2020届广东省化州市高三上学期第一次模拟考试 数学（理）

2020年高考化州市第一次模拟考试
理科数学
本试卷6页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 将条形码横贴在答题卡相应的“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各題目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答題卡的整洁，考试结束后，将试卷和答題卡一并交回。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)己知集合 A= {}，B= {},则=
(A) (-∞,l] (B) (2,3) (C) (2,3] (D) (-∞,l]∪[2,3]
(2)设是的共轭复数，则
(A) -1 (B) i (C) 1 (D) 4
(3)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G, H, M(如图所示)，则四棱锥M-EFGH的体积为
A. B. C. D.
(4)“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”,其中China又可以简写为CN,从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有
(A) 360种 （B)480 种 （C)600种 （D)720种
(5)等比数列{}的各项均为实数，其前项和为，已知=1，则的值是
(A) 28 (B) 32 (C) 35 (D) 41
(6)己知定义在区间[-1,1]上，且满足，当时，则关于的不等式的解集为
(A) [0,1) (B) (-2,1) (C) (-2, ) (D) (0,)
(7)已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
(8)美丽的“勾股树”是以一个直角三角形的每一边向外作正方形而得到的.如图所示，图1是第1代“勾 股树”，重复图1的作法，得到图2,为第2代“勾股树”，以此类推，己知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和 分别为
(A) 2n-l；n (B) 2n-1; n+1 (C) 2n+1,n (D) 2n+l-1;n+1
(9)函数（其中)的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象
(A)向右平移个单位长度
(B)向左平移个单位长度
(C)向右平移个单位长度
(D)向左平移个单位长度
(10)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”， 亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是
(A) (B) (C) (D)
(11)形如的函数因其图像类似于汉字中的“0”字，故我们把其生动地称为 “囵函数”.若函数()有最小值，则“冏函数”与函数的图像交点个数为
(A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 6
(12)设函数为自然对数的底数)，定义在R上的函数满足,且当时，;令,己知存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为
(A) (B) (C) (D)
第II卷
本试卷包括必考题和选考题两部分.第（13)题〜第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22)题〜第（23)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
(13)己知,则 .
(14)设满足约束条件,则的最小值为 .
(15)若数列{}的通项公式为,令，则数列{}的前项和为 .
(16)在四面体ABCD中，AB=1，BC = CD = ，AC = ,当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为 .
三、解答本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(一）必考题：共60分.
(17)(本小题满分12分）在锐角△ABC中，a, b, c分别为角A，B，C.所对的边，且.
(1)确定角C的大小：
(2)若，且△ABC的面积为，求的值.
(18)(本小题满分12分）如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，，
(1)若W为CD中点，求证：AM丄平面;
(2)求直线DD1与平面A1BD所成用的正弦值.
19. (本小题满分12分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(I)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(II)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
(20)(本小题满分12分）己知直线上有一动点过点Q,作直线垂直于轴，动点P在上，且满足 (O为坐标原点），记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)己知定点,A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求⊥△MBD的内切圆半径r的取值范围.
(21) (本小题满分12分）
已知函数.
(1)当b = 2时，讨论函数的单调性：
(2)当a + b = 0， b>0时，对任意,都有成立，求实数b的取值范围.
(二)选做题:共10分
请考生在第（22)题和第（23)题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑.
(22)(本小题满分10分）选修4-:坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.
(I)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(II)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)当m = l时，解不等式;
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.












2020年高考化州市第一次模拟考试
数学试卷（理科）参考答案及评分标准
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）（2
答案
D
C
A
C
B
A
C
D
C
A
C
D
（1）【解析】 由集合，则或，
又，所以.
（2）【解析】，则，故，故选C．
（3）答案：A
解析：因为E，F，G，H分别为各个面的中心，显然E，F，
G，H四点共面，截面如图所示．显然四边形EFGH为正方
形，且边长为，
所以S正方形EFGH＝×＝.
另外易知点M到平面EFGH的距离为正方体棱长的一半，即，所以四棱锥M－EFGH的体积V＝××＝.
（4）解析：根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C＝5种选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A＝120种情况，则不同的排列有5×120＝600种，故选C.
（5）解析：当q＝1时，显然不符合题意；当q≠1时，
②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，
即q＝2，代入①，解得a1＝，
∴a8＝×27＝32.
（6）解析：当x＜0时，f(x)＝x(x－1)，则f(x)在[－1，0]上单调递减．
又f(x)在[－1，1]上是奇函数，∴f(x)在 [－1，1]上单调递减．
∴由f(1－m)＋f(1－m2)<0得f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，
∴解得0≤m＜1，
∴原不等式的解集为[0，1)．故选A.
（7）【解析】由题意可设双曲线的右焦点，渐进线的方程为，
可得，可得，可得离心率，故选C．
（8）解析：当n＝1时，正方形的个数为20＋21＝3；
当n＝2时，正方形的个数为20＋21＋22＝7；
…，
∴第n代“勾股树”所有正方形的个数为20＋21＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.
∵最大的正方形面积为1，∴当n＝1时，由勾股定理知所有正方形的面积的和为2；
当n＝2时，由勾股定理知所有正方形的面积的和为3；
…，
∴第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为n＋1.
故选D.
（9）【解析】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故，
又函数的图象的第二个点是，∴，∴，
∴，故，
∴只需将函数的图形要向右平移个单位，即可得到的图象，故选C．
（10）【解析】在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，所以所求概率为.
（11）解析：令u＝x2＋x＋1，则函数y＝logau(a>0，a≠1)有最小值．
∵u＝2＋≥，
∴当函数y＝logau是增函数时，在u∈上有最小值，
∴a＞1.此时“囧函数”y＝与函数y＝loga|x|在同一坐标系内的图像
如图所示，由图像可知，它们的图像的交点个数为4.
（12）【解析】∵，
∴，
∴为奇函数，当时，，
∴在上单调递减，∴在上单调递减．
∵存在，∴，∴，即．
令，，
∵为函数的一个零点，∴在时有一个零点．
∵当时，，∴函数在时单调递减，
由选项知，，
又∵，
∴要使在时有一个零点，只需使，解得，
∴的取值范围为，故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
(13) (14) 8 (15) (16)
（13）【解析】由得，得，∴，故答案为．
（14）【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，

