， 解析：（I）设，有，（ＩＩ）员工甲经过20次的培训后， 估计他的艺术爱好指数将达到， 因此估计他的创新灵感指数为． 员工乙经过20次的培训后， 估计他的艺术爱好指数将达到， 因此估计他的创新灵感指数为． 由于，故培训后乙的创新灵感指数更高． （本小题满分12分） 已知抛物线与圆相交于两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.（III）求抛物线的方程.（IV）过点作抛物线的切线，是的交点，求证：点在定直线上. 【解析】（I）点的横坐标为，所以点的坐标为，……………2分代入解得，所以抛物线的方程为……………4分 （ＩＩ）抛物线，则，设……………5分 所以切线的方程为，即 同理切线的方程为………………………………………7分 联立解得点………………………………………………9分 设直线的方程为，代入得，所以………………………………… … 11分所以点在上，结论得证.…………………………………………12分 如图，在四棱锥中，，四边形为平行四边形，且.（I）证明：平面（II）当直线与平面所成角的正切值为时，求锐二面角的余弦值. 解：（I）证明：∵ 四边形为平行四边形， ∴，，……………………2分 ∴在△中，，∴. ∴，即，……………………………………3分 又∵平面，∴，……………………………………4分又∵ ∴平面……………………………………………………………5分（II） 由（I）知，是直线与平面所成角，， ∴， 又∵平面，∴.………6分 ∴△是等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则有： ，………………7分由已知是平面的法向量，………………………… …8分设平面的法向量为，，，，，………………………… …10分，…………………………… …… …11分∴ 锐二面角的余弦值…………………………… …… …12分 已知函数，.（III）证明：当时，.（IV）若函数在有两个零点，证明：.解析：（I），……………………………2分 当时， 在区间上单调递增………………… ………………3分 ，不等式成立.………………… ……………………4分 （ＩＩ）函数在有两个零点， 即方程在区间上有两解，…………5分 令，则 令，，在区间单调递增…………………………………………6分又，故存在唯一的实数，使得，即…………………………………………………………8分所以在上单调递减，在区间上单调递增，且，…………………………………………………………9分，又因为，所以，…………………………………11分方程关于的方程在上有两个零点，由的图象可知，，即.……………………………………………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为：.（III）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（IV）设点的直角坐标为，若直线与曲线分别交于两点，求的值. 【解析】（I）将曲线的参数方程（为参数），化为普通方程，………………………………………………………2分由直线的极坐标方程得：，…………4分将代入上式得：直线的方程为，…………5分（II）因为点的直角坐标为在直线上，可设直线的参数方程为(为参数），………………………………7分 与曲线的方程联立，化简得：，，设对应的参数分别为，则………………………………………………………8分故…………………………………………………10分 [选修4-5：不等式选讲]设函数.（III）求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.（IV）若集合，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为当且仅当，即时，上式等号成立，故函数的最小值为3，且取得最小值时的取值范围是.………………………………4分（2）因为，所以函数化为……………………6分令，其图像为过点,斜率为的一条直线.如图，则直线的斜率为，直线的斜率为，………………………………8分因为，所以，即.所以的取值范围为………………………………10分
