陕西省西安交通大学附属中学2020届高三下学期第三次模拟文科数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“若x＞0，则2x＞1的否命题是（ ）
A. 若x＞0，则2x≤1 B. 若x≤0，则2x＞1
C. 若x≤0，则2x≤1 D. 若2x＞1，则x＞0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据四种命题之间的关系，直接写出否命题即可.
【详解】命题“若x＞0，则2x＞1”的否命题是：“若x≤0，则2x≤1”，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了四种命题之间的关系，是基本知识的考查．
2.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合，根据交集的定义，即可求解.
【详解】因为，
，
所以，所以中元素的个数为3.
故选:B.
【点睛】本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题.
3.执行如图所示的程序框图，若输出的为4，则输入的应为( )

A. －2 B. 16
C. －2或8 D. －2或16
【答案】D
【解析】
试题分析：程序框图执行的是函数的求值，所以当时可得到或
考点：程序框图及分段函数求值
4.已知向量，，且，则实数的值为
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用向量共线的坐标表示列方程求解即可.
【详解】因为，，且，
所以，
解得，故选C.
【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
5.已知，，则对应的点的轨迹为（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点的轨迹.
【详解】的几何意义为复数对应的点到点和点的距离之和为，即，另一方面，由三角不等式得.
当且仅当点在线段上时，等号成立.
因此，点的轨迹为线段.
故选D.
【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6.设不等式组，表示的平面区域为，若直线上存在内的点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】

作出不等式组表示的可行域图，如图，因为函数的图象是过点，且斜率为的直线，由图知，当直线过点时，取最大值，当直线过点时，取最小值，故实数的取值范围是,故选C.
7.若某几何体的三视图如下所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三视图，以正方体为载体还原几何体的直观图为四棱锥（如图），利用分割法，将四棱锥分解成棱柱的体积减去两个小棱锥计算体积.
【详解】
由三视图可知，
几何体为不规则放置的四棱锥，是正方体的一部分，如图，
因为正视图与侧视图都是边长为2的正方形，
所以图中正方体棱长为2，
四棱锥可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，
所以几何体的体积，故选A.
【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
8.若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求，根据题意可知在上恒成立，可设，法一：讨论的取值，从而判断是否在上恒成立：时，容易求出，显然满足；时，得到关于m的不等式组，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可，法二：分离参数，求出m的范围即可．
详解】；
由已知条件知时，恒成立；
设，则在上恒成立；
法一：若，即，满足在上恒成立；
若，即，或，
则需：解得；
，
综上得，
实数m的取值范围是；
法二：问题转化为在恒成立，
而函数，
故；
故选C．
【点睛】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式的取值情况和二次函数取值的关系．
9.如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的表面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为，根据球的性质与圆台的上下底面垂直，从而有，且球心在上下底面圆心的连线上，，即可求出，得出结论.
【详解】解：设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为，
则，而，
故.
故选:B.
【点睛】本题考查组合体外接球的表面积，利用球的性质是解题的关键，属于基础题.
10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）且x+y＞1；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m，最后再根据统计数m估计π的值，假如统计结果是m＝72，那么可以估计π的值约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意，x，y与1能构成钝角三角形，即，，找到点所表示阴影区域，代入几何概型的概率公式计算即可．
【详解】由题意，120 对都小于1的正实数满足，面积为1×1，
两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对，
满足且，面积为，
∵统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数为m＝72，
，∴π.
故选：D.

【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，属于基础题.
11.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点在以为圆心，以半焦距为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称性可得，可得，，渐近线的倾斜角为，即可得，即可求离心率．
【详解】解：如图，根据对称性可得，
∴，
，
所以渐近线的倾斜角为60°，
，
则双曲线的离心率为.
故选:C.

