2020届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试（1月）数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.
【详解】
由，解得，所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.
2．已知复数在复平面中对应的点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项.
【详解】
由于复数在复平面中对应的点满足，即复数对应点在圆心为，半径为的圆上，表示复数对应的点到的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题.
3．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:
根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ）
A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过万辆
B．2017年我国新能源汽车总销量超过万辆
C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量
D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于万辆
【答案】D
【解析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项.
【详解】
对于A选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量，故A选项结论正确.
对于B选项，2017年我国新能源汽车总销量，故B选项结论正确.
对于C选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量万量，高于产量万量，故C选项结论正确.
对于D选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量，故D选项结论错误.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.
4．已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列判断正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】D
【解析】根据空间中线面关系的性质定理，逐项判断，能得到答案.
【详解】
对于A，平面和也可能相交，故A不正确；对于B，直线m与n也有可能是异面，故B不正确；对于C，直线m与n有可能平行、异面以及相交但不垂直，故C不正确；对于D，同时垂直于一个平面的两条直线互相平行，故D正确．
故选：D
【点睛】
本题主要考查空间中线面之间位置关系的判断，属于基础题.
5．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则该数列公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为的形式，由此求得的值.
【详解】
由于成等差数列，所以，所以，即，解得.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.
6．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如.在不超过的素数，随机选取个不同的数，这两个数的和等于的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求得以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】
以内的素数为共个，任选两个的方法数有种，和为的有共种，所以不超过的素数，随机选取个不同的数，这两个数的和等于的概率是.
故选：B
【点睛】
选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题.
7．圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】B
【解析】求得圆心，代入直线，利用基本不等式求得的最小值.
【详解】
圆的圆心为，由于圆关于直线对称，圆心坐标满足直线方程，所以，所以，当且仅当时等号成立.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值.
8．正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，则底面积为，侧棱长为，则可求侧面积为，所以可得表面积.
【详解】
如图所示，底面正三角的高AD=3，所以，AB=AC=BC=，所以,又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则,则在等腰中,所以侧面积为，所以表面积为，故选A.
【点睛】
本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.
9．已知函数的周期为，将其图象向右平移个单位长度后关于轴对称，现将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由周期求，由平移对称求，由求，然后可得答案.
【详解】
由周期为，可得.
由图象向右平移个单位长度后关于轴对称，
可得，结合，可得.
所以，.
，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质.一般可以通过周期性、对称性等性质求出等参数的值.
10．已知函数若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根等价于函数与由两个不同的交点.在同一直角坐标系中画出图象，求解即可.
【详解】
由题意可知，函数有两个不同的零点，等价于函数与由两个不同的交点.在同一直角坐标系中画出图象，如图所示.
由图象可知，.
故选：A
【点睛】
本题考查函数的零点个数问题，属于中档题.
11．已知点分别是双曲线的左，右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据判断出三角形是直角三角形，利用、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.
【详解】
由于，所以三角形是直角三角形.
所以，化简得，即.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．设是定义在上的函数，满足条件，且当时，，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用已知条件将转换为，根据时的单调性，比较出的大小关系.
【详解】
依题意，所以.因为，且当时，为减函数，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
二、填空题
13．平面向量与的夹角为，且，，则 __________．
【答案】
【解析】利用来求得.
【详解】
依题意.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
14．若实数满足约束条件，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示，平移基准直线到可行域边界点位置，此时取得最小值为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
15．在中，内角的对边分别为，若，则__________．
【答案】
【解析】将变形为，即，则，由以及余弦定理，变形整理得，两式联立得，，再由余弦定理，求解即可.
【详解】
又为的内角.
，即为直角三角形，则①
由余弦定理可知，
整理的②
①②联立解得，.
由余弦定理可知，
故答案为：
【点睛】
本题考查余弦定理，属于中档题.
16．已知椭圆为右顶点.过坐标原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，直线交轴于，椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为__________．
【答案】
【解析】设出两点的坐标，求得点坐标，由三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得的值，进而求得椭圆的标准方程.
【详解】
设，，所以，由于三点共线，所以，解得.由于椭圆离心率，所以，所以.所以椭圆方程为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.
