2020届广东省惠州市高三上学期第三次调研考试数学（理）试题

 惠州市2020届高三第三次调研考试
理科数学 2020.1
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知全集，，则( )．
A． B． C． D．
2．设i为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在第( )象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．已知，，，则( )．
A． B． C． D．
4．在直角坐标系中，已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，
终边落在直线上，则= ( )．
A． B． C． D．
5．在平行四边形ABCD中，，，，为的中点，
则= ( )．
A． B． C． D．
6．设，则“”是“直线与直线平行”
的 ( ) 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
7．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，称为斐波那契数列，它是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。该数列从第3项开始，每项等于其前相邻两项之和，即．记该数列的前项和为，则下列结论正确的是( )．
A． B．
C． D．
8．《易经》是中国传统文化中的精髓之一。右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线）。从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为( )．
A． B． C． D．
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
9．函数的图象的大致形状是( )．
A B C D
10．如图，平面过正方体的顶点A，平面平面平面，则m、n所成角的正弦值为( )．
A． B． C． D．


11．已知F为抛物线的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是( )．
A．2 B．3 C． D．
12．已知函数满足，
且在上有最小值，无最大值。给出下述四个结论：
； 若，则；
的最小正周期为3； 在上的零点个数最少为1346个．
其中所有正确结论的编号是( )．
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分。

13．执行如图所示的程序框图，则输出的n值是________．

14．若，
则的值是________．

15．设数列的前n项和为，若，，
，则______，______．

16．已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，与在第一象限的公共点为．若直线斜率为，则双曲线离心率的值是________．


三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
在平面四边形中，，，．
C
A
D
B
（1）若的面积为，求；
（2）若，，
求．

18．（本小题满分12分）
如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置平面．
（1）证明：；
（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角的余弦值．





19.（本小题满分12分）
为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程。惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查。
（1）已知在被抽取的学生中高一班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；
（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示。若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，
求随机变量的分布列及数学期望。
班级
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一

市级
比赛获奖人数
2
2
3
3
4
4
3
3
4
2

市级以上
比赛获奖人数
2
2
1
0
2
3
3
2
1
2


20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，其中.
（1）若，求的面积；
（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形。
21．（本题满分12分）
已知实数，设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若对任意的，均有，
求的取值范围。
注：为自然对数的底数。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上．
（1）求证：；
（2）若过，两点的直线参数方程为（为参数），
求四边形的面积．


23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．


惠州市2020届高三第三次调研考试
理科数学参考答案及评分细则
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
D
A
C
A
D
D
A
D
B
C
1.【解析】，，故选D.
2.【解析】，所以对应的点在第二象限，故选B.
3.【解析】，，，所以.故选D.
4.【解析】因为角θ终边落在直线上，所以，，
所以故选A.
5.【解析】如图所示，＝－＝－＝－(＋)
＝－(＋)＝－－.故选C.
6.【解析】依题意，知－＝－，且－≠，解得a＝±.故选A.
7.【解析】
，所以，故选D.
8.【解析】故选D.
9.【解析】是偶函数，排除C、D，又故选A.
10.【解析】如图：面，面，面，可知，，因为△是正三角形，所成角为60°．
则m、n所成角的正弦值为．故选D．
11.【解析】设直线AB的方程为：，点,，
直线AB与x轴的交点为，
由，根据韦达定理有,
，，
结合及，得，点A、B位于x轴的两侧，
，故．不妨令点A在x轴上方，则,又,
．
当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是3．故选B．
12.【解析】区间中点为，根据正弦曲线的对称性知,正确。
若，则，即，不妨取，此时，满足条件，但为上的最大值，不满足条件，故错误。
不妨令，，两式相减得,
即函数的周期，故正确。
区间的长度恰好为673个周期，当时，即时，在开区间上零点个数至少为，故错误。
故正确的是，故选C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分。
13、6 14、3 15、 1（2分）；121（3分） 16、
13.【解析】①②③故答案为6.
14.【解析】令，得，令，则．所以
15.【解析】由时，，可得，又，即，即有，解得；由，可得，由，可得，，．
16.【解析】因为是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以，
解得，所以抛物线的方程为：；
由，，
如图过作抛物线准线的垂线，垂足为，设，，
则，∴．
由，可得
在△中，，，，
由余弦定理得
即，化简得
，又，．故答案为．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分12分）
【解析】（1）在中，因为，，
，……………………………………1分
所以，解得．………………………………………2分
在中，由余弦定理得，……4分
因为，所以． …………………………………………………5分
（2）设，则． ………………6分
在中，因为，所以． ……………7分
在中，， ………………………8分
由正弦定理得，即，……9分
所以，所以， …………10分
即， …………………………………………………………11分
所以，即． ……………………………………12分

