陕西省西安中学2020届高三下学期第四次模拟考试数学（文）试题

西安中学高2020届第四次模拟考试

数学（文）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合A={1,2,3}，集合B ={x|x2=x}，则A∪B=                       （    ）

A. {1} B. {1,2} C. {0,1,2,3} D. {－1,0,1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】

求出集合B={0，1}，然后根据并集的定义求出A∪B．

【详解】解：∵集合A＝{1，2，3}，

集合B＝{x|x2＝x}＝{0，1}，

∴A∪B＝{0，1，2，3}．

故选C．

【点睛】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．

2.复数（为虚数单位），则（   ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

将整理成的形式，与模长相同，求即可.

【详解】

本题正确选项：

【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题.

3.已知命题：，；命题：，，则下列说法中正确的是

A. 是假命题 B. 是真命题

C. 是真命题 D. 是假命题

【答案】C

【解析】

【分析】

先判断命题的真假，进而求得复合命题真假判断真值表得到答案.

【详解】命题p，，即命题p真，

对命题q，去 ，所以命题q为假，为真

所以是真命题

 故选：C.

【点睛】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可；

(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；

(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.

4.已知双曲线：的一个焦点为，则的离心率为(   )

A.  B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据焦点坐标得c＝2，再用平方关系得m+1＝4，解出m值后再用离心率的公式，可得该双曲线的离心率．

【详解】∵双曲线的一个焦点为（2，0），

∴m+1＝22＝4，可得m,

因此双曲线的离心率为e

故选D．

【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质的应用，属于基础题．

5.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为　　

A. 100，8 B. 80，20 C. 100，20 D. 80，8

【答案】A

【解析】

由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是，其中对四居室满意的人数为，应选答案A．

6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．

【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，

∴几何体的表面积

故选D．

【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

7.已知边长为1的菱形中，，点满足，则的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

将通过线性运算进行拆解，转变成与向量和相关的数量积和模长求解即可.

【详解】由题意可得大致图像如下：

；

又，

本题正确选项：

【点睛】本题考查向量的数量积的求解，处理此类问题的关键是将所求向量进行线性拆解，拆解为已知模长和夹角的两个向量的问题.

8.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象，则的最大值为　　

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数g（x）的关系式，最后求出函数的最值．

【详解】由题意得，

，

，

将的图象向左平移个单位长度得到函数：

，

再将函数向上平移1个单位长度得到函数的图象，

即，

所以当时，，

故选C．

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

9.已知函数，若函数是奇函数，则曲线在点处切线方程是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数是奇函数可求得，所以，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程．

【详解】由题意得，

∴函数为奇函数，

∴

，

∴．

∴，

∴，

∴，

又，

∴所求切线方程为，即．

故选B．

【点睛】本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是求出函数的解析式，解题时注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别，其中“曲线在点P处的切线”说明点P在曲线上且点P为切点，此时可根据导函数的函数值及直线的点斜式方程求出切线方程即可．

10.执行如图所示程序框图，若将判断框内“”改为关于n的不等式“”，且要求输出的结果不变，则正整数的取值为（  ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果为126，若将判断框内“”改为关于的不等式“”且要求输出的结果不变，则条件成立，可得正整数的取值为6．

【详解】框图首先赋值，，执行，；

判断框中的条件不满足，执行，；

判断框中的条件不满足，执行，；

判断框中的条件不满足，执行，；

判断框中的条件不满足，执行，；

此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果为126．

若将判断框内“”改为关于的不等式“”且要求输出的结果不变，

则条件成立，可得正整数的取值为6．故选．

【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基本知识的考查．

11.如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 (  )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．

【详解】如图，设三棱柱为，且，高．

所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，

则圆的半径为．

设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，

所以，

即球的半径为，

所以球的体积为．

故选A．

【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：

（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．

（2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率．

12.定义在R上的奇函数，当时，则关于x的函数的所有零点之和为（    ）

A.  B. 0 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

函数的零点转化为：在同一坐标系内的图象交点的横坐标，作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，即零点的对称性，根据奇函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案.

【详解】因为当时，，

即时，，

当时，，

当时，，

画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：

则直线与的图象有5个交点，则方程共有5个实根，

最左边两根之和为，最右边两根之和为，

因为时，，所以，

又，所以，

所以中间的一个根满足，

即，解得，

所以所有根的和为，

故选A.

【点睛】该题考查的是有关函数零点的问题，涉及到的知识点有将函数的零点转化为图象交点的问题，注意对奇函数的性质的应用，以及图象的对称性的应用，属于中档题目.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.函数的定义域为________．

【答案】[2，+∞）

【解析】

分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.

详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.

点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.

14.某校今年计划招聘女教师人，男教师人，若、满足则该学校今年计划招聘的教师人数最大值为__________．

【答案】13

【解析】

【分析】

设，依题意，只需求即可，作出可行域，数形结合即可得到答案

【详解】设，则，在轴上的截距越大，越大，作出可行域如图所示，

平移直线，当直线经过A点时，有最大值，由，得，

所以，.

故答案为：.

【点睛】本题考查简单的线性规划的实际应用，考查学生数形结合思想，数学运算能力，是一道容易题.

15.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则__________．

【答案】-1

【解析】

【分析】

由对称知直线过圆心，再由垂直关系可得k，从而得解.

【详解】易得直线过圆心，所以，

直线与直线垂直，所以，所以.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题.

16.在中，为角所对的边，若，，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

分析：由正弦定理可得得a=2sinA，c=2sinC，化为2a+c=5sinA+cosA，再利用辅助角公式化简求最大值.

