2020届贵州省贵阳市、六盘水市、黔南州高三3月适应性考试（一）数学（文）试题（解析版）

2020届贵州省贵阳市、六盘水市、黔南州高三3月适应性考试（一）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则的元素个数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得,

∴。

∴的元素个数为3.选C。

2．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】∵，

∴复数在复平面内对应的点为，在第一象限．选A．

3．已知向量，若，则(     )．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由向量平行的坐标表示列式求解m的值，再求解.

【详解】

=(1+m, 1),由得 ，解得m= ，

.故选B.

【点睛】

本题考查了向量平行的坐标表示,考查了向量的数量积的坐标表示，若则∥ ， .

4．某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是全等的直角三角形，俯视图为圆心角为的扇形，则该几何体的体积是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三视图可知：该几何体为圆锥的四分之一，

∴，

故选B

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

5．已知、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面，

则下列命题中为真命题的是

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【解析】【详解】

对A, 若，则或

对B, 若，则或或l与相交

对C, 若，则或

对D,若则,又因为,所以

6．游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”.某车间20名青年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位11人，其余人都是黄金或铂金段位.从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金段位的概率是0.2，则抽得铂金段位的概率是（    ）

A．0.20 B．0.22 C．0.25 D．0.42

【答案】C

【解析】由题意可得，黄金段位的人数为

则抽得铂金段位的概率为

故选

7．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可.

【详解】

由题知,函数的定义域为,关于原点对称,

且,

所以是奇函数,所以排除C,D;

又∵,所以排除A,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数图像的判断与识别，结合函数的奇偶性与特殊值的符号进行排除即可解决，属于中等题.

8．为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度单位长度：，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（  ）

A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐

B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐

C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐

D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐

【答案】D

【解析】本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐．

【详解】

由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：

甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37

乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47

由已知易得：

由茎叶图易得

故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，

甲种树苗比乙种树苗长得整齐．

故选D．

【点睛】

茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大．

9．在中，角所对的边分别为满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用已知代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，利用正弦定理将进行边角转化，利用公式化简，通过B的范围，即可得解b+c的取值范围．

【详解】

在中，，

由余弦定理可得，

∵A是三角形内角，

，

，

，

可得：，

，

，可得：，

可得：，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查正、余弦定理的应用解三角形，解三角形问题通常是将利用正弦定理或余弦定理进行边角转化，再进一步求解可得，属于基础题.

10．双曲线的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若为正三角形，则该双曲线离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出双曲线C的两渐近线方程，利用△MF1N为正三角形，利用直角三角形边角关系，即可求出该双曲线的离心率．

【详解】

双曲线的渐近线为y=±x,

令x=c,得y=±,

因为△MF1N为正三角形,所以tan∠MF1F2=,

得a=,c=,所以e==.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，利用直角三角形边角关系可得a、c的等式，化简可得离心率，属于中等题.

11．己知函数的图象在区间上恰有个纵坐标是最高点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据区间[0，1]上，求出的范围，由于在区间[0，1]上恰有1个最高点，建立不等式关系，求解即可．

【详解】

函数，

∵x∈[0,1]上，

，

图像在区间上恰有1个最高点，

，

解得：.

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想应用正弦函数图象找出对应的区间，列出不等式求解，属于中等题.

12．已知函数，则函数的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据x0，x0时f（x）的单调性和最值，作出y=f（x）的图象，设m=f（x），则变形为2m2﹣3m-2=0，解得m=2或 ，再由图像f（x）=2或f（x）=得交点个数即为零点个数.

【详解】

解：由题意，当 ,故当时，；当时，且 ，作出的大致图像，令中m=变形为2m2﹣3m-2=0，解得m=2或 ，再由图像f（x）=2或f（x）=，观察可知，函数 的零点个数为3.

【点睛】

本题函数与方程的应用，函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查学生分析解决问题的能力，函数的性质等基础知识．

二、填空题

13．已知则sin2x的值为________.

【答案】

【解析】利用二倍角的余弦函数公式求出的值，再利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．

【详解】

解：∵，，

则sin2x＝=，

故答案为.

【点睛】

此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．

14．若,满足约束条件则的最大值            ．

【答案】

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.

【考点】线性规划解法

15．已知圆的圆心是抛物线的焦点，直线与圆相交于两点，且，则圆的标准方程为____

【答案】

【解析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，得圆心以及圆心到直线的距离，根据勾股定理求得圆的半径，则圆的方程可得.

【详解】

依题意可知，抛物线的焦点为，

即圆的圆心坐标为，

直线与圆相交于两点，且，

圆心到直线的距离为，

圆的半径为，

则所求圆的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的应用，涉及了圆的基本性质，点到直线的距离，数形结合思想等问题，是基础题.

16．设二次函数的导函数为，若方程恰有两个相等的实根，则的最大值为______

【答案】

【解析】由于关于x的方程有两个相等实数根，可得△=0，可得，代入，再利用基本不等式的性质即可得出．

【详解】

二次函数的导函数为，

方程恰有两个相等的实根，

，

则，

∵关于x的方程f(x)=f′(x)有两个相等实数根，

∴，

当且仅当时取等号.

∴的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的运算、基本不等式求最值，解题的关键是根据二次函数根与系数关系进行化简，再运用基本不等式求最值，注意取等条件是否满知足，属于中等题.

