山西省太原市第五中学2020届高三6月一模考试 数学（理）（PDF版）含答案

答案和解析

选择题：BAAC ABDB ACDD

填空题：4；或；；.

17.解：由题可得，四边形ABCD是正方形且三角形FBC是正三角形，所以，，且，
又，，所以，在三角形EAD中，根据余弦定理可得：．
平面平面FBC，，平面平面，且平面ABCD，所以平面BCF，
，，，且FB、平面FCB，EA、平面EAD，所以平面平面FBC，所以平面EAD，
又平面EAD，所以，
综上：，，且EA、平面ABFE，所以平面ABFE，
又平面DEF，所以平面平面ABFE．
如图，分别取BC和AD的中点O，G，连接OF，OG，
因为且三角形FBC为正三角形，所以，
因为，，所以，
由可得，平面FBC，则平面FBC，
故OF、OB、OG两两垂直，分别以OB、OG、OF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，
设平面DEF的法向量为，平面DCF的法向量为，
则，
则，
所以
又二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为．

18.解：当时，，
则，
即．
数列的各项均为正数，
．
，
化简，得，
当时，，
，得，
当时，，时上式也成立，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，即．
由题意，令，得；令，得．
要使数列是等差数列，必须有，解得．
当时，，且．
当时，，
整理，得，即，
从而，
化简，得，即．
综上所述，可得，．
时，数列是等差数列．

19.解：由题意得，解得，，，
所以椭圆C的方程为．
证明：设直线AB的方程为，，，，
由，得，
，则，
则有，，
由，得，
由可得，
，
．
综上，点D在定直线上

20.解：由茎叶图的数据可得中位数，
根据茎叶图可得：，，，，

根据中的列联表，，
有的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；
天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，
以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得，
设一个生产周期内需要次维护，，正常维护费为万元，
保障维护费为首项为，公差为的等差数列，共次维护需要的保障费为万元，
故一个生产周期内保障维护X次的生产维护费为万元，
设一个生产周期内的生产维护费为X万元，则X可能取值为2，，，，4，
则，
，
，
，
，
则X的分布列为：

21.解：Ⅰ由得，
令，，
当，，递增，
当，，递减，
因为当，；当，，且，，，，，，
所以函数有两个不同的零点，此时；
Ⅱ先证，
不妨设，由可知，，
构造函数，，
当，，递增，，，
所以，即．
因为，所以，，
由可知在是递增，，即，
要证明只需证明，
即，，
只需证明，，
令，，
当，，递增，
当，，递减，
当，，，故．
 

22.解：由题意得点A的直角坐标为，将点A代入得，
则直线l的普通方程为．
由得，即．
故曲线C的直角坐标方程为．
设直线DE的参数方程为为参数，
代入得．
设D对应参数为，E对应参数为．
则，，且，．
．
 

23.解：Ⅰ当时，不等式为，
当时，不等式化为，此时不等式无解；
当时，不等式化为，故；
当时，不等式化为，故．
综上可知，不等式的解集为．
Ⅱ，当且仅当与同号时，取得最小值，
的值域为，且，，故．
故当且仅当时取等号．

又（等号成立条件同上）
．