18.（本小题满分12分）
【解析】（1）证明：连接BD，设AE的中点为O，，，
四边形ABCE为平行四边形，………………………………1分
，为等边三角形，……………………2分
又，平面POB，平面POB …3分【注】无写出此步骤不得分。
平面POB ……………………………………………………………4分
又平面POB，． …………………………………………5分
（2）【解法一】向量法
在平面POB内作平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，
直线PB与平面ABCE夹角为，又，，
、Q两点重合，即平面ABCE, ……………6分
【注】无证明此得分点不给分。
以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立如图空间直角坐标系，
则0,，0,，，0,，………………7分
设平面PCE的一个法向量为y,，则，即, ……………8分
令，得 ………………………………………………9分
又平面PAE，1,为平面PAE的一个法向量 ……………………10分
设二面角为，则 ……11分
易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．…………12分
F
【解法二】几何法
在平面POB内作平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，
直线PB与平面ABCE夹角为，又，，
、Q两点重合，即平面ABCE，……………6分
【注】无证明此得分点不给分。
过点C作CH⊥AE交于点H，连结PH，则二面角A-PE-C与二面角H-PE-C互为补角。
又因为CH⊥PO，所以CH⊥面PAE，
过H作HF⊥PE交于点F，连结CF，由三垂线定理知CF⊥PE
所以∠CFH为二面角H-PE-C的平面角。……………………………………………7分
在Rt△CHE中，∠CEH=60°，CE=1，所以HE=，CE=，……………………8分
在Rt△HFE中，∠FEH=60°，HE=，所以HF=……………………………………9分
在Rt△CHF中，由勾股定理知CF=…………………………………………………10分
故cos∠CFH== ……………………………………………………………………11分
所以二面角的余弦值为．………………………………………………12分
19.（本小题满分12分）
【解析】（1）【解法一】
记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，，1，2，；
则与互斥………………………………………………………………………1分
故所求概率为……………2分
………………………………3分
；…………………………………4分
【解法二】记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，，1，2，；
则与互斥………………………………………………………………………1分
故所求概率为………2分
………………………………3分
；…………………………………4分
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3；………………………………5分
…………………………………………………………6分
………………………………………………7分
………………………………………………8分
…………………………………………9分
则的分布列为：

0
1
2
3

p




………10分
【注】无列表此得分点不得分。
数学期望为． ………………………12分

20.（本小题满分12分）
【解析】（1）当时，代入椭圆方程可得或 ……………………1分
若，此时直线l：…………………………………2分
联立，消x整理可得……………………………3分
解得或，故B ……………………………………………………4分
所以的面积为 . …………………………………………………5分
，由对称性知的面积也是，
综上可知，当时，的面积为.……………………………………6分
（2）【解法一】显然直线l的斜率不为0，设直线l： ……………………………7分
联立，消去x整理得
由，得…………8分
则， ,…………………………9分
因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，
所以………………10分
设，则,
即,
解得. …………………………………………………………………………………………11分
故x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．……12分
【解法二】显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l： ………………………7分
联立，消去整理得
由，得,………………………8分
则， ,…………………………………………9分
因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以……………10分
设，则
即，
解得. …………………………………………………………………………………………11分
故x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．………12分

21．（本题满分12分）
【解析】（1）【解法一】由，解得． ………………1分
若，则当时，，故的单调递增区间为；
当时，，故的单调递减区间为．………2分
若，则当时，，故的单调递增区间为；
当时，，故的单调递减区间为．………3分
综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为．……………4分
【解法二】令其中.令得
当
当 ………………1分
又当时，在R上单调递增；
当时，在R上单调递减。……………………………………………2分
由复合函数单调性知，
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为． …………3分
综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为．……………4分。
（2），即（﹡）．
令，得，则． ……………………………………………………5分
当时，不等式（﹡）显然成立，
当时，两边取对数，即恒成立． …………………6分
令函数，即在内恒成立．……………7分
由，得．
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减. ………………………………………8分
因此． ………………………9分
令函数，其中，
则，得，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增． ……………………10分
又，，
故当时，恒成立，因此恒成立， …………………11分
综上知：当时，对任意的，均有成立……12分
22.（本小题满分10分）
【解析】（1）【解法1】由，，，…3分
则 ………………4分
所以……………………………………………………………5分
【解法2】的直角坐标方程为，如图所示，……………1分
假设直线OA、OB、OC的方程为，，，，
由点到直线距离公式可知
在直角三角形OMF中，由勾股定理可知，得……………2分
由直线方程可知，，
所以，得………3分
所以，得……4分
所以……………………………………………………………5分
（2）【解法一】曲线的普通方程为：，……………………………………6分
将直线的参数方程代入上述方程，整理得，解得；………7分
平面直角坐标为………………………………………………………8分
则；又得. ……………………………………9分
即四边形面积为为所求. ………10分
【解法二】由BC的参数方程化为普通方程得：………………………5分
联立解得或，即,…………6分
点A的极坐标为，化为直角坐标为………7分
直线OB的方程为，点A到直线OB的距离为………8分
…………………………10分
23．（本小题满分10分）
【解析】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以………1分
当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解…2分
当时，原不等式等价于，解得，所以……3分
综上所述，不等式解集为．……………………………………………5分
（2）由，得，
当时，恒成立，所以； …………………………………………6分
当时，．……7分
因为 ……………………8分
当且仅当即或时，等号成立， …………9分
所以，；
综上，的取值范围是． …………………………………………………10分
【注】①如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各1分，正确写出结果各1分，中间过程可酌情给1-2分，但每小问给分最多不超过4分。
②如果作图的坐标系没有箭头或的标记，扣除过程分1分。

第（1）问图象 第（2）问图象