2020惠州高三上学期第三次调研考试数学（理）试题含解析

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惠州市2020届高三第三次调研考试 理科数学 2020.1全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．已知全集，，则( )．A． B． C． D．2．设i为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在第( )象限．A．一 B．二 C．三 D．四3．已知，，，则( )．A． B． C． D．4．在直角坐标系中，已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则= ( )．A． B． C． D．5．在平行四边形ABCD中，，，，为的中点， 则= ( )．A． B． C． D．6．设，则“”是“直线与直线平行”的 ( ) 条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要7．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，称为斐波那契数列，它是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。该数列从第3项开始，每项等于其前相邻两项之和，即．记该数列的前项和为，则下列结论正确的是( )．A． B．C． D．8．《易经》是中国传统文化中的精髓之一。右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线）。从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为( )． A． B． C． D．xyOxyOxyOxyO9．函数的图象的大致形状是( )．A B C D 10．如图，平面过正方体的顶点A，平面平面平面，则m、n所成角的正弦值为( )．A． B． C． D． 11．已知F为抛物线的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是( )．A．2 B．3 C． D．12．已知函数满足， 且在上有最小值，无最大值。给出下述四个结论：； 若，则；的最小正周期为3； 在上的零点个数最少为1346个．其中所有正确结论的编号是( )．A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分。13．执行如图所示的程序框图，则输出的n值是________．14．若，则的值是________．15．设数列的前n项和为，若，，，则______，______．16．已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，与在第一象限的公共点为．若直线斜率为，则双曲线离心率的值是________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本小题满分12分）在平面四边形中，，，．CADB（1）若的面积为，求；（2）若，，求．18．（本小题满分12分）如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置平面．（1）证明：；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角的余弦值．19.（本小题满分12分）为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程。惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查。（1）已知在被抽取的学生中高一班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示。若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量的分布列及数学期望。20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，其中.（1）若，求的面积；（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形。21．（本题满分12分）已知实数，设函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围。注：为自然对数的底数。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上．（1）求证：；（2）若过，两点的直线参数方程为（为参数），求四边形的面积．23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲] 已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的取值范围．惠州市2020届高三第三次调研考试理科数学参考答案及评分细则选择题1.【解析】，，故选D.2.【解析】，所以对应的点在第二象限，故选B.3.【解析】，，，所以.故选D.4.【解析】因为角θ终边落在直线上，所以，，所以故选A.5.【解析】如图所示，＝－＝eq \f(1,2)－eq \f(4,5)＝eq \f(1,2)－eq \f(4,5)(＋)＝－(＋)＝－－.故选C.6.【解析】依题意，知－＝－，且－≠，解得a＝±.故选A.7.【解析】，所以，故选D.8.【解析】故选D.9.【解析】是偶函数，排除C、D，又故选A.10.【解析】如图：面，面，面，可知，，因为△是正三角形，所成角为60°．则m、n所成角的正弦值为．故选D．11.【解析】设直线AB的方程为：，点,，直线AB与x轴的交点为，由，根据韦达定理有,，，结合及，得，点A、B位于x轴的两侧，，故．不妨令点A在x轴上方，则,又,．当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是3．故选B．12.【解析】区间中点为，根据正弦曲线的对称性知,正确。若，则，即，不妨取，此时，满足条件，但为上的最大值，不满足条件，故错误。不妨令，，两式相减得,即函数的周期，故正确。区间的长度恰好为673个周期，当时，即时，在开区间上零点个数至少为，故错误。故正确的是，故选C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分。13、6 14、3 15、 1（2分）；121（3分） 16、 13.【解析】①②③故答案为6.14.【解析】令，得，令，则．所以15.【解析】由时，，可得，又，即，即有，解得；由，可得，由，可得，，．16.【解析】因为是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：；由，，如图过作抛物线准线的垂线，垂足为，设，，则，∴．由，可得在△中，，，，由余弦定理得即，化简得，又，．故答案为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（本小题满分12分）【解析】（1）在中，因为，，，……………………………………1分所以，解得．………………………………………2分在中，由余弦定理得，……4分因为，所以． …………………………………………………5分（2）设，则． ………………6分在中，因为，所以． ……………7分在中，， ………………………8分 由正弦定理得，即，……9分所以，所以， …………10分即， …………………………………………………………11分所以，即． ……………………………………12分18.（本小题满分12分）【解析】（1）证明：连接BD，设AE的中点为O，，，四边形ABCE为平行四边形，………………………………1分，为等边三角形，……………………2分又，平面POB，平面POB …3分【注】无写出此步骤不得分。平面POB ……………………………………………………………4分又平面POB，． …………………………………………5分（2）【解法一】向量法在平面POB内作平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，直线PB与平面ABCE夹角为，又，，、Q两点重合，即平面ABCE, ……………6分【注】无证明此得分点不给分。