2020届河北省石家庄市第二中学高三下学期零模数学（文）试题（解析版）

2020届河北省石家庄市第二中学高三下学期零模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】分别根据二次不等式与对数不等式方法求解再求解即可.

【详解】

,.

故.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了二次不等式与对数不等式的求解与交集的运算,属于基础题.

2．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据模长的运算公式求解即可.

【详解】

由题, ,故,即.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数的几何意义与模长的公式等,属于基础题.

3．已知，，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：由指数函数，对数函数的性质，可知，

，即，选A

【考点】指数函数，对数函数的性质

4．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得的值，即可得到答案．

【详解】

由题意，根据平均数的计算公式，可得，

设收集的48个准确数据分别记为，

则

，

，

故．选A．

【点睛】

本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．

5．函数 (,)的最小正周期为,其图象关于直线对称,则的最小值为(   )

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】由题意，得，所以．因为函数的图象关于直线对称，所以，即，当时， 取得最小值，故选B．

点睛：求三角函数的性质，不论是周期性、单调性、对称性还是求三角函数的最值，都要以三角函数的性质为基础；另外在求解时要注意所给的范围和的取值．

6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，试观察，，，的值，并推测的值为（    ）

A．-1 B．1 C．1007 D．-1006

【答案】A

【解析】首先计算出，，，，再猜想，最后证明，时，利用斐波那契数列的递推关系及其性质可得：．再利用其周期性即可得出．

【详解】

解：，，，,

时，由，．

．

．

故选：．

【点睛】

本题考查了斐波那契数列的递推关系及其性质、数列的其周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．已知变量满足，则的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图：

可得当，时取得最大值，所以，故选

8．已知三个向量，，共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，所以，所以＝＝，则当与同向时最大，最小，此时，，所以＝；当与反向时最小，最大，此时 ＝，，所以，所以的取值范围为，故选A．

9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，，且，则双曲线的离心率为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用定义求出，，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，从而得出，在内使用余弦定理可得出与的等量关系，从而得出双曲线的离心率.

【详解】

由题意，，，，.

连接、，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，

，，

由余弦定理可得，，，

故选B.

【点晴】

本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.

10．设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的最大值是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为恒成立，然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论．

【详解】

解：是定义在上的偶函数，

不等式恒成立等价为恒成立，

当时，．

不等式等价为恒成立，

即在，上恒成立，

平方得，

即在，上恒成立，

设，

则满足，

，

即，

，

故实数的最大值是．

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于难题．

11．已知P，A，B，C是半径为2的球面上的点，O为球心，，，则三棱锥体积的最大值是(    )

A． B．1 C． D．

【答案】B

【解析】画图分析可知到面的距离为定值,故只需求底面的面积最大值,再根据基本不等式的方法求解即可.

【详解】

如图,设交平面于.因为,由球的对称性有底面.

又,.故.,

因为,所以.

又.故.

故.当且仅当时取等号.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了锥体外接球以及根据基本不等式求最值的问题,需要根据题意找到定量关系,利用基本不等式求最值,属于中档题.

12．已知函数，对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于任意的，，都有成立；③有且仅有两个零点；④若，则在点处的切线与在点处的切线为同一直线.其中所有正确的结论有(    )

A．①②③ B．①③ C．②③④ D．③④

【答案】C

【解析】(1)分别求即可判定(1)错误.

(2)分别计算判断是否等于即可.

(3)数形结合分析函数与的交点个数即可.

(4)分别根据导数的几何意义求解在点处的切线与在点处的切线方程,再根据判定即可.

【详解】

(1) 的定义域为.

因为,.

所以,所以在其定义域上不为增函数.故(1)错误.

(2)因为,.所以.

所以.故(2)正确.

(3) 的零点即的解的个数,即函数与的交点个数.画出图像可知,有两个交点,故(3)正确.

(4)对于函数,因为,所以,所以在点处的切线方程为,即.

对于函数,,所以,

所以在处的切线方程为,

即.因为,即,其中且,

所以,.

所以.所以两条切线为同一直线.故(4)正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了函数的性质以及运算,同时也考查了数形结合求解函数零点的个数与导数的几何意义求切线参数方程的问题,需要根据题意代入对应的值进行计算分析,属于难题.

二、填空题

13．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：2：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n=________.

【答案】60

【解析】先求出总体中中种型号产品所占的比例，是样本中种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．

【详解】

解：由题意知，总体中种型号产品所占的比例是，

因样本中种型号产品有18件，则，解得．

故答案为：60

【点睛】

本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进行抽取，再由条件列出式子求出值来，属于基础题．

14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.

【答案】4.

【解析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.

【详解】

因，所以，即，

所以．

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．

15．已知点，，点是直线AB上的动点，若恒成立，则最小正整数t=________.

【答案】

【解析】依题意求出直线的方程，即可表示出的坐标，再根据向量的模的坐标表示得到一元二次不等式，解得即可；

【详解】

解：因为，，所以：，

点是直线AB上的动点，所以，即，

所以，，

因为

所以

即，即解得或，

是使恒成立的最小正整数，，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查向量的坐标表示，一元二次不等式的解法，属于中档题；

16．F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线交于A，B两点，，分别是该抛物线在A，B两点处的切线，，相交于点C，则__________，_________.