三、解答题

17．己知等差数列中，，前项和为，数列是首项为，公比为，各项均为正数的等比数列，且

（1）求与;

（2）证明：

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）利用等差数列以及等比数列基本性质列出方程求出公差与公比，然后求解通项公式；

（2）由等差数列求和公式可得，化简，利用裂项相消法，求解数列的和即可．

【详解】

（1）依题意的方程组

由①得,代入②得,解之，得或，

因为数列各项均为正数，所以，所以，

所以

（2）由等差数列求和公式可得，

所以，

所以.

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列的通项公式，数列的求和，利用等差、等比通项公式列方程进行求解即可，难度不大，属于基础题.

18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形且侧棱垂直与底面的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵与刍童的组合体中，．

（1）证明：直线平面；

（2）已知,且三棱锥A-A1B1D1的体积，求该组合体的体积．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）证明AD⊥MA，推出MA⊥平面ABCD，得到MA⊥BD．结合BD⊥AC，证明BD⊥平面MAC；

（2）设刍童ABCD-A1B1C1D1的高为h，利用几何体的体积公式，转化求解即可．

【详解】

（1）证明:由题可知是底面为直角三角形且侧棱与底面垂直的棱柱,

平面

又平面，

又平面

平面,平面,

，

又四边形为正方形，

又平面平面；

（2）设刍童的高为，

则三棱锥体积，

所以，

故该组合体的体积为：

【点睛】

本题考查线面垂直的证明及组合体体积的求法，涉及知识点有棱柱、棱台的体积计算公式及直线与平面垂直的判定定理，属于中等题.

19．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在米以上的进入决赛，把所得的数据进行整理后，分成组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知第组的频数是.

（1）求进入决赛的人数；

（2）经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在米之间，乙的成绩均匀分布在米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙远的概率．

【答案】（1）36；（2）

【解析】（1）由频率分直方图求出第6小组的频率，从而求出总人数，进而得到第4、5、6组成绩均进入决赛，由此能求出进入决赛的人数；

（2）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为：，由此利用几何概型能求出甲比乙远的概率．

【详解】

（1）第小组的频率为，

总人数为(人).

第组成绩均进入决赛，

人数为（人），即进入决赛的人数为.

（2）设甲、乙各跳一次的成绩分别为米，

则基本事件满足的区域为，

事件“甲比乙远的概率”满足的区域为，如图所示：

由几何概型，

即甲比乙远的概率为.

【点睛】

本题考查几何概型，频率分布直方图，考查频率分布直方图的应用及几何概型求概率问题的灵活应用，属于中等题.

20．在平面直角坐标系中取两个定点，，再取两个动点，，且.

(1)求直线与的交点的轨迹的方程；

(2)过的直线与轨迹交于两点，过点作轴且与轨迹交于另一点，为轨迹的右焦点，若，求证：

【答案】(1)； (2)证明见解析

【解析】(1)由直线所过两点可得直线和的方程，设为两直线交点，则两方程做乘法整理可得所求轨迹方程；

(2)设过直线及坐标，将直线方程与椭圆方程联立整理可得韦达定理的形式；由可得；通过分析法可知，若要证，只需证得，将等式整理后可知最终只需证得，将韦达定理的结论代入即可知等式成立，即所证成立.

【详解】

(1)由题意知，直线的方程为：…①

直线的方程为：…②

设是直线与的交点，

①×②得：，整理得：

即点的轨迹的方程为：

(2)证明：设过点的直线，，，则

由消去得：

，

由得：

由(1)知：，则要证，即证

只需证，只需

即证

又，

，即

成立    成立

【点睛】

本题考查定点轨迹方程求解、直线与椭圆综合应用中的向量问题的求解；本题证明的关键是能够通过分析法将证等式进行转化，转化为能够利用韦达定理的形式，通过直线与椭圆方程联立得到韦达定理的结果，代入即可证得结论.

21．已知函数.

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调递增区间；

（3）当时，证明：（其中为自然对数的底数）．

【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析

【解析】【详解】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到    ；（2）对函数求导，分类讨论导函数的正负，得到单调区间；（3）由 知需证明.，对函数求导，研究函数的最值即可．

解析：

（1）当时，，

∴   

∴在点处的切线方程是.

（2）的定义域为

当，即当时，由解得或

当时，，

当，即当时，由解得或

综上：当时，的单调递增区间是，

当时，的单调递增区间是

当时，的单调递增区间是，

（3）当时，由    知需证明

令 ，

设，则

当时，，单调递减

当时，，单调递增

∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值

的最小值是

另解：证明（“”不能同时成立）

点睛：点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般要用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于导数中的数列不等式的证明，解题时常常要用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后通过取特值的方法转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程是为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程为

（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点，直线与曲线相交于两点，，求实数的值．

【答案】（1），（2）或或.

【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.（2）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.

【详解】

（1），

故曲线的普通方程为.

，，

直线的直角坐标方程为.

（2）直线的参数方程可以写为（为参数），

设两点对应的参数分别为，

将直线的参数方程代入曲线的普通方程，

可以得到，

,解得.

所以，

或，

解得或或.

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查直线的参数方程的几何意义的应用，是中档题.

23．已知a，b，c为正数，函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|.

(1)求不等式f(x)≤10的解集；

(2)若f(x)的最小值为m，且a＋b＋c＝m，求证：a2＋b2＋c2≥12.

【答案】(1) {x|－3≤x≤7}   (2) 证明见解析

【解析】（1）分段讨论的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解；

（2）求出的值，根据基本不等式得出结论．

【详解】

解：（1），

等价于或或，

解得或或，

所以不等式的解集为．

（2）因为，

当且仅当即时取等号．

所以，即．

，，，

，

．

．当且仅当时等号成立．

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．