陕西省渭南市白水中学2020届高三第三次模拟考试文科数学试题
展开2020届白水中学高三第三次模拟考试卷
文 科 数 学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数除法运算化简，在求得的模
【详解】，所以.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的运算，属于基础题.
2.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接由集合的补集和交集的定义，即可得到本题答案.
【详解】由，得，又，
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查集合的交集和补集的运算，属基础题.
3.已知，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则，化简，推导出的范围，然后推出与的范围并比较大小，从而可得答案．
【详解】∵，，，
因为，即，∴，故选A.
【点睛】本题考查对数函数的单调性的应用，对数值大小的比较，着重考查对数函数的单调性，属于基础题.
4.定义：，当五位数满足，且时，称这个五位数为“凸数”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由列举法列举出满足条件的基本事件，即可根据古典概型的概率公式求出结果.
【详解】由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521,共6个基本事件，
所以恰好为“凸数”的概率为.
故选D
【点睛】本题主要考查古典概型，列举法求古典概型的概率只需熟记古典概型的概率公式即可求解，属于基础题型.
5.函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【详解】由为偶函数可排除A，C；
当时，图象高于图象，即，排除B；
故选D
【点睛】识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
6.将参加体检的36名学生，编号为1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为9的样本，已知样本中含有编号为33的学生，则下面四名学生编号中被抽到的是（ ）
A. 13 B. 14 C. 23 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】
计算分组间隔，根据33号的编号，逆向推出每组抽中的编号.
【详解】从36名学生中抽取9名，抽样间隔为4，
所以9名学生的编号分别为33，29，25，21，17，13，9，5，1.
故选：A.
【点睛】本题考查系统抽样的性质，即等距离抽样.
7.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式将角度转化至，再用同角三角函数关系求解.
【详解】
=
故选：C.
【点睛】考查诱导公式的使用，涉及同角三角函数关系.
8.若向量，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，然后由，列出方程求解，即可得到实数的值.
【详解】由题，得，
因为，
所以，即，解得．
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示，以及向量垂直的等价条件，属基础题.
9.执行下面的程序框图，如果输出的为，则判断框中填写的内容可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
运行程序，当时退出程序，由此判断出所填写的内容.
【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，判断是，，判断否，输出，故选D.
【点睛】本小题主要考查程序框图，考查已知程序框图的输出结果求判断框填写的内容，属于基础题.
10.已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意布列关于a,b的方程组，即可得到结果.
【详解】由题意知双曲线的焦点到渐近线的距离为，
所以，该双曲线的离心率为故选.
【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
11.的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理及，先求得，又由正弦定理及，得，结合余弦定理，即可求得本题答案.
【详解】在中，由正弦定理及，
得，
∴，
又，∴；
由正弦定理及，得，
又由余弦定理得，
所以，得．
故选：A
【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，考查学生的转化能力和运算求解能力.
12.抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，过且倾斜角为的直线交于，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的焦点是双曲线的一个焦点可求出参数,由题意写出直线的方程然后和抛物线方程联立,再由直线与圆锥曲线的交点弦弦长公式即可求出答案.
【详解】由抛物线C:()可知焦点F(0,),由双曲线的上焦点坐标为(0,1),且抛物线的焦点F(0,)是双曲线的一个焦点,可得,得,得抛物线方程为，由题意得直线的方程为,设A,B
联立消化简得,则有:,,
所以由弦长公式.
故选:D.
【点睛】本题考查了抛物线与双曲线焦点的求法,直线方程式的求法以及直线圆锥曲线交点弦弦长公式应用,考查了学生的综合运算能力,这是高考题常见题型,属于一般难度的题.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】
求导函数。由可求得。
【详解】由题意，，由得。
故答案为：2。
【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在某点处的导数就是函数图象在该点的导数值。
14.已知正项等比数列的前项和为，若，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
用基本量法，求出首项和公比，再求。
【详解】设首项，公比，易知，
∴，由于均为正，∴，
∴。
故答案为：。
【点睛】本题考查等比数列的前项公式和通项公式，解题方法是基本量法，即由已知首先求出首项和公比，然后再求通项公式和前项和公式。
15.函数的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题，得，结合，即可得到本题答案.
详解】由题，得，
∵，
∴所以当时，取最大值．
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，二弦归一后配方，是解决此题的关键.
16.已知正方体的棱长为，为棱的中点，点在正方形内运动，且直线平面，则动点的轨迹长度为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
通过证明平面平面，得到平面，从而知道动点的轨迹为线段，由此即可得到本题答案.
【详解】
设平面与直线交于点，连接，则为的中点．
分别取的中点，连接，
则∵，，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
∵是平面内相交直线，
∴平面平面，
∴平面，
∴轨迹是被正方形截得的线段，且．
【点睛】本题主要考查面面平行的判定和性质，以及立体几何中动点轨迹的相关问题，考查学生的空间想象能力和推理证明能力.
