2020届河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高三第一次模拟调研数学（文）试题（解析版）

2020届河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高三第一次模拟调研数学（文）试题

一、单选题

1．若复数满足，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】化简得到，，再计算复数模得到答案.

【详解】

，故，

故，.

故选：.

【点睛】

本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.

2．集合的真子集的个数为(    )

A．7 B．8 C．31 D．32

【答案】A

【解析】计算，再计算真子集个数得到答案.

【详解】

，故真子集个数为：.

故选：.

【点睛】

本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.

3．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.

【详解】

金、木、水、火、土任取两类，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，

其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，

所以2类元素相生的概率为，故选A.

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.

4．已知，，设，，，则，，的大小关系是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由可知单调递减，由对数的运算性质和对数函数单调性可确定自变量的大小关系，由此可得函数值的大小关系.

【详解】

当时，，在上单调递减，

，，，

，即.

故选：.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够根据余弦函数的值域确定函数的单调性，进而根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.

5．已知且则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由=,即,又,所以,则.

故选B．

6．设函数，则函数的图像可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.

【详解】

定义域为：

，函数为偶函数，排除

，排除

故选

【点睛】

本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.

7．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：

根据该折线图可知，下列说法错误的是（   ）

A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高

B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低

C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益

D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元

【答案】D

【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.

【详解】

用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：

所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.

8．已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对两边平方，求得，所以.画出图像，根据图像确定与的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.

【详解】

因为，所以，即，所以.如图，设，，则向量与的夹角为，因为，所以，.故选B.

【点睛】

本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.

9．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为(    )

A．84 B．56 C．35 D．28

【答案】A

【解析】按照程序框图运行程序，直到满足时输出结果即可.

【详解】

按照程序框图运行程序，输入，，，

则，，，不满足，循环；

，，，不满足，循环；

，，，不满足，循环；

，，，不满足，循环；

，，，不满足，循环；

，，，不满足，循环；

，，，满足，输出.

故选：.

【点睛】

本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.

10．已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（  ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值.

【详解】

如图所示，利用抛物线的定义知：

当三点共线时，的值最小，且最小值为

抛物线的准线方程：，

本题正确选项：

【点睛】

本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.

11．设锐角的三内角，，所对边的边长分别为，，，且，，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据锐角三角形的特点和可确定的取值范围，进而求得的取值范围；利用正弦定理可得到，进而求得结果.

【详解】

且为锐角三角形，，，

又，，，

，，

由正弦定理得：，

.

故选：.

【点睛】

本题考查三角形边长的取值范围的求解问题，涉及到正弦定理的应用；关键是能够通过正弦定理明确所求边长与角的余弦值有关，进而通过求解角的余弦值的范围来求解边长的范围.

12．设，分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设过点作圆 的切线的切点为，根据切线的性质可得，且，再由和双曲线的定义可得，得出为中点，则有，得到，即可求解.

【详解】

设过点作圆 的切线的切点为，

，

所以是中点，，

，

.

故选:C.

【点睛】

本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【解析】根据导数的几何意义,先求得在点处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程.

【详解】

曲线

则

所以在点处的切线的斜率为

由点斜式可得

故答案为:

【点睛】

本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题.

14．已知等比数列的前n项和为，若，，则＝_______．

【答案】1

【解析】由题意可得，公比q≠1，则7，63，相除可得公比q，即得的值．

【详解】

由题意可得，公比q≠1，∴7，63，

相除可得 1+q3＝9，∴q＝2，∴a1＝1．

故答案为：1.

【点睛】

本题考查等比数列的前n项和公式，求得q值是解题的关键，属于基础题．

15．已知函数（），当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移（）个单位后所得函数图象关于轴对称，则的最小值为________.

【答案】

【解析】利用辅助角公式可整理函数得到，根据最值可知，从而求得函数解析式；根据三角函数平移变换原则得到变换后函数的解析式，根据对称性可得到，结合可求得结果.

【详解】

，，，

，，

，，，

将右移个单位得：，

关于轴对称，，，

又，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式、三角函数的平移变换等知识，涉及到利用辅助角公式化简三角函数的问题；关键是能够通过函数的最值确定与函数最小正周期之间的关系.

16．在直三棱柱中，，底面三边长分别为3，5，7，是上底面所在平面内的动点，若三棱锥的外接球表面积为，则满足题意的动点的轨迹对应图形的面积为________.

【答案】

【解析】设为外接圆圆心，作平面，根据三棱锥外接球的性质可知球心为上一点；在中，结合正余弦定理可求得的外接圆半径，进而勾股定理可求得球心到平面的距离，再利用勾股定理求得，可得点轨迹为圆，进而求得结果.

