四川省宜宾市叙州区第二中学2020届高三一诊模拟数学（文）试题
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文科数学试题
第I卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．已知全集为，集合，，则元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为
A． B． C． D．
3．设，则
A．0 B．1 C． D．3
4．已知，是两个不重合的平面，直线，，，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，则
A． B． C． D．5
6．设，，，则
A． B． C． D．
7．已知曲线，，则下面结论正确的是
A．把曲线向右平移个长度单位得到曲线 B．把曲线向左平移个长度单位得到曲线
C．把曲线向左平移个长度单位得到曲线 D．把曲线向右平移个长度单位得到曲线
8．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为 ：（参考数据：）
A．3.1419 B．3.1417 C．3.1415 D．3.1413
9．函数的图象大致是
A． B． C． D．
10．过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于
A． B． C． D．
11．椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
12．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．设，满足约束条件，则的最小值是__________．
14．函数的图像在处的切线方程为_______.
15．如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方
体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三
对棱长分别为，则此四面体的体积为_______；
16．在四边形中，已知是边上的点，且，，若点在线段上，则的取值范围是______.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（12分）
在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．
(1) 求和的值； （II）求的值．
18．（12分）唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的件工艺品测得重量（单位：）数据如下表：
分组 | 频数 | 频率 |
| ||
| ||
| ||
| ||
合计 |
|
（I）求出频率分布表中实数，的值；
（II）若从仿制的件工艺品重量范围在的工艺品中随机抽选件，求被抽选件工艺品重量均在范围中的概率.
19．（12分）如图1，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，已知四棱锥的正视图，如图2所示.
（I）若M是的中点，证明：平面；
（II）求棱锥的体积.
20．（12分）已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足
（I）求动点的轨迹方程；
（II）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.
21．（12分）已知函数
（I）求函数的单调区间；
（II）若，证明：
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，
（I）设为参数，若，求直线的参数方程；
（II）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.
23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.
（I）求不等式的解集；
（II）若对恒成立，求的取值范围.
四川省叙州区第二中学高2020届一诊模拟考试
文科数学试题参考答案
1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 9．C 10．B 11．A 12．B
13．0 14． 15．2 16．
17．（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.
（2）,
18．解：（1）；
.
（2）件仿制的工艺品中，重量范围在的工艺品有件，
重量范围在的工艺品有件，
所以从重量范围在的工艺品中随机抽选件方法数（种），所以所求概率.
19．(Ⅰ)由正视图可知，
∵PD⊥平面ABCD，∴ PD⊥BC
又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD.
∵，∴BC⊥平面PCD
∵平面PCD，∴DM⊥BC.
又是等腰三角形，E是斜边PC的中点，所以∴DM⊥PC
又∵，∴DM⊥平面PBC.
(Ⅱ)在平面PCD内过M作MN//PD交CD于N，所以且平面ABCD，所以棱锥M－ABD的体积为
又∵棱锥A－BDM的体积等于棱锥M－ABD的体积，
∴棱锥A－BDM的体积等于.
20．解：（1） 设，由题意得：，由，可得点是的中点，
故，所以，又因为点在圆上，所以得，
故动点的轨迹方程为.
（2）设，则，且，
当时，，此时；
当时，因为,即
故，，
，
①，
代入①
设
因为恒成立， 在上是减函数，
当时有最小值，即,综上：的最小值为
21．解：（1）函数的定义域为，求导得，令，
令g’(x)＞0，解得-1＜x＜0，令g’(x)＜0解得x＞0，
所以单调增区间为减区间为。
g(x)＜g(0)=0，即f’(x)＜0在定义域上恒成立，
所以的单调减区间为 ；
（2）证明：将不等式变形为，因为，即不等式等价于，由（1）有所以在上单调递减，所以要证原不等式成立，需证当x＞0时，x＜ex-1，令，则，可知h’(x)＞0在恒成立，即h(x)在上单调递增，故h(x)>h(0)=0，即x＜ex-1，故f(x)＞f(ex-1)，即，即.
22．（1）直线的极坐标方程为即，
因为为参数，若，代入上式得，
所以直线的参数方程为（为参数）
（2）由，得，
由，代入，得
将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，
得.（*）
则且，，
设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.
则，，，
由题设得.则有，得或.
因为，所以
23：（1）因为，
所以当时，由得；
当时，由得；
当时，由得.
综上，的解集为.
（2）（方法一）由得，
因为，当且仅当取等号，
所以当时，取得最小值5，
所以当时，取得最小值5，
故，即的取值范围为.
（方法二）设，则，
当时，取得最小值5，
所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.
