2020届河南省高三高考质量测评（一）数学（文）试题（解析版）

2020届河南省高三高考质量测评（一）数学（文）试题

一、单选题

1．若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】先化简求出复数，然后可得到其在复平面所对应的点，即可得答案

【详解】

复数，复数对应点，是第四象限的点，

故选：D.

【点睛】

此题考查复数的运算，复数与复平面内的点的对应关系，属于基础题

2．已知集合，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知可知集合中的元素不都全在集合中，且集合中的元素不都全在集合中，所以不是的子集，也不是的子集，而集合和集合的公共元素为2和5，从而可选出答案

【详解】

因为集合中含有元素3，集合中含有元素7，所以不是的子集，也不是的子集，故选项A，B错误；，选项C正确；，所以，选项D错误.

故选：C.

【点睛】

此题考查集合间的关系，集合的运算，属于基础题

3．已知单位向量满足，若，则实数的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】C

【解析】由两向量垂直，得其数量积等于零，列方程可求出的值

【详解】

因为，所以，

即，解得，

故选：C.

【点睛】

此题考查的是向量垂直、数量积的运算，属于基础题

4．成语“运筹帷幄”的典故出自《史记•高祖本纪》，表示善于策划用兵，指挥战争.其中的“筹”指算筹，引申为策划.古代用算筹来进行计数和计算，据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.”也就是说：在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的算筹，其中1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示（如下图所示）.表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空.那么2536用算筹可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由条件发现其对应的规律即可

【详解】

由题知，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式..2536的个位是6，用纵式；十位是3，用横式；百位是5，用纵式；千位是2，用横式.从图中选择对应的表达形式即可得到答案为，

故选：B.

【点睛】

此题考查归纳推理的应用，属于基础题

5．函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】通过求函数的定义域、判断奇偶性、取特殊值可选答案

【详解】

由题知，函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除选项A，B，又因为，所以选项D错误，

故选：C.

【点睛】

此题考查函数的图象的判断，函数的定义域、值域、奇偶性、特殊点的位置是判断函数图象的常用方法，属于中档题.

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由于， ，所以可以化成同底的对数比较大小，再与中间量1比较大小，与1比较大小，可得答案

【详解】

，，，因为，所以，故，

故选：A.

【点睛】

此题考查的是指数式、对数式比较大小，通常找中间量“0”，“1”比较大小，属于中档题.

7．总体由编号为01，02，03，…，29，30的30个个体构成，利用给出的某随机数表的第11行到第14行（见下表）随机抽取10个，如果选取第12行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选取的第4个的号码为（    ）

A．02 B．05 C．07 D．15

【答案】C

【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得结论.

【详解】

根据随机数表的读法可知，一个数是一列，重复不计，依据题目规则，从76起，选取的数依次为：17，05，02，07，可得答案为07.

故选：C

【点睛】

此题考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基础题.

8．已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的后所得函数的解析式为， 图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.

点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.

9．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的不小于63的概率为（   ）

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【解析】试题分析：运行该程序框图，第一次循环；第二次循环；第三次循环；推出循环输出，由得，由几何概型概率公式可得输出的不小于的概率为，故选B.

【考点】1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.

【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

10．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点，且，则的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】由于直线的斜率为，所以此直线的倾斜角为，即，再由，得，从而得为直角三角形，可得到三边的关系，再结双曲线的定义可得的关系，从而可求出离心率.

【详解】

由题意，直线过左焦点且倾斜角为，，∴，，∴，即.∴，∴，根据双曲线定义有，∴离心率.

故选：B

【点睛】

此题考查的是由直线与双曲线的位置关系确定双曲线的离心率,属于中档题.

11．已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿，，三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再由棱长求出高，然后由体积公式计算即可.

【详解】

三棱锥展开后为一等边三角形，设边长为，则，所以，

∴三棱锥棱长为，三棱锥的高为，

设内切球的半径为，则，所以，

∴三棱锥的内切球的体积为，

故选：A.

【点睛】

此题考查锥体的体积，考查等体积的运用，属于基础题.

12．比利时数学家Germinal Dandelin发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，作出圆柱的轴截面，由于,所以，而由已知可求出的长，从而可得，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得，由此可求出离心率.

【详解】

对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为，，延长与圆柱面相交于，，过点作，垂足为.

在直角三角形中，，，

所以，又因为，

所以.

由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即，则可求得，

所以，

故选：D.

【点睛】

此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为，则_______.

【答案】3

【解析】先函数求导，然后将切点的横坐标1代入导函数中，使其值等于切线的斜率1，得到方程可求出的值.

【详解】

因为，所以曲线在点处的切线斜率，所以.

故答案为：3

【点睛】

此题考查的是导数的几何意义,属于基础题.

14．记为数列的前项和，若，则________.

【答案】

【解析】由求解.

【详解】

当时，，即；

当时，，①

，②

①-②得，即，

所以是公比为，首项为1的等比数列，故.

故答案为：

【点睛】

此题考查的是数列的前项和与通项间的关系,属于基础题.

15．已知为第四象限的角，，则________.

【答案】

【解析】给两边平方先求出,然后利用完全平方公式求出,再利用公式可得结果.

【详解】

∵，两边平方得：，∴，

∴，

∵为第四象限角，∴，，∴，

∴.

故答案为：

【点睛】

此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.

16．一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好经过点，则下列四个命题：

①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；

②若往容器内再注升水，则容器恰好能装满；

③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点；

④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点.

其中正确命题的序号为________（写出所有正确命题的序号）.

【答案】②③

【解析】若设图（1）水的高度，几何体的高为，则由已知得，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，水占容器空间的一半，所以水面也恰好经过点，当水面与四棱锥的一个侧面重合时，水的体积为，由此得到正确的结论.

