2020届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试（1月）数学（理）试题（解析版）

2020届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试（1月）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.

【详解】

由，解得，所以.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

2．已知复数在复平面中对应的点满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项.

【详解】

由于复数在复平面中对应的点满足，即复数对应点在圆心为，半径为的圆上，表示复数对应的点到的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题.

3．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:

根据上述图表信息，下列结论错误的是（    ）

A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过万辆

B．2017年我国新能源汽车总销量超过万辆

C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量

D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于万辆

【答案】D

【解析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项.

【详解】

对于A选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量，故A选项结论正确.

对于B选项，2017年我国新能源汽车总销量，故B选项结论正确.

对于C选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量万量，高于产量万量，故C选项结论正确.

对于D选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量，故D选项结论错误.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.

4．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则该数列公比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为的形式，由此求得的值.

【详解】

由于成等差数列，所以，所以，即，解得.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.

5．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如.在不超过的素数，随机选取个不同的数，这两个数的和等于的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求得以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】

以内的素数为共个，任选两个的方法数有种，和为的有共种，所以不超过的素数，随机选取个不同的数，这两个数的和等于的概率是.

故选：B

【点睛】

选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题.

6．圆关于直线对称，则的最小值是（     ）

A．1 B．3 C．5 D．9

【答案】B

【解析】求得圆心，代入直线，利用基本不等式求得的最小值.

【详解】

圆的圆心为，由于圆关于直线对称，圆心坐标满足直线方程，所以，所以，当且仅当时等号成立.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值.

7．函数（为自然对数的底数）的大致图象为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.

【详解】

由于，所以为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D两个选项.

当时，由此排除A选项.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.

8．正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，则底面积为，侧棱长为，则可求侧面积为，所以可得表面积.

【详解】

如图所示，底面正三角的高AD=3，所以，AB=AC=BC=，所以,又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则,则在等腰中,所以侧面积为，所以表面积为，故选A.

【点睛】

本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.

9．已知点分别是双曲线的左，右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据判断出三角形是直角三角形，利用、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.

【详解】

由于，所以三角形是直角三角形.

所以，化简得，即.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

10．设是定义在上的函数，满足条件，且当时，，则，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用已知条件将转换为，根据时的单调性，比较出的大小关系.

【详解】

依题意，所以.因为，且当时，为减函数，所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

11．正方体的棱长为，点为棱的中点.下列结论:①线段上存在点，使得平面；②线段上存在点，使得平面；③平面把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（    ）

A．① B．③ C．①③ D．①②③

【答案】C

【解析】利用线面平行的判定定理，作出点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.

【详解】

设交于，过作，交于，连接交于，由于，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.故线段上存在点，使得平面，即①正确.

若平面，平面，则平面平面，这不成立，所以②错误.

延展平面为如图所示，其中是的中点.根据正方体的几何性质可知，相交于一点， ,所以多面体是棱台.且体积为.故③正确.

综上所述，正确的序号为①③.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

12．已知正项数列的前项和为，且.若对于任意实数.不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】求得的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】

由①.当时，，解得.当时，②，①-②得，，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以恒成立，即，转换为，在恒成立，所以，解得.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查已知求，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

二、填空题

13．平面向量与的夹角为，且，，则 __________．

【答案】

【解析】利用来求得.

【详解】

依题意.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

14．若实数满足约束条件，则的最小值是__________．

【答案】

【解析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最小值.

【详解】

画出可行域如下图所示，平移基准直线到可行域边界点位置，此时取得最小值为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

15．已知椭圆为右顶点.过坐标原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，直线交轴于，椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为__________．

【答案】

【解析】设出两点的坐标，求得点坐标，由三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得的值，进而求得椭圆的标准方程.

【详解】

设，，所以，由于三点共线，所以，解得.由于椭圆离心率，所以，所以.所以椭圆方程为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.

16．已知函数，且在定义域内恒成立，则实数的取值范围为__________．

【答案】或

【解析】先求得的定义域，然后对和的符合进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.

【详解】

依题意，定义域为.

由于在定义域内恒成立，则

①，恒成立，即在恒成立.令，，故在上递减，在上递增，故.所以，由可得，即.

②，恒成立，即在恒成立，不存在这样的.

③，当时，由于在上递增，在上递减，要使在定义域内恒成立，则需和有相同的零点.由，解得.

综上所述，实数的取值范围是或.

故答案为：或

【点睛】

本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

三、解答题

17．在中，角对应边分别为.

