2020届河北省石家庄市二模数学（理）试题（解析版）

2020届河北省石家庄市二模数学（理）试题

一、单选题

1．设是虚数单位，复数（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案．

【详解】

由题意，复数，故选D．

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

2．已知全集，集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由补集的运算求得，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．

【详解】

由题意，集合，则，

根据集合的并集运算，可得，故选B．

【点睛】

本题主要考查了集合混合运算，其中解答中熟记集合的并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

3．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．

【详解】

由题意，执行上述的程序框图：

第1次循环：满足判断条件，；

第2次循环：满足判断条件，；

第3次循环：满足判断条件，；

不满足判断条件，输出计算结果，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

4．已知实数、满足不等式组，则的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．

【详解】

画出不等式组所表示平面区域，如图所示，

由目标函数，化为直线，当直线过点A时，

此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，

又由，解得，

所以目标函数的最大值为，故选A．

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

5．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案．

【详解】

将将函数的图象向左平移个单位长度，

可得函数

又由函数为偶函数，所以，解得，

因为，当时，，故选D．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（    ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．

【详解】

解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC，

正方体的棱长为2，
该几何体的表面积：

．

故选：C．

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．

7．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为   

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．

【详解】

解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个，

基本事件总数，

6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，

∴6和28恰好在同一组的概率．

故选：B．

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．

【详解】

由双曲线与双曲线有相同的渐近线，

可得，解得，此时双曲线，

则曲线的离心率为，故选C．

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

9．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（　　）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】由题设条件知：时，，时，，或 时，，时，，由此即可求解．

【详解】

由函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，

所以当时，；时，；时，；

所以当时，，当时，，

当或 时，，当时，，

可得选项B符合题意，故选B．

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的极值的应用，其中解答中认真审题，主要导数的性质和函数的极值之间的关系合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

10．已知当，，时，，则以下判断正确的是  

A. B.

C. D.与的大小关系不确定

【答案】C

【解析】由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果．

【详解】

解：设，

则，

即为增函数，

又，，，，

即，

所以，

所以．

故选：C．

【点睛】

本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．

11．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为   

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，

求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．

【详解】

解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1，
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，

由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得，

，

当时，，

当时，，

，

综上：．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．

12．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为   

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可．

【详解】

解：如图，

∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小，

                                               
∴
设正方体的棱长为，则，

∴．
取，连接，则共面，

在中，设到的距离为，

设到平面的距离为，

.
故选：D．

【点睛】

本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．

二、填空题

13．已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为__

【答案】3

【解析】根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得．

【详解】

解：圆的圆心为（1，1），半径，
因为直线被圆截得的弦长为2，
所以直线经过圆心（1，1），
，解得．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．

14．已知，则展开式中的系数为__

【答案】12．

【解析】由题意求定积分得到的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中的系数．

【详解】

∵已知，则，
它表示4个因式的乘积．
故其中有2个因式取，一个因式取，剩下的一个因式取1，可得的项．
故展开式中的系数．
故答案为：12．

【点睛】

本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题．

15．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________．

【答案】

【解析】设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解．

【详解】

由题意，如图所示，设，则，

又由，，所以为的中点，为的三等分点，

则，，

所以

．

【点睛】

本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

16．在中，角，，的对边长分别为，，，满足，，则的面积为__．

【答案】．

【解析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求，进而可求，然后结合余弦定理可求，代入，计算可得所求．

【详解】

解：把看成关于的二次方程，

则，即，

即为，

化为，而，

则，

由于，可得，

可得，即，

代入方程可得，，

，

由余弦定理可得，，

解得：（负的舍去），

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．

三、解答题

17．已知数列是等差数列，前项和为，且，．

（1）求．

（2）设，求数列的前项和．

【答案】(1) (2)

【解析】(1)由数列是等差数列，所以，解得，又由，解得， 即可求得数列的通项公式；

 (2)由（1）得，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n项和．

【详解】

(1)由题意，数列是等差数列，所以，又，，

由，得，所以，解得，

所以数列的通项公式为．

(2)由（1）得，

，

，

两式相减得，

，

即．

【点睛】

本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.