以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立如图空间直角坐标系，则0,，0,，，0,，………………7分设平面PCE的一个法向量为y,，则，即, ……………8分令，得 ………………………………………………9分又平面PAE，1,为平面PAE的一个法向量 ……………………10分设二面角为，则 ……11分易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．…………12分F【解法二】几何法在平面POB内作平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，直线PB与平面ABCE夹角为，又，，、Q两点重合，即平面ABCE，……………6分【注】无证明此得分点不给分。过点C作CH⊥AE交于点H，连结PH，则二面角A-PE-C与二面角H-PE-C互为补角。又因为CH⊥PO，所以CH⊥面PAE，过H作HF⊥PE交于点F，连结CF，由三垂线定理知CF⊥PE所以∠CFH为二面角H-PE-C的平面角。……………………………………………7分在Rt△CHE中，∠CEH=60°，CE=1，所以HE=，CE=，……………………8分在Rt△HFE中，∠FEH=60°，HE=，所以HF=……………………………………9分在Rt△CHF中，由勾股定理知CF=…………………………………………………10分故cos∠CFH== ……………………………………………………………………11分所以二面角的余弦值为．………………………………………………12分19.（本小题满分12分）【解析】（1）【解法一】记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，，1，2，；则与互斥………………………………………………………………………1分故所求概率为……………2分 ………………………………3分；…………………………………4分【解法二】记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，，1，2，；则与互斥………………………………………………………………………1分故所求概率为………2分 ………………………………3分；…………………………………4分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3；………………………………5分 …………………………………………………………6分 ………………………………………………7分 ………………………………………………8分 …………………………………………9分则的分布列为：【注】无列表此得分点不得分。数学期望为． ………………………12分 20.（本小题满分12分）【解析】（1）当时，代入椭圆方程可得或 ……………………1分若，此时直线l：…………………………………2分联立，消x整理可得……………………………3分解得或，故B ……………………………………………………4分所以的面积为 . …………………………………………………5分，由对称性知的面积也是，综上可知，当时，的面积为.……………………………………6分（2）【解法一】显然直线l的斜率不为0，设直线l： ……………………………7分联立，消去x整理得 由，得…………8分则， ,…………………………9分因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以………………10分 设，则, 即,解得. …………………………………………………………………………………………11分故x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．……12分【解法二】显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l： ………………………7分联立，消去整理得由，得,………………………8分则， ,…………………………………………9分因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以……………10分 设，则即，解得. …………………………………………………………………………………………11分故x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．………12分21．（本题满分12分）【解析】（1）【解法一】由，解得． ………………1分若，则当时，，故的单调递增区间为；当时，，故的单调递减区间为．………2分若，则当时，，故的单调递增区间为；当时，，故的单调递减区间为．………3分综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为．……………4分【解法二】令其中.令得 当当 ………………1分又当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减。……………………………………………2分由复合函数单调性知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为． …………3分综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为．……………4分。（2），即（﹡）．令，得，则． ……………………………………………………5分当时，不等式（﹡）显然成立， 当时，两边取对数，即恒成立． …………………6分令函数，即在内恒成立．……………7分由，得．故当时，，单调递增；当时，，单调递减. ………………………………………8分因此． ………………………9分令函数，其中，则，得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增． ……………………10分又，，故当时，恒成立，因此恒成立， …………………11分综上知：当时，对任意的，均有成立……12分22.（本小题满分10分）【解析】（1）【解法1】由，，，…3分则 ………………4分所以……………………………………………………………5分【解法2】的直角坐标方程为，如图所示，……………1分假设直线OA、OB、OC的方程为，，，，由点到直线距离公式可知在直角三角形OMF中，由勾股定理可知，得……………2分由直线方程可知，，所以，得………3分所以，得……4分所以……………………………………………………………5分（2）【解法一】曲线的普通方程为：，……………………………………6分将直线的参数方程代入上述方程，整理得，解得；………7分平面直角坐标为………………………………………………………8分则；又得. ……………………………………9分即四边形面积为为所求. ………10分【解法二】由BC的参数方程化为普通方程得：………………………5分联立解得或，即,…………6分点A的极坐标为，化为直角坐标为………7分直线OB的方程为，点A到直线OB的距离为………8分…………………………10分23．（本小题满分10分）【解析】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以………1分当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解…2分 当时，原不等式等价于，解得，所以……3分综上所述，不等式解集为．……………………………………………5分（2）由，得，当时，恒成立，所以； …………………………………………6分当时，．……7分因为 ……………………8分当且仅当即或时，等号成立， …………9分所以，；综上，的取值范围是． …………………………………………………10分【注】①如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各1分，正确写出结果各1分，中间过程可酌情给1-2分，但每小问给分最多不超过4分。 ②如果作图的坐标系没有箭头或的标记，扣除过程分1分。 第（1）问图象 第（2）问图象班级一一一一一一一一一一市级比赛获奖人数2233443342市级以上比赛获奖人数2210233212题号123456789101112答案DBDACADDADBC0123p………10分