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名．下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：
将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康类学生，已知体育健康类学生中有10名女生．
（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否有的把握认为达到体育健康类学生与性别有关？
| 非体育健康类学生 | 体育健康类学生 | 合计 |
男生 |
|
|
|
女生 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
（2）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康类学生，已知体育健康类学生中有2名女生，若从体育健康类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率．
附：
【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由图，知在抽取的100人中，体育健康A类学生有25人，其中女生10人，男生15人，由此即可完成列联表；套用公式，算出的值与3.841比较大小，即可得到本题答案；
（2）由题，知体育健康类学生为5人，记表示男生，表示女生，把所有情况都列出来，则总事件有10种情况，满足至少有一名女生的情况有7种，根据古典概型的概率公式，即可求得本题答案.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A类学生有25人，
从而列联表如下：
| 非体育健康类学生 | 体育健康类学生 | 合计 |
男生 | 30 | 15 | 45 |
女生 | 45 | 10 | 55 |
合计 | 75 | 25 | 100 |
由列联表中数据代入公式计算，得：
，
所以没有的把握认为达到体育健康类学生与性别有关．
（2）由频率分布直方图可知，体育健康类学生为5人，记表示男生，表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为．
由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的．
用表示“任选2中至少有1名是女生”这一事件，
则共计7种，
∴．
【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，独立性检验以及古典概型的概率求法，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解能力.
18.已知等差数列的首项为，公差为，前n项的和为，且，．
1求数列通项公式；
2设数列的前n项的和为，求．
【答案】(1);(2)
【解析】
【详解】（1）由题意得 解得
（2）
=
19.如图1，在直角梯形中，AB∥CD，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面DBE；
（Ⅱ）求点D到平面BEC的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）要证直线与平面垂直，题中翻折成平面与平面垂直，因此有平面，从而有一个线线垂直，另一个在梯形中由平面几何知识可证，从而得证线面垂直；（2）由（1）知平面与平面垂直，因此只要过作于点，则可得的长就是点到平面的距离，在三角形中计算可得．
试题解析：（1）在正方形中，，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以.在直角梯形中，，可得，在中，，所以，所以，
所以平面.
（2）因为平面，所以平面平面，过点作的垂线交于点，则平面，所以点到平面的距离等于线段的长度.
在直角三角形中，，所以，
所以点到平面的距离等于.
考点：线面垂直的判断，点到平面的距离．
20.已知函数.
（1）若在上只有一个零点，求的取值范围；
（2）设为的极小值点，证明：.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）分离参数可得，求出单调性和值域，从而得出a的范围；
（2）先求得的极小值，不等式两边作差，构造两个新函数分别求最值即可得出结论．
【详解】（1）因为在上只有一个零点，
所以方程在上只有一个解.
设函数，则，当时，；当时，.
所以.
又，，
故的取值范围为.
（2）证明：，当时，恒成立，无极值，故.
令，得，
当时，；当时，.
故的极小值为.
故要证，只需证.
设函数，，
当时，；当时，.
故.
而，
于是，
又与的取等条件不同，
则，
从而.
【点睛】本题考查了函数单调性与函数极值的问题，利用导数证明不等式常用方法：作差构造新函数，属于较难题．
21.已知动点到点的距离比到直线的距离小，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过曲线上一点（）作两条直线，与曲线分别交于不同的两点，，若直线，的斜率分别为，，且.证明：直线过定点.
【答案】（1）． （2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）将描述的轨迹性质，转化为抛物线的定义，据此写出曲线方程；
（2）设出直线AB方程，利用，得到直线AB方程中系数之间的关系，从而证明直线恒过定点.
【详解】（1）由题意可知，到点的距离比到直线的距离小，
则：动点到点的距离与到直线的距离相等，
故：点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为．
（2）因为点M在抛物线上，故可知，
设点，，直线的方程为：，
联立，得，
所以，
所以；
因为，
即，
所以，
等价于，所以或
当时，直线的方程：
直线过定点与重合，舍去；
当时，直线的方程：
直线过定点，所以直线过定点．
【点睛】本题考查由抛物线定义求解抛物线方程，以及证明直线恒过定点问题；一般地，证明直线恒过定点，本质问题都是寻求方程系数之间的关系.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.已知斜率为1的直线经过点.
（1）写出直线的参数方程；
（2）设直线与圆相交于，两点，求的值.
【答案】（1）(t为参数)
（2）
【解析】
【分析】
(1)根据直线的参数方程求解即可.
(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,再根据直线参数的几何意义求解即可.
【详解】解：（1）直线的参数方程为,即(t为参数)
（2）将代入,化简整理得：.
因为,.
所以.
【点睛】本题主要考查了直线的参数方程与直线参数的几何意义运用.属于中档题.
23.已知.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立，证明：.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得f(x)的最小值，得到，然后利用基本不等式进行证明即可.
【详解】（Ⅰ）就是.
（1）当时，，得.
(2)当时，，得，不成立.
（3）当时，，得.
综上可知，不等式的解集是.
（Ⅱ）因为，
所以.
因，时，，所以，得.
所以.
【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用绝对值三角不等式和基本不等式求最值的应用，属于基础题.