【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率，考查转化能力．
12.对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可看出在定义域内单调递增，可得出是方程的两个不同根，从而得出，通过求导，求出的值域，进而可得到的范围．
【详解】解：在定义域内单调递增，
，
即，
即是方程两个不同根，
∴，
设，
∴时，；时，，
∴是的极小值点，
的极小值为：，
又趋向0时，趋向；趋向时，趋向，
时，和的图象有两个交点，方程有两个解，
∴实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】本题考查了对倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应题号后的横线上.
13.设函数，则_____
【答案】4
【解析】
【分析】
根据已知中函数，将自变量的值代入，分析变量的变化规律，可得答案．
【详解】．
【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．
14.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆与双曲线有共同的焦点，利用双曲线的离心率为2，可得到的关系式，求解，即可得到双曲线方程.
【详解】因为椭圆与双曲线有共同的焦点，
由，可得，即，
因为双曲线的离心率为，
，则，
所以双曲线的方程为，故答案为.
【点睛】用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
15.如图，以Ox为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点P（x1，y1），将角α的终边顺时针旋转得到角β．角β的终边与单位圆相交于点Q（x2，y2），则x2﹣x1的取值范围为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得再利用正弦函数的定义域和值域，求出的取值范围.
【详解】由已知得，
∴，
∵，∴，∴，
∴的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.
16.已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的解析式，求出数列的通项公式，将代入即可得到的值，再利用倒序相加法即可求出此数列前2019项的和．
【详解】依题意，函数，，所以，
数列满足，
所以，.
，
设此数列前2019项的和，则有：
，
，
所以，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了数列的通项公式，倒序相加法求数列的前项和，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.如图，四棱锥中，，，，，.

（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据直线与平面垂直的判定定理即可证明.
（2）因为,则即为异面直线与所成角,在中求得各边的长度,由余弦定理即可求得,根据异面直线夹角的范围即可判断夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：∵,,,
∴平面,

（2）∵
∴为异面直线与所成的角或其补角,
∵平面,,.
则
∴在中,,
,
∴
∴在中,由余弦定理可得
∴
因为异面直线夹角的范围为
∴异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,异面直线夹角的求法,余弦定理在解三角形中的应用,注意异面直线夹角的范围,属于基础题.
18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a5+a8＝42，2，a3的等比中项为4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn，求数列{bnbn+1}的前n项和为Tn．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）等差数列的公差设为，由等比数列的中项性质和等差数列的性质、通项公式可得公差，进而得到所求通项公式；
（2）由等差数列的求和公式，化简可得，，由数列的裂项相消求和化简可得所求和.
【详解】（1）等差数列的公差设为，前项和为，且，
可得，即，2，的等比中项为4，可得，即，
则，
则.
（2），，
bnbn+1（），
前n项和为Tn（）（）．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．
19.某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：

（1）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的概率；
（2）同一组数据用该区间的中点值作代表.
（i）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差；
（ii）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收到600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元.
方案二：按每人一个月薪水的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？
参考数据：.
【答案】（1）；（2）（i）2，；（ii）方案一.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图求出前2组中的人数，由分层抽样得抽取的人数，然后把6人编号，可写出任取2人的所有组合，也可得出获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的所有组合，从而可计算出概率．
（2）根据频率分布直方图计算出均值和方差，然后求出区间，结合频率分布直方图可计算出两方案收取的费用．
【详解】（1）第一组有人，第二组有人.
按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为，第二组抽5人，记为，，，，.
从这6人中抽2人共有15种：，，，，，，， ，，，，，，，.
获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的10种：，， ，，，，，，，.
于是获赠智能手机的2人月薪都超过1.75万元的概率.
（2）（i）这100人月薪收入的样本平均数和样本方差分别是
；
（ii）方案一：

月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）；
月薪落在区间收活动费用约为（万元）；
月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）；、
因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）.
方案二：这50人共收活动费用约为（万元）.
故方案一能收到更多的费用.
【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型．属于基础题．这类问题在计算均值、方差时可用各组数据区间的中点处的值作为这组数据的估计值参与计算．
20.已知椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，总有，求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（，+）
【解析】
【详解】（1）设为短轴的两个三等分点，为正三角形，
所以，，解得．，
所以椭圆方程为．
（2）设
（ⅰ）当直线与轴重合时，
．
（ⅱ）当直线不与轴重合时，设直线的方程为：
整理得
因恒有，所以恒为钝角，
即恒成立．