【详解】

不妨设，，，

设为外接圆圆心，作平面，交平面于点，由三棱锥外接球的性质可知，球心为上一点.

设三棱锥外接球半径为，

三棱锥外接球表面积，.

在中，由余弦定理得：，

，由正弦定理得：，

，即，，

，

即点的轨迹对应的图形是以为圆心，为半径的圆，

对应的图形面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查立体几何中的动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的相关问题的求解；关键是能够根据外接球的性质确定球心的位置，结合勾股定理得到动点所满足的具体条件.

三、解答题

17．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：

甲种生产方式：

乙种生产方式：

（1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；

（2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？

【答案】（1）①优等品3件，合格品2件；②；（2）选择乙生产方式.

【解析】（1）①根据频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，即可得到抽去的件数；

②记3件优等品为，，，2件合格品分别为，，从中随机抽2件，列举出基本事件的总数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解；

（2）分别计算出甲、乙种生产方式每生产100件所获得的利润为元元，比较即可得到结论．

【详解】

（1）①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品3件，合格品2件.

②记3件优等品为，，，2件合格品分别为，，从中随机抽2件，抽取方式有，，，，，，，，，共10种，

设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为，则事件发生的情况有6种，

所以.

（2）根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品.

设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为元，

乙种生产方式每生产100件所获得的利润为元，

可得（元），

（元），

由于，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村来脱贫较好.

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方表与频率分布直方图的应用，其中解答中熟记在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，且所有小长方形的面积的和等于1，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

18．已知等差数列的公差，其前项和为，且，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：（1）由可得

化为：．由成等比数列，可得

化为：联立解得：即可得出
（2） 利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．

试题解析：

（1）因为，即

即，①

因为为等比数列，即

所以，化简得：②

联立①和②得：，

所以

（2）因为

所以

19．如图在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面.

（1）证明：平面平面；

（2）若，为线段的中点，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）取的中点，连结，由面面垂直和线面垂直的性质可知；由正方形特点知，由线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论；

（2）由中点性质可知，利用体积桥的方式可求得结果.

【详解】

（1）取的中点，连结，

为等边三角形，，

平面，平面平面，平面平面，

平面，又平面，，

底面为正方形，.

又，平面，平面，

平面，平面平面

（2）为线段的中点，到平面的距离为到平面的距离的.

由（1）知：平面平面，

由面面垂直的性质可知：在中，边上的高即为三棱锥的高，

，.

【点睛】

本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、三棱锥体积的求解问题，涉及到线面垂直和面面垂直的判定与性质定理、三棱锥体积公式的应用；求解三棱锥体积的常用方法是采用体积桥的方式，将问题转化为高易求的三棱锥的体积的求解问题.

20．设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据题意直接计算得到，，得到椭圆方程.

（2）不妨设，且，设，代入 数据化简得到

，故，得到答案.

【详解】

（1），所以，，化简得，

所以，，所以方程为；

（2）由题意得，不在轴上，不妨设，且，设，

所以由，得，

所以，

由，得，代入，

化简得：，

由于，所以，同理可得，

所以，所以当时，最小为

【点睛】

本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

21．已知函数.

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）令，若对任意的x＞0，a＞0，恒有f（x）≥g（a）成立，求实数k的最大整数.

【答案】（1）见解析（2）7

【解析】（1）讨论和两种情况；（2）由 成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.

【详解】

（1）此函数的定义域为，

（1）当时， 在上单调递增，

（2）当时， 单调递减， 单调增

综上所述：当时，在上单调递增

当时， 单调递减， 单调递增.

（2）由（Ⅰ）知

恒成立，则只需恒成立，

则

，

令则只需

则 单调递减，

单调递增，

即的最大整数为

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为是关键.

22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.

【答案】（1）（）；（2）.

【解析】（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.

（2）联立方程计算得到，，计算得到答案 .

【详解】

（1）由消得，即，

是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.

（2）由得，∴，

由得∴，∴.

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）对范围分类整理得：，分类解不等式即可．

（2）利用已知转化为“当时，”恒成立，利用绝对值不等式的性质可得：，问题得解．

【详解】

当时，，

当时，由得，解得；

当时，无解；

当时，由得，解得，

所以的解集为

（2）的解集包含等价于在上恒成立，

当时，等价于恒成立，

而，∴，

故满足条件的的取值范围是

【点睛】

本题主要考查了含绝对值不等式的解法，还考查了转化能力及绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．