18．已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．

（1）证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】（1）连接交于点，连接，通过证，并说明平面，来证明平面

（2）采用建系法以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，分别表示出对应的点坐标，设平面的一个法向量为，结合直线对应的和法向量，利用向量夹角的余弦公式进行求解即可

【详解】

证明：如图，

连接交于点，连接，点为的中点，点为的中点，

点为的重心，则，，，

又平面，平面，平面；

，，，，

，，可得，又，

则以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，．

设平面的一个法向量为，由，

取，得．设直线与平面所成角为，

则．直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值公式使用广泛，需要识记

19．在平面直角坐标系中，，，且满足

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程．

【答案】（1）．（2）的方程为．

【解析】（1）令，则，由此能求出点C的轨迹方程．

（2）令，令直线，联立，

得，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。

【详解】

解：（1）因为，即直线的斜率分别为且，

设点，则，

整理得.

（2）令，易知直线不与轴重合，

令直线，与联立得，

所以有，

由，故，即，

从而，

解得，即。

所以直线的方程为。

【点睛】

本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。

20．随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：

（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？

（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望．

【答案】（1）李某月应缴纳的个税金额为元，（2）分布列详见解析，期望为1150元

【解析】（1）分段计算个人所得税额；
（2）随机变量X的所有可能的取值为990，1190，1390，1590，分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可．

【详解】

解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600−5000−1000−2000＝21600元
不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元
超过3000元至12000元的部分税额为9000×10%＝900元，
超过12000元至25000元的部分税额为9600×20%＝1920元
所以李某月应缴纳的个税金额为90＋900＋1920＝2910元，
（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000−2000＝12000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＝990元
有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000＝14000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋400＝1390元；
没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−2000＝13000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋200＝1190元；
没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000＝15000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋600＝1590元；
．
所以随机变量X的分布列为：

．

【点睛】

本题考查了分段函数的应用与函数值计算，考查了随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题．

21．已知函数

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）若方程有两个不同实根，，证明：．

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】（1）将原不等式转化为，构造函数，求得的最大值即可；
（2）首先通过求导判断的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数，将问题转化为证明，探究在区间内的最大值即可得证．

【详解】

解：（1）由，即，

即，

令，则只需，

，令，得，

在上单调递增，在上单调递减，

，

的取值范围是；

（2）证明：不妨设，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

，当时，，

，

要证，即证，

由在上单调递增，

只需证明，

由，只需证明，

令，，

只需证明，

易知，

由，故，

，

从而在上单调递增，

由，故当时，，

故，证毕．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把恒成立问题转化为最值问题，把根的个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题．

22．在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标，直线的参数方程为（为参数），与交于，两点．

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）设点；若、、成等比数列，求的值

【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为 ；  (2)

【解析】(1)由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

(2)把的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得，，可得到，根据因为，，成等比数列，列出方程，即可求解．

【详解】

(1)由题意，曲线的极坐标方程可化为，

又由，可得曲线的直角坐标方程为，

由直线的参数方程为（为参数），消去参数，得，

即直线的普通方程为；

(2)把的参数方程代入抛物线方程中，得，

由，设方程的两根分别为，，

则，，可得，．

所以，，．

因为，，成等比数列，所以，即，

则，解得解得或（舍），

所以实数.

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

23．设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，求实数的取值范围．

【答案】(1) (2) 当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．

【解析】（1）当时，分类讨论把不等式化为等价不等式组，即可求解．

 (2)由绝对值的三角不等式，可得，当且仅当时，取“”，分类讨论，即可求解．

【详解】

（1）当时，，

不等式可化为或或 ，

解得不等式的解集为． 

(2)由绝对值的三角不等式，可得，

当且仅当时，取“”，

所以当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．

【点睛】

本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．