四川省三台县芦溪中学2020届高三上学期二诊考前模拟数学（理）试卷

数学试题 理

 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

2 . 已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

3． 直线

A．充分不必要条件   B.必要不充分条件    C.充要条件      D.既不充分也不必要条件

4．为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于45至70之间.将数据分成以下5组:第1组[45,50),第2组[50,55),第3组[55,60),第4组[60,65),第5组[65,70],得到如图所示的频率分布直方图.，现发现有22%的学生体重超标，根据直方图估计体重大于等于多少千克为超标体重（     ）. 

A . 61     B.  62      C. 63     D.  64

5. 的展开式中，项的系数为，则实数的值为（    ）

A．2 B．3 C． D．2或3

6．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则x的可能值的个数为(　　)

A．1          B．2      

C．3          D．4

7、已知抛物线焦点为，圆的圆心为，点在上，且，则直线的斜率为（     ）

8．如图，点在以为直径的圆上，且满足，圆内的弧线是以为圆心，为半径的圆的一部分.记三边所围成的区域（灰色部分）为M，右侧月牙形区域（黑色部分）为N.在整个图形中随机取一点，记此点取自M，N的概率分别为，，则（ ）

A．  B．    C．     D．

9. 曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

10. 在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，，点P为三角形ABC所在平面上一动点，且满足，则的取值范围是

1.      B.      C. [-2,2]     D.

11．已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则（     ）

12．已知函数，对任意，不等式恒成立，则的取值范围为（     ）

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则______.

14. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中的各位数字中， ，（）出现0的概率为，出现1的概率为.若启动一次出现的数字为，则称这次试验成功.若成功一次得2分，失败一次得分，则100次这样的重复试验的总得分的方差为__________．       

15. 设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，.在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是_________.

16. 已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F，则+的最大值等于_________

三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在中，角所对的边分别为，已知.

（1）求的值；   （2）若为边上的点，且，求的长.

18．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：

（1）求出表中x，y的值；

（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；

（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．

附：．

19. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1 

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足 ，若{bn}的前n项和为Tn．都有

20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线斜率为，且与椭圆的另一个交点为，是否存在点，使得若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

21. 设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上存在零点，证明：

四：选考题，请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）  

在极坐标系下，方程的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线．

（1）当玫瑰线的时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；

（2）求曲线上的点M与玫瑰线上的点N距离的最小值及取得最小值时的点M、N的极坐标（不必写详细解题过程）．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）        

已知函数.    

（1）解不等式；

（2）若对任意恒成立，证明：.

理科数学试题答案

1．【解析】因为，所以，所以其虚部为.故选：A.

2．【解析】集合，∴.故选：B.

3.【解析】因为直线l与圆C相交,所以圆心到直线的距离

所以c<-5是相交的必要不充分条件。选B

4.【解析】由(0.01+0.02+a+0.06+0.07)×5=1,得a=0.04,设超标体重为. 选B

5.【解析】，展开式的通项为令得展开式含项的系数为 令得展开式含项的系数为令得展开式含项的系数为所以的展开式中项的系数为，解得或故选：D

6. 【解析】当时, 由得： 满足条件；当时, 由得： 满足条件；当时, 由得： 不满足条件, 故这样的值有个, 故选C.

7．【解析】因为，所以，解得, 所以圆心F2（1,0）所以直线的斜率为选B

8．【解析】设圆的半径为，则区域Ⅰ的面积为；区域Ⅱ的面积1．圆的面积为π×12＝π．所以．故选A．

9.【解析】可化为曲线表示以为圆心，为半径的圆的的部分又直线恒过定点可得图象如下图所示：

当直线为圆的切线时，可得，解得：当直线过点时，由图象可知，当与曲线有两个不同交点时， 故选：

10. 【解析】取AB的中点Q.连接CQ，则,其中故选D，本题也可建系与圆的参数方程求解。

11.【解析】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由于，即，得，所以．由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则选A

12. 【解析】因为，所以．

当时，对任意的，，恒有；当时，，恒有，所以在是单调递增的．那么对任意的，不等式恒成立，只要，，，

所以，即．选B

13.【解析】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，∴x+y=5．故答案为：5．

14.【解析】启动一次出现数字为A=10101的概率由题意知变量符合二项分布，根据成功概率和实验的次数的值，有  ∴η的数学方差为．设得分为

所以=．

15【解析】如图所示，当﹣6，可得图象．根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），画出[2，6]的图象．画出函数y=loga（x+2）（a＞1）的图象．∵在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，∴loga8＞3，loga4＜3，∴4＜a3＜8，解得＜a＜2．