【详解】

设图（1）水的高度，几何体的高为，底面边长为，

图（1）中水的体积为，图（2）中水的体积为，

所以，所以，故①错误；由题意知升水占容器内空间的一半，所以②正确；

当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，中截面将容器内部空间分成相等的两部分，结合题意可知③正确；

假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为矛盾，故④不正确.故答案为②③.

故答案为：②③

【点睛】

此题考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何体的体积，属于难题.

三、解答题

17．记等差数列的前项和为，已知，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)由已知条件列出关于的方程组,求出,可得的通项公式;

(2)由(1)求出的,可得数列的通项公式,然后利用裂项相消法求和.

【详解】

解：（1）设数列的公差为，因为是等差数列，由得

解得

所以.

（2）由（1）知，

所以数列的前项和

.

【点睛】

此题考查的是等差数列的基本量计算，裂项相消求和法，属于基础题.

18．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由正弦定理将边转化为角，化简统一成角的三角函数，可求出的角；

（2）由正弦定理得，然后由角的值，可求出角的取值范围，从而得到的取值范围，而，所以可求得面积的取值范围.

【详解】

解：（1）在中，由正弦定理，可得，

又由，得，

即，可得.

又因为，可得.

（2）由题设及（1）知的面积.

由正弦定理得.

由于为锐角三角形，故，，

由（1）知，所以，

故，

从而.

因此面积的取值范围是.

【点睛】

此题考查的是利用正弦定理解三角形，属于基础题.

19．已知多面体，，，，均垂直于平面，，，，.

（1）证明：平面

（2）连接，求三棱锥的体积.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）由已知可证得，所以只需要证平面即可，由已知数据可证得，而平面，所以，所以可证得结论；

（2）由已知可得，由于三棱锥的体积计算比较困难，所以转化为求三棱锥体积.

【详解】

解：（1）连接，由于且，所以四边形为平行四边形，所以.

又底面为等腰梯形，，

则，，

所以，即.

因为平面，平面，

所以，

又，所以平面，

又因为，

故平面.

（2）法一：延长，交于点，连接，.因为，，所以为的中位线，所以.又因为，，所以点，，在同一条直线上，且.同理可证点，，在同一条直线上，且.取中点，连接.

则，平面，平面，所以平面.

因此点到平面的距离和点到平面的距离相等.

由（1）知平面，又平面，

所以平面平面.

又平面平面，过点作，则平面，

即点到平面的距离为.

又，

所以.

法二：因为，平面，平面，所以平面

所以到点到平面的距离等于点到平面的距离，

因为，所以，

所以.

因为，，所以，

所以.

又平面，所以为高，

所以.

【点睛】

此题考查了线面垂直的证明，利用等体积法求距离，属于中档题.

20．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数， 得到如下资料：

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求 线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验；

（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；

（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 关于的线性回归方程 ；

（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？

附：对于一组数据， ，…，（ ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为

， .

【答案】(1)

(2).

(3)小组所得线性回归方程是理想的.

【解析】分析：从组数据种选取组数据共有种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有种，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）由所给数据求得，由公式求得，再由求得，从而可得结果；（Ⅲ）利用所求回归方程，当时，当时，分别求出对应的的值，即可判断所得线性回归方程是否理想.

详解：（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件，因为从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以

（Ⅱ）由数据求得由公式求得，再由求得

所以关于的线性回归方程为

（Ⅲ）当时，

同样，当时，

所以，该小组所得线性回归方程是理想的.

点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.

21．已知.

（1）讨论的单调性；

（2）若对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）先对函数求导，然后令导函数大于零，解集为增区间，导函数小于零,解集为减区间，而函数的定义域为，所以要分情况讨论求解其单调区间；

（2）要对恒成立，只要对恒成立，然后构造函数，求此函数的最小值，只要最小值大于零即可求的取值范围.

【详解】

解：（1）（），

令.

①当时，时，，单调递减，

时，，单调递增；

②当时，时，，单调递增，

时，，单调递减，

时，，单调递增；

③当时，时，，单调递增；

④当时，时，，单调递增，

时，，单调递减，

时，，单调递增.

综上：当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在，上单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在，上单调递增.

（2）对恒成立，即对恒成立.

令，则，

又.

，令.

①当时，，单调递增，

所以当时，，符合题意；

②当时，设的两根为，，且，

则，.

（ⅰ）若，则时，单调递减；时，，单调递增.，舍去；

（ii）若，则时，，单调递增； ，符合题意，

由的图象可知，若满足，则，又，即.

综上，的取值范围为.

【点睛】

此题考查利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，属于常规题.

22．已知点在圆上运动，动点满足以下条件：①以为直径的圆过原点；②过点且与直线相切.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）已知点，，过点的直线交于，两点，求证：.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）由以为直径的圆过原点可得，,若设，，则，再由过点且与直线相切，得，而点在圆上，得 ，三个方程消去，可得到点的轨迹的方程；

（2）要证：，即证，即证为的角平分线，而在轴上，所以只要证，将用点，的坐标表示出来，即，下来只要直线方程和抛物线方程联立成方程组，再用根与系数的关系，代入上式即可证明.

【详解】

解：（1）设，，根据已知可得：

整理得：，即的方程为.

（2）证明：易知直线的斜率一定存在.

法一：设直线的方程为：，代入拋物线方程得：.

设点，，

则，，.

要证：，即证，

即证为的角平分线，

因为在轴上，即证，

，

所以

法二：设直线的方程为：，代入抛物线方程得

设点，，

则，，所以，所以.

因为是拋物线的焦点，

，，，，

，

所以

即.

【点睛】

此题考查的是求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和运算能力，属于较难题.