2020届安徽省淮北市高三第一次模拟数学（理）试题（解析版）
展开2020届安徽省淮北市高三第一次模拟数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求出集合，即可得到.
【详解】
因集合，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，属于基础题．
2．已知复数，为虚数单位，则的实部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】根据完全平方和公式和复数的乘方运算法则进行运算化简复数的表示，再根据复数的实部定义求解即可.
【详解】
因为，所以的实部为.
故选：D
【点睛】
本题考查了复数的乘方运算，考查了复数的实部定义，考查了数学运算能力.
3．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据正弦的诱导公式化简等式，再利用同角的三角函数关系式，求出的值，最后利用二倍角的正切公式求值即可.
【详解】
，因为是锐角，所以有
.
故选：B
【点睛】
本题考查了正弦诱导公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的正切公式.
4．国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目.已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测.现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图.下列描述正确的是（ ）
A．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐
B．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐
C．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐
D．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐
【答案】D
【解析】根据茎叶图所反映出数据的分布情况进行判断即可.
【详解】
通过茎叶图数据可知：
甲品种的平均高度为：；
乙品种的平均高度为：，所以乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但是乙品种的10株高度在分散，没有甲品种10株的高度集中，都集中在25左右，故乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐.
故选：D
【点睛】
本题考查了通过茎叶图比较平均数和方差的大小，属于基础题.
5．已知圆直线，则“”是“上恰有两个不同的点到的离为1”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据直线与圆的位置关系，结合充分性和必要性的定义进行求解即可.
【详解】
因为上恰有两个不同的点到的离为1”，所以有.
因此由“”不一定能推出 “上恰有两个不同的点到的离为1”，但是由“上恰有两个不同的点到的离为1”一定能推出成立，故“”是“上恰有两个不同的点到的离为1”的必要不充分条件.
【点睛】
本题考查了必要不充分条件的判断，考查了直线与圆的位置关系的应用.
6．若函数且）在R上既是奇函数,又是减函数,则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意首先确定函数g(x)的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像.
【详解】
∵函数(a>0,a≠1)在R上是奇函数，
∴f(0)=0，∴k=2，
经检验k=2满足题意，
又函数为减函数，
所以，
所以g(x)=loga(x+2)
定义域为x>−2，且单调递减，
故选A.
【点睛】
本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义，利用两点间线段最短，结合已知直接求解即可.
【详解】
设双曲线的左焦点坐标为，因此有由双曲线的定义可知：
，
所以周长为，当在线段上时，
有最小值，最小值为5，因此有，所以离心率为：
.
故选：B
【点睛】
本题考查了双曲线离心率的求法，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力.
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】运用对数的运算性质化简，最后利用对数的单调性、做差比较法、放缩法进行比较大小即可.
【详解】
，，因为是定义域内的单调递增函数，，所以有.
.
因为，，所以，
因此有.
故选：A
【点睛】
本题考查了对数式的比较，考查了对数的运算，考查了对数函数的单调性，考查了放缩法.
9．函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题中所给的方法进行求导，然后求出单调递减区间即可.
【详解】
，
于是有：，当时，有.
故选：C
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了数学阅读能力，考查了导数的运算，考查了数学运算能力.
10．淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科.若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有（ ）（同一半天如果有两科考试不计顺序）
A．648 B．1728 C．864 D．324
【答案】C
【解析】根据语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，和每个半天考一科或两科，可以这样考虑，再从剩下的三科中选出一科，和这三科进行全排列，而后再安排最后剩下的二科即可.
【详解】
根据题意可以这样按步进行：
第一步，从剩下的三科中选一科和语文、数学、物理进行全排列的不同种数有：，
第二步，考虑最后剩下的两科的方案，根据题意可知：剩下的两科中第一科有4个选择的方式，而最后一科有3种选择方式，共有，因此一共有种方案.
故选：C
【点睛】
本题考查了排列应用，考查了分步计算原理的应用，考查了数学运算能力.
11．已知等差数列满足，则的最大值为（ ）
A． B．20 C．25 D．100
【答案】C
【解析】根据的形式，可以利用三角代换的方法，令
，利用等差数列的性质求出公差，用等差数列下标的性质化简，最后利用辅助角求出最大值即可.