又，所以对恒成立，
即对恒成立，
当时，最小值为0，所以，，
因为，即，解得或（舍去），
即，
综合（i）（ii），的取值范围为．

21.已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝ex•f′（x），其中e为自然对数的底数．
（1）求曲线y＝g（x）在点（π，g（π））处的切线方程；
（2）若对任意?∈[，?]，不等式g（x）≤x•f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）试探究当?∈[0，]时，方程g（x）＝x•f（x）的解的个数，并说明理由．
【答案】（1），（2）；（3）有一个，见解析
【解析】
【分析】
（1）求出的导数，求得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程可得到切线方程；
（2）题目等价于任意[，不等式恒成立，设，，求导数，求单调区间和最大值，即可得的取值范围；
（3）设，，讨论①当时，②当时，判断单调性，结合 零点的存在性定理，即可得到方程解的个数.
【详解】（1）由题意得g（x）＝exf′（x）＝excosx，
g（π）＝eπcosπ＝﹣eπ，
g′（x）＝ex（cosx﹣sinx），g′（π）＝﹣eπ，
所以曲线y＝g（x）在点（π，g（π））处的切线方程：y﹣（﹣eπ）＝﹣eπ（x﹣π），即y＝﹣eπx+（π﹣1）eπ，
（2）若对任意?∈[，?]，不等式g（x）≤x•f（x）+m恒成立，
即对任意?∈[，?]，不等式m≥g（x）﹣x•f（x）恒成立，
只需要m≥[g（x）﹣x•f（x）]max，x∈[，π]
设h（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[，π]
h′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx＝（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，x∈[，π]，
所以（ex﹣x）cosx≤0，（ex+1）sinx≥0，
故h′（x）≤0，
故h（x）在[，π]上单调递减，
故h（x）max＝h（），
所以m.
（3）设H（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[0，]，
当x∈（0，]时，
设φ（x）＝ex﹣x，x∈（0，]时，
则φ′（x）＝ex﹣1≥0，所以φ（x）在[0，]上单调递增，
所以x∈（0，]时，φ（x）＞φ（0）＝1，
所以ex＞x＞0，
又x∈（0，]时，cosx≥sinx＞0，
所以excosx＞xsinx，
即g（x）＞xf（x），即H（x）＞0，
故函数H（x）（0，]上没有零点.
当x∈（，]时，
H′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣（sinx+xcosx）＜0，
故H（x）在（，]上至多有一个零点，
又H（）（e）＞0，H（）0，
且函数H（x）在（，]上是连续不断的，
故函数H（x）在（，]上有且只有一个零点.
当?∈[0，]时，方程g（x）＝x•f（x）的解有一个.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，单调性，零点问题，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.
四、请考生在22，23题中任选一题作答，并在答题卡上涂抹题号.如果多做，则按所做的第一题计分.如果没有涂抹题号，则按照22题计分.（本题满分10分）
22.在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的参数方程;
(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.
【答案】（1），（2）
【解析】
(1)曲线经过伸缩变换,可得曲线的方程为,
∴其参数方程为为参数);
曲线的极坐标方程为,即,
∴曲线的直角坐标方程为,即,
∴其参数方程为为参数).
(2)设,则到曲线的圆心的距离
,
∵,∴当时,.
∴.
23.设a，b是正实数，求：
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）最小值为（2）最大值为2
【解析】
【分析】
（1）法一：由题意得，再将，利用二次函数求最值的方法即可；法二：利用柯西不等式；
（2）法一：利用柯西不等式；法二：利用三角换元的方法，设，，进而即可得到结论.
【详解】（1）法一：由得，，
于是，当时，取得最小值为.
法二：，当且仅当时等号成立，
此时的最小值为.
（2）法一：，当且仅当时等号成立，
因为a，b是正实数，所以的最大值为.
法二：设，，，，
∵，
∴当时，，
的最大值为2.
【点睛】本题考查了不等式求最值，二次函数求最值，柯西不等式的应用，三角换元的方法，属于基础题.