三、解答题
17．已知数列是递增的等比数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为q，，根据已知由等比数列的性质可得，联立解方程再由数列为递增数列可得则通项公式可得
（2）根据等比数列的求和公式，有所以，裂项求和即可
试题解析：（1）设等比数列的公比为q，所以有
联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q>1，所以
数列的通项公式为
（2）根据等比数列的求和公式，有
所以
所以
【考点】等比数列的通项公式和性质，数列求和
18．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少？自已能否被录取?能获得什么样的职位？
某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用名，其中个高薪职位和个普薪职位.实际报名人数为名，考试满分为分. 考试后对部分考生考试成绩进行抽样分析，得到频率分布直方图如下：
试结合此频率分布直方图估计：
(1)此次考试的中位数是多少分（保留为整数）？
(2)若考生甲的成绩为280分，能否被录取?若能被录取，能否获得高薪职位？(分数精确到个位，概率精确到千分位)
【答案】(1)202分 (2)能被录取，不能获得高薪职位
【解析】(1)用样本估计总体，以频率当作概率，进行估计.根据题意可知，中位数是频率分布直方图所有小长方形的面积相等的分界线，则求频率和为时的分界线横坐标，即可.
(2)根据题意可知，估计不低于分的概率，并计算不低于分的人数，从而确定排名，即可.
【详解】
(1)成绩在的频率为，
在的频率为，
在的频率为，
则中位数约为.
(2)不低于分的概率为
不低于分的人数为，即考生甲大约排在第名，
由于排在名以前，所以能被录取.
但是排在名以后所以不能获得高薪职位，只能获得普薪职位.
【点睛】
本题考查根据频率分布直方图，用样本估计总体的中位数.属于中档题.
19．如图，已知四边形为等腰梯形，为正方形，平面平面，.
（1）求证:平面平面.
（2）点为线段上一动点，求三棱锥体积的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）由题意可知，再由平面平面，可知平面,根据面面垂直的判定定理，证明即可.
（2）连接，过点作，由题意可知，平面，则，再根据的取值范围，确定的取值范围，从而求解三棱锥体积的取值范围，即可.
【详解】
解:（1）证明:在等腰梯形中，，，
.
即.
又平面平面，平面平面平面.
平面.
平面，
平面平面.
（2）解:连接，过点作，垂足在上.
由题意可知，
在中，
则平面平面，
平面，.
由(1)知平面平面，平面平面
得平面.
即三棱锥体积的取值范围.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，以及三棱锥的体积，等体积转化法是解决本题的关键方法，属于中档题.
20．设函数.
(1)若当时，取得极值，求的值，并求的单调区间.
(2)若存在两个极值点，求的取值范围，并证明：.
【答案】（1），的单调增区间为，单调减区间为. （2），证明见解析
【解析】（1）求导数，由题意可知为方程的根，求解值，即可.再令导数，，分别求解单调增区间与单调减区间，即可.
（2）函数存在两个极值点，等价于方程即在上有两个不等实根，则，即可. 变形整理为；若证明不等式，则需证明，由变形为，不妨设，即证，令，则，求函数的取值范围，即可证明.
【详解】
（1）
时，取得极值.
.
解得或
解得
的单调增区间为，单调减区间为.
（2）
存在两个极值点
方程即在上有两个不等实根.
，
.
所证不等式等价于
即
不妨设，即证
令，
，在上递增.
成立.
成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，以及根据极值求参数取值范围，证明不等式.属于难题.
21．过点的直线与抛物线相交于两点.
(1)求的值.
(2) 在直线上的射影分别为，线段的中点为， 求证.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）设直线的方程为与抛物线联立，得，设，，则，由距离公式得，代入，求解即可.
（2）要证，只需证，分别求解，相减求解，即可.
【详解】
（1）设直线的方程为，
与抛物线的方程联立
消去得.
显然.
设，，则，
由两点间距离公式得，
（2）由(1)得，
，
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，以及根据斜率相等证明直线平行，属于较难的一道题.
22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.
（1）求圆的参数方程；
（2）若点在线段上，且，求动点轨迹的极坐标方程.
【答案】（1）（为参数）；（2）
【解析】（1）已知得，圆心的直角坐标为，，则可求得圆的标准方程；
（2）结合（1）得，圆的极坐标方程为，再设，，则，将代入的极坐标方程即可得解.
【详解】
（1）由已知得，圆心的直角坐标为，，
所以的直角坐标方程为，
所以圆的参数方程为（为参数）．
（2）由（1）得，圆的极坐标方程为，
即．
设，，根据，可得，
将代入的极坐标方程，得，
即动点轨迹的极坐标方程为．
【点睛】
本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题.
23．设函数.
(1)画出的图象；
(2)若不等式对成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此画出的图形.
（2）将不等式转化为.利用绝对值不等式求得的最小值，由此求得的取值范围.
【详解】
(1)根据绝对值的定义，可得
所以的图象如图所示:
(2)，
即
，
，即实数的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.
