2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷（二）全国Ⅰ卷数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据一元二次不等式的解法求出集合，根据指数函数单调性求出集合，取并集即可得出答案.
【详解】
∵集合
.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合并集的运算，以及一元二次不等式的解法和指数函数单调性，属于基础题.
2．已知向量，，则与共线的单位向量为( )
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.
【详解】
因为，，则，
所以，
设与共线的单位向量为，
则，
解得 或
所以与共线的单位向量为或.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.
3．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
根据题意，，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.
4．已知函数且的图象恒过定点，则函数图象以点为对称中心的充要条件是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可得出的坐标为，再利用点对称的性质，即可求出和.
【详解】
根据题意，，所以点的坐标为，
又 ，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.
5．下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( )
A．. B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.
【详解】
A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误；
B中，，所以在区间上为减函数，则错误；
D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误；
故选：C.
【点睛】
本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.
6．已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为( )
A． B． C． D．6
【答案】C
【解析】利用导数法和两直线平行性质，将线段的最小值转化成切点到直线距离.
【详解】
已知与分别为函数与函数的图象上一点，
可知抛物线存在某条切线与直线平行，则，
设抛物线的切点为，则由可得，
，所以切点为，
则切点到直线的距离为线段的最小值，
则.
故选：C.
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.
7．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.
【详解】
根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，
所以 的周期为， 则，
所以，
由正弦函数和正切函数图象可知正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.
8．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.
【详解】
由得，
即，即，
因为，所以，
由余弦定理，所以，
由的面积公式得
故选：A
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
9．在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，( )
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出.
【详解】
由题意，直角梯形中，，，，，
可求得，所以·
∵点在线段上， 设 ，
则
，
即，
又因为
所以，
所以，
当时，等号成立.
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.
10．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.
【详解】
因为，且的图象经过第一、二、四象限，
所以，，
所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
又，，
则|，
即，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.
11．已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围.
【详解】
已知与的图象有一个横坐标为的交点，
则，
，
，，
，
若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 则，
所以当时，，
在有且仅有5个零点，
，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.
12．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围.
【详解】
设函数，，
因为，
所以，
或，
因为 时，，
或时，，，其图象如下：
当时，至多一个整数根；
当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，
，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.
二、填空题
13．已知函数，若，则的取值范围是__
【答案】
【解析】根据分段函数的性质，即可求出的取值范围.
【详解】
当时， ，
，
当时，，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.
14．若，则____.
【答案】
【解析】由， 得出，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果.
【详解】
因为， 所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查.
15．如图，已知扇形的半径为1，面积为，则_____.
【答案】
【解析】根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角，再根据等腰三角形性质求出，利用向量的数量积公式求出.
【详解】
设角， 则，
，
所以在等腰三角形中，，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题.
16．在中，角，，所对的边分别边，且，设角的角平分线交于点，则的值最小时，___.
【答案】
【解析】根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.
【详解】
因为，则，
由余弦定理得：
，
当且仅当时取等号，
又因为，，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力.
三、解答题
17．已知为坐标原点，单位圆与角终边的交点为，过作平行于轴的直线，设与终边所在直线的交点为，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，求得，，因而得出，利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数，最后利用，求出的最小正周期；
（2）由（1）得，再利用整体代入求出函数的值域.
【详解】
（1） 因为 ， ，
所以，
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以
，
所以，
故函数在区间上的值域为.
【点睛】
本题考查正弦型函数的周期和值域，运用到向量的坐标运算、降幂公式和二倍角的正弦公式，考查化简和计算能力.
18．已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.
（1）求不等式的解集；
（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用定义法求出函数在上单调递增，由和，求出，求出，运用单调性求出不等式的解集；
（2）由于恒成立，由（1）得出在上单调递增，恒成立，设，利用三角恒等变换化简，结合恒成立的条件，构造新函数，利用单调性和最值，求出实数的取值范围.
【详解】
（1）设，
，
所以函数在上单调递增，
又因为和，
则，
所以
得
解得，即，
故的取值范围为；
（2） 由于恒成立，
恒成立，
设，
则
，
令， 则，
所以在区间上单调递增，
所以，
根据条件，只要 ，
所以.
【点睛】
本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.
19．在中， 角，，的对边分别为， 其中， .
（1）求角的值；
（2）若，，为边上的任意一点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；
（2）在中， 由余弦定理得，在中结合正弦定理求出，从而得出，即可得出的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出的最小值.
【详解】
（1） ，
，
由题知，，则，则
，
，
；
（2）在中， 由余弦定理得，
，
设， 其中.
在中，，
，
，
，
所以，
，
所以的几何意义为两点连线斜率的相反数，
数形结合可得，
故的最小值为.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力.
20．已知函数与的图象关于直线对称. （为自然对数的底数）
（1）若的图象在点处的切线经过点，求的值；
（2）若不等式恒成立，求正整数的最小值.
【答案】（1）e；（2）2.
【解析】（1）根据反函数的性质，得出，再利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线为，构造函数，利用导数求出单调性，即可得出的值；
（2）设，求导，求出的单调性，从而得出最大值为，结合恒成立的性质，得出正整数的最小值.
【详解】
（1）根据题意，与的图象关于直线对称，
所以函数的图象与互为反函数，则,，
设点，，又，
当时，，
曲线在点处的切线为，
即，代入点，
得，即，
构造函数，
当时，，
当时，，
且，当时，单调递增，
而， 故存在唯一的实数根.
（2）由于不等式恒成立，
可设，
所以，
令，得.
所以当时，；当时，，
因此函数在是增函数，在是减函数.
故函数的最大值为 .
令，
因为， ，
又因为在是减函数.
所以当时，.
所以正整数的最小值为2.
【点睛】
本题考查导数的几何意义和利用导数解决恒成立问题，涉及到单调性、构造函数法等，考查函数思想和计算能力.
21．某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为.
（1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度；
（2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.
【答案】（1）当时，公路的长度最短为千米；（2）（千米）.
【解析】（1）设切点的坐标为，利用导数的几何意义求出切线的方程为，根据两点间距离得出，构造函数，利用导数求出单调性，从而得出极值和最值，即可得出结果；
（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根据勾股定理即可求出的长度.
【详解】
（1）由题可知，设点的坐标为，
又，
则直线的方程为，
由此得直线与坐标轴交点为：，
则，故，
设，则.
令，解得=10.
当时，是减函数；
当时，是增函数.
所以当时，函数有极小值，也是最小值，
所以， 此时.
故当时，公路的长度最短，最短长度为千米.
（2） 在中，，,
所以，
所以，
根据正弦定理
,
，
，
，
又，
所以.
在中，，，
由勾股定理可得，
即，
解得，（千米）.
【点睛】
本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.
22．已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.
（1）求的解析式；
（2）若方程有两个实根，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据题意，在上单调递减，求导得，分类讨论的单调性，结合题意，得出的解析式；
（2）由为方程的两个实根，得出，，两式相减，分别算出和，利用换元法令和构造函数，根据导数研究单调性，求出，即可证出结论.
【详解】
（1）根据题意，对任意两个不等的正实数，都有恒成立.
则在上单调递减，
因为，
当时，在内单调递减.，
当时，由，有，
此时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上，，所以.
（2）由为方程的两个实根，
得，
两式相减，可得，
因此，
令，由，得，
则，
构造函数.
则，
所以函数在上单调递增，
故，
即， 可知，
故，命题得证.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能力和计算能力.