【答案】0       

【解析】根据题意设直线的方程,联立直线与抛物线的方程,解得的坐标,再计算与即可.

【详解】

易得,又直线倾斜角为,故直线的方程为：

即.设,不妨设,数形结合可知此时.

联立,解得.

代入可得.故.又,,故在处的切线方程为.

在处的切线方程为.

联立可得.故.

.

故答案为：(1)0  (2)

【点睛】

本题主要考查了联立直线与抛物线的方程,求出点的坐标进行计算的问题,同时考查了导数的几何意义求解切线方程的问题.属于难题.

三、解答题

17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求的值；

（2）若，，求的面积S.

【答案】(1) ;(2)

【解析】(1)根据正弦定理边角互化,再利用正弦的和差角公式化简即可.

(2)利用余弦定理代入(1)中的化简可得,再根据同角三角函数的公式求解,再根据面积公式求解即可.

【详解】

(1)由正弦定理,

,根据内角和有.

根据正弦定理有,即.

(2)由余弦定理有,由(1) ,代入,

即.故.又因为,.

故.

【点睛】

本题主要考查了正余弦定理与三角形面积公式在解三角形中的运用,同时也考查了三角恒等变换的方法与技巧,属于中档题.

18．某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.

（1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高（不必说明理由）

（2）规定85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率.

【答案】（1）东城区；（2）

【解析】（1）根据茎叶图求出东城区与西城区的平均分即可得出结论；

（2）求出从两个区域各选一个优秀厂家的所有基本事件数，再求出满足得分差距不超过5的事件数，即可求出概率．

【详解】

解：（1）根据茎叶图知，东城区的平均分为，

西城区的平均分为，

东城区的平均分较高；

（2）从两个区域各选一个优秀厂家，

所有的基本事件数为种，

满足得分差距不超过5的事件，，，，，，，，，共9种，

满足条件的概率为．

【点睛】

本题通过茎叶图考查了平均数以及古典概型的概率问题，解题时应列出基本事件，属于基础题.

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，，，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上.

（1）求证：平面PBE；

（2）若，试求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）证明，，即可证明平面

（2）分别求体积，利用，且底面积，可得的值．

【详解】

（1）证明：由是的中点，，所以；

又底面是菱形，

所以，

又因为是的中点，

所以，

又，平面，平面，

所以平面．

（2）解：设四棱锥，的高分别为，．

所以，，

又因为，且底面积，

所以．

【点睛】

本题重点考查了空间中垂直关系的判定、空间中体积公式等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

20．已知椭圆，P是椭圆的上顶点，过点P作斜率为的直线l交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B.

（1）若直线PA、直线PB的斜率分别为，，求；

（2）设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）设，则，再由斜率公式计算可得；

（2）令，则直线PB的直线方程为：，联立直线与椭圆方程，即可得到的坐标，从而得到中点，再求出的中垂线与轴的交点坐标，最后根据点在椭圆内部得到不等式，解得即可；

【详解】

解：（1）由题意，设，则，

所以，

因为

（2）令，则直线PB的直线方程为：与联立，解得

，于是PB中点为，

于是PB的中垂线方程为：.

令，.因为点N在椭圆内部，所以，

解得，又因为，所以的范围为

【点睛】

本题考查直线与椭圆的综合应用，点与椭圆的位置关系，属于中档题.

21．设函数（x∈R，实数a∈[0，+∞），e=2.71828…是自然对数的底数，）．

（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若ex≥lnx+m对任意x＞0恒成立，求证：实数m的最大值大于2.3．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决；

（Ⅱ）构造函数设，利用导数求出函数的最值，即可证明．

【详解】

（Ⅰ）∵，f（x）≥0在x∈R上恒成立，∴a≤，

设h（x）=，∴h′（x）=，令h′（x）=0，解得x=，

当x＞，即h′（x）＞0，函数单调递增，

当x＜，即h′（x）＜0，函数单调递减，

∴h（x）min=h（）=，∴0＜a≤，

故a的取值范围为；

（Ⅱ）设，

∴，g'（x）＞0，可得；g'（x）＜0，可得．

∴g（x）在（，+∞）上单调递增；在上单调递减．

∴g（x）≥g（）=，∵，

∴＞1.6，∴g（x）＞2.3．

由（Ⅰ）可得exx，

∴ex﹣lnx的最小值大于2.3，

故若ex≥lnx+m对任意x＞0恒成立，则m的最大值一定大于2.3．

【点睛】

本题考查了导数和函数的最值的关系，关键是构造函数，属于中档题．

22．在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长.

【答案】（1）；（2）2

【解析】（1）首先利用对圆C的参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．

【详解】

（1）圆C的普通方程为，又，

所以圆C的极坐标方程为.

（2）设，则由解得，，得；

设，则由解得，，得；

所以

【点睛】

本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.

23．已知定义在R上的函数的最小值为a.

（1）求a的值.

（2）若p，q，r为正实数，且，求证：.

【答案】(1)3；(2)证明见解析

【解析】(1)根据绝对值的三角不等式求解即可.

(2)根据三元的柯西不等式证明即可.

【详解】

(1)根据绝对值的三角不等式有.

当且仅当 时取等号.故.

(2)证明：由(1)有.利用三元的柯西不等式有

.

故

【点睛】

本题主要考查了绝对值的三角不等式与三元的柯西不等式运用,属于基础题.