天津市红桥区2020届高三模拟考试数学试题
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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！
参考公式：
柱体的体积公式 ，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．
锥体的体积公式 ，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．
球的体积公式 ，其中表示球的半径．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，，则
(A) (B)
(C) (D)
（2）若数列是等比数列，其前项和为，且，则公比
(A) (B)
(C) 或 (D) 或
（3）已知，，，则
(A) (B)
(C) (D)
（4）设，，则是的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
（5）若直线被圆所截的弦长为，则实数的值为
(A) 或 (B) 或
(C) 或 (D) 或
（6）已知正方体的体积是，则这个正方体的外接球的体积是
(A) (B)
(C) (D)
（7）将函数的图像沿轴向右平移个单位长度，所得函数的图像关于轴对称，则的最小值是
(A) (B)
(C) (D)
（8）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为
(A) (B)
(C) (D)
（9）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
（10）若为虚单位，则复数.
（11）某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：
| 武术社 | 摄影社 | 围棋社 |
高一 | |||
高二 |
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果武术社被抽出人，则这三个社团人数共有.
（12）已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是.
（13）已知实数满足条件：，且是与的等比中项，又是与的等差中项，则.
（14）曲线在点处的切线方程为.
（15）已知是单位向量，且，若向量满足，则的最大值是.
三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分分）
在△中，内角所对的边分别是，已知，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
（17）（本小题满分分）
设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立.
（Ⅰ）若甲、乙两人各射击次，求至少有一人命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲连续射击次，设命中目标次数为，求命中目标次数的分布列及数学期望.
（18）（本小题满分分）
四棱锥中，平面，四边形是矩形，且
，，是线段上的动点，是线段的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若直线与平面所成角为，
（1）求线段的长；
（2）求二面角的余弦值.
（19）（本小题满分分）
已知椭圆经过点，离心率，直线的方程为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
（20）（本小题满分分）
函数，.
（Ⅰ）讨论函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知和是函数的两个不同的零点，求的值并证明：.（其中为自然对数的底数）
高三数学 参考答案
一、选择题 每题5分
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
答案 | A | C | A | A | A | B | D | D | C |
二、填空题 每题5分
10. 11. 150 12. 10 13. 14. 15.
三、解答题
16.（本小题满分分）
解：（Ⅰ）因为；..............................3分
且，，，
解得；.......................................................................6分
（Ⅱ）因为,
所以，...............................................................7分
,...........................................9分
，..........................................11分
又,...........13分
所以......................................15分
- （本小题满分分）
（Ⅰ）设“至少有一人命中目标”为事件，
......................................4分
.........................................................6分
（或设“两人都没命中目标”为事件，..........4分
“至少有一人命中目标”为事件，..........6分）
（Ⅱ）的取值情况可能为0，1,2,3，
..........................................................10分
的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
...............................................13分
以 。 ................................................15分
18.（本小题满分分）
（Ⅰ）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），
可得,，，，,，。
向量,向量，，
，，....................................................2分
即,,,..................................4分
所以平面...................................................................5分
（Ⅱ）（1）设为平面的法向量，
则即,
不妨令，可得为平面的一个法向量，....................................7分
向量
于是有，............................................................................9分
所以，得（舍）.............................10分
，，线段的长为；.............................................................11分
（2）设为平面的法向量，,
则即,
不妨令，可得为平面的一个法向量，.........................12分
又为平面的一个法向量，....................................................13分
所以。..............................................................15分
19.（本小题满分分）
（Ⅰ）由 题意可得，....................................3分
得，，.............................................................5分
椭圆；..........................................................6分
（Ⅱ）设、,直线为...................................7分
由,得，.....................................8分
显然，由韦达定理有:,；...................10分
因为、、共线，
所以 ......................................................11分
若
..................................12分
, ................................................................13分
又，.........................................................................14分
所以。.............................................................................15分
20.（本小题满分分）
（Ⅰ）函数定义域为，......................................1分
则，.............................................................2分
（1）当时，函数是上的增函数，无极值；..............4分
（2）当时，则，
所以的单调增区间是；............................................................5分
单调减区间是；...........................................................6分
在处取得极大值，无极小值；......................7分
（Ⅱ） 因为是函数的零点，
则，得；............................8分
所以；...........................................9分
因为，............................................10分
，....................................................11分
所以，................................................12分
由（Ⅰ）知，函数在区间上单调递减，...........13分
所以函数在区间上有唯一零点，.........................14分
因此成立..................15分