【详解】
因为，所以令，因此公差
，，
因此有，其中
，因为，所以的最大值为25.
故选：C
【点睛】
本题考查了等差数列的下标性质，考查了等差数列的通项公式，考查了三角代换，考查了辅助角公式.
二、多选题
12．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数以为周期且在处取得最大值
B．函数以为周期且在区间单调递增
C．函数是偶函数且在区间单调递减
D．将的图像向右平移1个单位得到
【答案】AB
【解析】利用二倍角公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质和绝对值的性质逐一判断即可.
【详解】
.
A：，所以函数的周期为.
当时，，所以函数在处取得最大值，故本选项是正确的；
B：，所以函数的周期为.
当时，，所以，故函数是单调递增函数，因此本选项是正确的；
C：，所以函数是偶函数，由上分析，函数在区间单调递减是不正确的，故本选项是错误的；
D：将的图像向右平移1个单位得到，故本选项是错误,
故选：AB
【点睛】
本题考查了余弦型函数的性质，考查了二倍角的余弦公式，考查了绝对值的性质，考查了余弦的诱导公式.
三、填空题
13．在边长为2的正中，为中点，则______.
【答案】3
【解析】根据正三角形的性质可以求出的长以及的值，最后利用数量积的定义直接求解即可.
【详解】
因为为中点，是正三角形，所以是三角形的高线、角平分线、中线，所以，在直角三角形中，，所以有
.
故答案为：3
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的定义，考查了正三角形的性质，考查了数学运算能力.
14．从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设为抛物线的焦点，则的面积为_______.
【答案】10
【解析】设出点的坐标，利用抛物线的定义结合已知可以求出点的坐标，最后求出面积即可.
【详解】
设点的坐标，焦点的坐标为，，所以
，的面积为.
故答案为：10
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力属于基础题.
15．设函数，则满足的取值范围是______.
【答案】
【解析】先判断函数的单调性和值域，再分类讨论求出不等式的解集.
【详解】
当时，，因此函数是单调递减函数，因此有.
当时，则有或或
解（1）得：，解（2）得：，解（3）得：，
综上所述：的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题考查了分段函数不等式的解法，考查了数学运算能力.
16．已知直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角的平面角为，则球的表面积等于______.
【答案】
【解析】设直线与球的公共点为，过与作直线直线的垂面如图所示，设出球的半径，通过解三角形，利用转化思想求出球半径的平方，最后利用球的表面积公式求解即可.
【详解】
设直线与球的公共点为，过与作直线直线的垂面如图所示，设球的半径为，
，垂足为，则有，
设，所以有，而，所以，所以，因此球的表面积等于：.
故答案为：
【点睛】
本题考查了二面角的有关知识，考查了球的表面积公式，考查了空间想象能力.
四、解答题
17．已知的面积为，且.
（1）求的值；
（2）若角成等差数列，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据三角形面积公式、平面向量数量积定义，可以得到的值，再根据同角的三角函数关系求出的值，最后运用二倍角的余弦公式和正弦公式计算求值即可；
（2）根据等差中项的定义，结合三角形内角和定理可以求出的值，结合（1），利用两角和的正弦公式可以求出的值，根据平面向量减法的运算法则和正弦定理可以求出，最后利用三角形面积公式求解即可.
【详解】
解：（1）设中的对边分别为，
∵及∴，∴，.
（2）∵，，
∴，从而有
∵
∴由正弦定理得
所以
【点睛】
本题考查了三角形面积公式、正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.
18．在直角梯形（如图1），，，，，为线段中点.将沿折起，使平面平面，得到几何体（如图2）.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）通过计算结合勾股定理的逆定理可以证明，再根据面面垂直的性质定理进行证明即可；
（2）法一、
取的中点连接，根据，结合三棱锥的体积公式进行求解即可；
法二、
取的中点连接，由题设可知为等腰直角三角形，所以面，连接，因为分别为和的中点，所以，由（1）可知，故以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.运用向量法求解即可.