由图形知，当目标函数过点时，取得最小值；
由，求得；∴的最小值是．故答案为8．
（15）解析：由等差数列的通项公式与一次函数的关系可知，数列{an}是首项为3，公差为2 的等差数列，
∴a1＋a2＋…＋an＝＝n(n＋2)，
∴bn＝＝，
故数列{bn}的前n项和Tn＝(1－＋－＋－＋…＋－＋－＋
－)＝＝－.
（16）【解析】∵，，，由勾股定理可得，
∴是以为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为，
当平面时，四面体的体积取最大值，
此时，其外接球的直径为，
因此，四面体的外接球的表面积为．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分.
（17）（本小题满分12分）
解（1）由及正弦定理得， ----------------2分
-------------------------4分
是锐角三角形， -------------------------6分
（2）解法1：由面积公式得
-------------------------8分
由余弦定理得
----------------------10分
由②变形得 -------------------------12分
解法2：前同解法1，联立①、②得
-------------------------8分
消去b并整理得
解得 -------------------------10分
所以故 -------------------------12分
（18）（本小题满分12分）
【解析】（1）∵四边形为菱形，，
连结，则为等边三角形，
又∵为中点，∴，由，
∴， -------------------------3分
∵底面，底面，
∴，
又∵，∴平面． -------------------------6分
（2）∵四边形为菱形，，，
∴，，
∴， -------------------------7分
又∵底面，
分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
、、、，
∴，，，---------9分
设平面的一个法向量，
则有，
令，则， -------------------------11分
∴直线与平面所成角的正弦值．------12分
（19）（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设顾客所获的奖励额为X(单位：元)．
① 依题意，P(X＝60)＝＝， --------2分
即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
②依题意，X的所有可能取值为20，60.
P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝， ---------------4分
故X的分布列为

所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×＋60×＝40(元)．-------6分
(Ⅱ)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为＝60(元)，所以先寻找数学期望为60元的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元；
如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，
因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. --------------------8分
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1(单位：元)，则X1的分布列为

所以X1的数学期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60(元)，
X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝(元)．
对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2(单位：元)，则X2的分布列为

所以X2的数学期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60(元)，----------------10分
X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝(元)．
由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2的奖励额的方差比方案1的小，顾客所获的奖励额相对均衡，所以应该选择方案2. -------------------------12分

（20）（本小题满分12分）
【解析】（1）设点，则，
∴，．
∵， -------------------------2分
∴，
即． -------------------------4分
（2）设，，，直线与轴交点为，直线与内切圆的切点为．
设直线的方程为，则联立方程组
得，
∴且，∴，
∴直线的方程为， -------------------------6分
与方程联立得，
化简得，
解得或．
∵，
∴轴， ----------------8分
设的内切圆圆心为，则点在轴上且．
∴，且的周长，
∴，--------------10分
∴，
令，则，
∴在区间上单调递增，
则，
即的取值范围为． -------------------------12分
（21）（本小题满分12分）
【解析】（1）函数的定义域为．
当时，，∴．-------------------------1分
当时，，∴函数在上单调递增．
当时，令，解得， -------------------3分
当时，，∴函数在上单调递减；
当时，，∴函数在上单调递增．
综上所述，当，时，函数在上单调递增；
当，时，函数在上单调递减，在上单调递增.-6分
（2）∵对任意，，都有成立，
∴，
∴成立，
∵，时，，
∴．
当时，，当时，，
∴在单调递减，在单调递增， --------------8分
，，，
设，，
．
∴在递增，∴，
∴，可得，
∴，即， -------------------------10分
设，，在恒成立．
∴在单调递增，且，
∴不等式的解集为．
∴实数的取值范围为． -------------------------12分
（22）（本小题满分10分）
解：(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1.
将曲线C2的极坐标方程ρsin＝2
展开得ρsinθ＋ρcosθ＝4，
把ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入，
得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0. ------------------5分
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosθ，sinθ)．
∵C2是直线，∴|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(θ)的最小值．
d(θ)＝＝，
当且仅当sin＝1，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时，d(θ)取得最小值，最小值为，
此时cosθ＝×＝，sinθ＝，
即P的直角坐标为 --------------------10分
（23） (本小题满分10分) 【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
∴，
即求不同区间对应解集，
∴的解集为． ---------------------5分
（2）由题意，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
∴函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得．----------10分