(1)若的面积满足且，求的值；

(2)若且为锐角三角形.求周长的范围.

【答案】（1）.（2）

【解析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得的值，由此求得的大小，利用余弦定理列方程求得的值.

（2）利用正弦定理表示出，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得的取值范围，由此求得即三角形周长的取值范围.

【详解】

(1)由条件和三角形的面积公式得，

即.

将余弦定理.

代入上式得，即，因为，所以

将，代入，得

结合条件得.

(2)由正弦定理得

所以

因为，且及锐角三角形得且，

所以，

所以，即，所以

所以周长范围是.

【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.

18．如图，已知四边形为等腰梯形，为正方形，平面平面，，.

(1)求证:平面平面；

(2)点为线段上一动点，求与平面所成角正弦值的取值范围.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）利用等腰梯形的性质证得，由面面垂直的性质定理证得平面，由此证得平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，设出的长，利用直线的方向向量和平面的法向量，求得与平面所成角正弦值的表达式，进而求得与平面所成角正弦值的取值范围.

【详解】

在等腰梯形中，， ，

，. 即，.

又平面平面，平面平面平面，

平面

平面，

平面平面

（2）解:由(1)知，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设，

则，，

设平面的法向量为

，即

令，则，

平面的一个法向量为.

设与平面所成角为，

当时取最小值，当时取最大值

故与平面所成角正弦值的取值范围为.

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19．过点的直线与抛物线相交于两点.

(1)若，且点在第一象限，求直线的方程；

(2)若在直线上的射影分别为，线段的中点为， 求证.

【答案】（1）.（2）证明见解析

【解析】（1）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.

（2）由（1）求得的坐标，通过计算，证得.

【详解】

(1)设方程为， ，

联立方程，消去得:，，①

又

由得:

代人①解得

直线的方程为:，即.

(2)由(1)得，

，

【点睛】

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.

20．设函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明:.

【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为.（2），证明见解析

【解析】（1）当时，利用导数求得的单调区间.

（2）先求得的导函数，则有两个不同的零点，且都不是.对分成两种情况分类讨论，利用导数研究的单调性和零点，由此求得的取值范围. 由上述分析可得，利用导数证得，从而证得.

【详解】

(1)

.

令，

得，得，

在上递减，在上递增.

即，

解得，解得，

的单调减区间为，单调增区间为.

(2)，

有三个极值点，

方程有两个不等根，且都不是，

令，

时，单调递增，至多有一根，

解得，解得.

在上递减，在上递增，

此时，，，时.

时，有三个根，且，

由得，由得，

下面证明:，可变形为

令，

，在上递增，

，

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用名，其中个高薪职位和个普薪职位.实际报名人数为名，考试满分为分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:

考试平均成绩是分，分及其以上的高分考生名.

(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)

(2)考生甲的成绩为分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.

参考资料:(1)当时，令，则.

(2)当时，，，.

【答案】（1）分或分.（2）能获得高薪职位.见解析

【解析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩的分布，利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线.

（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为，由此判断出甲能获得高薪职位.

【详解】

(1)设考生成绩为，则依题意应服从正态分布，即.

令，则.

由分及其以上的高分考生名可得

即，亦即.

则，解得，

设最低录取分数线为，则

则，

.

即最低录取分数线为分或分.

(2)考生甲的成绩，所以能被录取.

，

表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，

即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以他能获得高薪职位.

【点睛】

本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.

22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.

（1）求圆的参数方程；

（2）若点在线段上，且，求动点轨迹的极坐标方程.

【答案】（1）（为参数）；（2）

【解析】（1）已知得，圆心的直角坐标为，，则可求得圆的标准方程；

（2）结合（1）得，圆的极坐标方程为，再设，，则，将代入的极坐标方程即可得解.

【详解】

（1）由已知得，圆心的直角坐标为，，

所以的直角坐标方程为，

所以圆的参数方程为（为参数）．

（2）由（1）得，圆的极坐标方程为，

即．

设，，根据，可得，

将代入的极坐标方程，得，

即动点轨迹的极坐标方程为．

【点睛】

本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题.

23．设函数.

(1)画出的图象；

(2)若不等式对成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此画出的图形.

（2）将不等式转化为.利用绝对值不等式求得的最小值，由此求得的取值范围.

【详解】

(1)根据绝对值的定义，可得

所以的图象如图所示:

(2)，

即

，

，即实数的取值范围是.

【点睛】

本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.