16. 【解析】：化简为，圆心.的最大值为5等价于的最大值为4设，即，又化简得到当时，验证等号成立对称轴为满足故当时，离心率有最大值，此时椭圆方程为，设左焦点为

当共线时取等号.故答案为和

17. 【解析】(Ⅰ)解：由得：

即

∵A、B、C是△ABC的内角，∴  因此，，又，故

由得：

∴··········6分

(Ⅱ)解：由得：

由正弦定理得：，∴

在△BCD中，       ∴CD = 13．．··········12分

18.【试题解析】（（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则,

 所以， ．………………………3分

（2）列联表如下：

的观测值，

所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．………………………………7分

（3）的可能取值为0，1，2，3，则，

， ，       所以……………12分

19.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，由得

  解得，因此……………5分

（2）由已知，

当时， 当时，，

所以，由（1）知， 所以，……………….7分

又，

，两式相减得，所以…………………10分

因为

所以，所以的最大整数为1009…………………………12分

20. 【解析】解（1）当为的短轴顶点时，的面积有最大值所以，解得，故椭圆的方程为：.………………5分

（2）（2）设直线的方程为，

将代入，得；……………………6分

设，线段的中点为， ，即…8分

因为，所以直线为线段的垂直平分线，所以，则，即，所以，………………10分

当时，因为，所以，当时，因为，所以.综上，存在点，使得，且的取值范围为.…12分

21.【解析】函数的定义域为，……………………………………1分

因为，所以．……………………2分

所以当时，， 在上是增函数；

当时，，在上是减函数．……………………4分

所以在上是增函数，在上是减函数．……………………5分

（2）证明：由题意可得，当时，有解，

即有解．……………………………6分

令，则．…………………7分

设函数，所以在上单调递增．

又，所以在上存在唯一的零点．……8分

故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．………………9分

当时，；当时，．

所以在上的最小值为．………………………………………10分

又由，可得，所以，…………11分

因为在上有解，所以，即．…………………12分

解法2：（2）证明：由题意可得，当时，有解，由（1）可知在上是增函数，在上是减函数，且．

①当，即时，在上单调递增，所以当时，，不符合题意；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，由题意可知，

设，则，所以函数在上单调递减，

又，而，所以．……12分

22、【解析】（1）当时，圆的极坐标方程为，可化为，

化为直角坐标方程为，即. ……………2分

直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为

因为圆心与点的距离为，所以的最小值为. ……………5分

（2）由可得，所以圆的普通方程为

因为直线被圆截得的弦长等于圆的半径，所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的倍，所以. ……………8分

解得，又，所以……………10分

23．【解析】因为，所以．…1分

（1）由，得，

即或或，

解得或或，

即，所以不等式的解集为.

（2）若对任意恒成立，

即对任意恒成立，

当时，；

当时，，

所以的最小值为2，即.

又，

所以，

即（当且仅当时，等号成立）……10分

温馨提示：

1. 认真读题,看清题目。 (特别是概率题和实际应用问题)发卷后，首先要看卷头的参考公式。考试时要把试题中的关键词、字母、字母的限制、图象、括号中的内容、小数点等等都要看清楚。特别要弄清问题是什么？

2.三步四步一回头(尤其是计算量大的题)。对计算量较大的试题,演算完三、四步就要回头检查一次。解析几何中直线代入到圆锥曲线方程，消元得一元二次方程，这一步要检查。

3.答题卷上的答案一定要简约..答题卷上要写重点步骤，小计算放在草纸上进行，概率解答题和特别要注意解题格式的规范。三角解答题已知三角函数值求角，一定注意写出角的范围；求三角函数最值，更要注意角的范围。概率解答题事件要设字母表示。数列递推要注意n的范围变化而考虑是否验证首项问题。函数与导数题首先考虑定义域，含参数问题的分类讨论。

4.选考题一定比较两个题，要权衡得分情况，选择把握大，得分最高的题做。

5.简单题绝对不要过于心急求快! 前三道选择题虽然比较简单， 但也不要过快，因为同学还没有进入到考试状态。过快了就容易看错、看漏，算错等。

6.注意: 千万要注意填空题答案书写要规范。做对2个是基本口粮，能对3个就更好了，第4个填空题常常是最难的（是否绕过去？）。概率与统计题要反复阅读，把题读懂是关键。

7.选择题一定要追求正确率，抓稳前8个不丢分。有时处理有难度的问题可以考虑数形结合法（有时考虑特殊图形）、特值法、极端法、特征性质检验法、排除法，从而避免使用直接法解题的难度。

8.解后边的题时,绝对不能受前面做题情况的影响.试卷难，不会的就多，大家都如此，不要慌乱。

9.解题必须不紧不慢,不能心急,不能过分求快。两个小时的紧张考试，要按从前到后按顺序解答，不能始终低着头不停地思考和计算（有时会出现低级失误），调整坐姿,适当抬头挺胸（深呼吸），记住：有时敢于放弃也是一种大智慧。

10.总之、考试心态就是要稳 (从来考试都是稳者为王） 不过分追求也不懈怠(不贪）. 一定要清楚自己的水平，自己的弱点是什么？ 我难，人难，我不畏难；我易，人易，我不大意！

提前预祝同学们稳定发挥，在绵阳市的二诊考试中交上一份自己满意的答卷！