详解：由=4，得a=4sinA，c=4sinC，

∴2a+c=8sinA+4sinC=8sinA+4sin（120°﹣A）=10sinA+cosA=sin（A+φ），

∴2a+c的最大值是．

故答案为．

点睛：本题主要考查了正弦定理、两角差公式、辅助角公式和三角函数的最值，意在考查学生三角基础知识运用能力和基本的运算能力.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.已知等比数列中，，且，公比.

（1）求；

（2）设的前项和为，求证.

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）由等比数列的通项公式，可得的方程，解方程可得的值，进而得到所求通项公式；
（2）利用等比数列求和公式求和，进而根据数列的单调性即可证明．

【详解】（1）由已知得：或(舍去)，

所以.

（2）因为，，所以，

因为在上为减函数，且恒成立，

所以当时，，

所以.

18.如图在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，点E在线段AB上，且BE＝1，将△ADE沿DE折起到A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCDE．

（1）求证：CE⊥平面A1DE；

（2）线段A1C上是否存在一点F，使得BF//平面A1DE？说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）存在点F（A1C的五等分点靠近点A1），使得BF//平面A1DE，理由详见解析．

【解析】

【分析】

（1）因为平面A1DE⊥平面BCDE，所以要证明CE⊥平面A1DE，只需证明CE⊥DE即可；

（2）取CD上点M，使DM＝1＝BE，易得BM∥平面A1DE，在△A1DC内，作MF∥A1D交A1C于F，易得MF∥平面A1DE，进一步得到平面FMB∥平面A1DE，即可得到答案.

【详解】（1）证明：如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，

点E在线段AB上，且BE＝1，∴，

，CD＝5，

∴，∴CE⊥DE，

∵平面A1DE⊥平面BCDE，平面A1DE平面BCDE，平面BCDE，

∴CE⊥平面A1DE．  

（2）取CD上点M，使DM＝1＝BE，又，

∴ DMBE为平行四边形，∴，又DE平面，平面,

∴平面A1DE，

在△A1DC内，作交A1C与F，因为平面，平面，

所以平面A1DE，又，∴平面平面A1DE，

又平面FMB，∴平面A1DE，

，，

故存在点F（A1C的五等分点靠近点A1），使得平面A1DE．

【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及面面平行的性质定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中等题.

19.在中国共产党第十九次全国代表大会上，习近平总书记代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告．人们通过手机、互联网、电视等方式观看十九大盛况．某调查网站从通过电视端口或端口观看十九大的观众中随机选出200人，经统计这200人中通过电视端口观看的人数与通过端口观看的人数之比为．将这200人按年龄分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，其中统计通过电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示．

（1）求的值．

（2）把年龄在第1、2、3组的观众称青少年组，年龄在第4、5组的观众称为中老年组，若选出的200人中通过端口观看的中老年人有12人，请完成下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关？

附：（其中）

【答案】（1）；（2）列联表详见解析，不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关．

【解析】

【分析】

（1）由各小矩形的面积之和为1即可得到a；

（2）由频率分布直方图分别计算通过端口观看和通过电视端口观看的青少年、中老年人数，列出列联表，再按卡方公式计算即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可得：，

解得．                                                  

（2）由题意得通过端口观看和通过电视端口观看的人数分别为：

，．

通过电视端口观看的160人中，青少年组、中老年组的人数分别为：

，．所以列联表为：

计算得的观测值为，

所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关．

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用以及独立性检验，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.

20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）-10

【解析】

【分析】

（Ⅰ）设椭圆C方程为，根据它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，得到，又，由此求出椭圆C的标准方程.

（Ⅱ）设，，，直线l的方程为，代入方程，得，由此利用韦达定理结合已知条件能求出的值.

【详解】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，

抛物线方程化为，其焦点为

则椭圆C的一个顶点为，即，

由，解得，

∴椭圆C的标准方程为

（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为，

∴椭圆C的右焦点

设，，，由题意知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为，代入方程，

并整理，得，

∴，，

又，，，，

而，，

即，，

∴，， 

∴.

【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21.已知函数，

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）将代入，结合导函数，判定单调区间，即可．（2）用x表示a，构造函数，求导，判定原函数的单调性，计算最值，计算a的范围，即可．

【详解】当时，，定义域为

当，即得或

当，即得

的单调递增区间是，

的单调递减区间是

（2）

存在不动点，方程有实数根.

即有解.

令

令，.

当时， ，递减；

当时，，递增；

当时，有不动点，

范围

【点睛】本道题考查了利用导函数判定原函数的单调性，利用导函数计算最值，难度偏难．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为2，求直线l的普通方程．

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）和x=0.

【解析】

【分析】

（I）将代入曲线极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线的普通方程.

【详解】解：（Ⅰ）将代入曲线C极坐标方程得：

曲线C的直角坐标方程为：

即

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：

整理得

设点A，B对应的参数为，，

解得，

则

，因为

得，直线l的普通方程为和x=0

【点睛】本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.

23.已知函数，.

(Ⅰ)当a＝1时，求不等式的解集；

(Ⅱ)若对任意实数，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(Ⅰ)   (Ⅱ)

【解析】

【分析】

(Ⅰ)当时，不等式化为，分类讨论，即可求解不等式的解集；

 (Ⅱ)根据绝对值的三角不等式，求得，，根据，列出相应的不等式组，即可求解.

【详解】(Ⅰ)当时，不等式化为.

则或或 ，

即或或，即，

所以不等式的解集是．

(Ⅱ)因为，

当，即时取等号，所以.

因为，

当时取等号，所以.

据题意，，则，即，

所以 解得，所以a的取值范围是．

【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式的三角不等式的应用，其中解答中合理分类讨论，以及正确运用绝对值的三角不等式求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.