【详解】
解：（1）由题设可知，，
∴∴
又∵平面平面，平面平面
∴面.
（2）法一、等体积法
取的中点连接，由题设可知为等腰直角三角形，所以面
∵且
而
∴到面的距离，
所以.
法二、向量法
取的中点连接，由题设可知为等腰直角三角形，所以面，连接，因为分别为和的中点，所以，由（1）可知，故以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，
∴
∴面的一个法向量
∴
【点睛】
本题考查了利用面面垂直的性质定理证明线面垂直，考查了点到面距离的求法.
19．已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是和的等差中项.
（1）求和的通项公式；
（2）令，的前项和记为，若对一切成立，求实数的最大值.
【答案】（1），（）；（2）
【解析】（1）利用当时求出数列的通项公式，结合等差中项的定义，利用已知，是和的等差中项，求出的值，进而求出等比数列的公比，最后求出等比数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法和等比数列前项和求出的表达式，最后数列的单调性求出实数的最大值.
【详解】
解:（1）时，，
当时
也符合上式，所以，
又和，得，或.
∵∴.
∴，
（2）∵
∴
而随着的增大而增大，所以
故有最大值为.
【点睛】
本题考查了已知数列求通项公式，考查了等差中项的定义，考查了等比数列通项公式和前项和和裂项相消法，考查了数学运算能力.
20．有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下.现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标的值评定石榴的等级，若则为一级；若则为二级；若则为三级.近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：
种植园编号 | A | B | C | D | E | F |
种植园编号 | G | H | I | J | K | L |
（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；
（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（1）50个；（2）分布列见解析；
【解析】（1）计算12个石榴种植园的综合指标，可得数表，然后计算求值即可；
（2）由题意可以取0、1、2，求出相应的概率，列出分布列、计算数学期望即可.
【详解】
解：（1）计算12个石榴种植园的综合指标，可得下表
编号 | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L |
综合指标 | 1 | 5 | 2 | 4 | 3 | 4 | 6 | 1 | 5 | 3 | 3 | 2 |
由上表可知等级为一级的有5个，
所以等级为一等的频率为，
所以120个石榴种植园中一级种植园约有50个；
（2）由题意可以取0、1、2，
其中，，
∴的分布列为
0 | 1 | 2 | |
故
【点睛】
本题考查了离散型随机变量分布列，考查了计算数学期望，考查了数学运算能力.
21．已知椭圆过点离心率为.
（1）求的方程；
（2）如图，若菱形内接于椭圆，求菱形面积的最小值.
【答案】（1）；（2）4
【解析】（1）把点的坐标代入椭圆方程中，再根据离心率，建立方程组，求解方程组即可；
（2）当与轴或轴重合时，利用菱形面积计算求解即可；
当直线存在斜率且不为零时，设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，最后利用菱形的面积公式求出表达式，结合基本不等式进行求解即可，最后求出菱形面积最小值.
【详解】
解：（1）由题意得又
解得，.
所以的方程为
（2）①当与轴或轴重合时，可求菱形的面积为；
②当为时，为，由
得，
所以由弦长公式得，
同理可得
所以菱形的面积为
∵
∴，当且仅当时取等号.
∵∴菱形面积的最小值为4. （说明：本题也可三角换元法或求导法求最小值）
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查了利用椭圆弦长公式求菱形面积最小值问题，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.
22．已知函数，，是的导函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若在可上单调递增，求的取值范围；
（3）求证：当时在区间内存在唯一极大值点.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析
【解析】（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；
（2）求函数进行求导，让导函数大于或等于零，进行常变量分离，构造新函数，然后利用导数求出新构造函数单调性，最后求出的取值范围；
（3）对再求导，求出该函数的单调性，进而证明函数有唯一极大值点即可.
【详解】
解：（1）∵，
，又
∴在处的切线方程为；
（2）∵∴
令，，则
∵，，∴，
∴在上单调递减，∴，
（3）∵
∴令，
∴，
显得在上单调递减，而
得，
取，则
故存在使
即在上单调递增，在上单调递减
也即为的极大值点
所以当时，在区间内存在唯一极大值点.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的切线，考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了数学运算能力.
