2020届河南省许昌市高三年级第一次质量检测数学（文）试题（解析版）

2020届河南省许昌市高三年级第一次质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知,则(    )

A．  B． C． D．

【答案】C

【解析】利用虚数单位的运算性质化简,再由复数模的计算公式,即可求得答案.

【详解】

由,

得

故选:C.

【点睛】

本题考查虚数单位的运算性质,考查复数模的求法,是基础的计算题.

2．已知集合,,则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】化简集合,根据交集定义,即可求得答案.

【详解】

,

,

.

故选:A.

【点睛】

本题考查了描述法、区间的定义,一元二次不等式的解法,对数函数的定义域,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题.

3．在等差数列中,,则数列的前项和为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】结合等差数列的性质及求和公式,即可求解答案.

【详解】

由等差数列的性质可知,,

根据等差数列前项和公式:

,

故选:D.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前n项和,是基础题.

4．某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：

现根据表中所提供的数据,求得关于的线性回归方程为,则值等于(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知表格中的数据求得与的值,代入线性回归方程求解值.

【详解】

由所给数据可求得

,

,

代入线性回归方程为,

得,

解得

故选:B.

【点睛】

本题考查线性回归方程的求法,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.

5．已知实数满足,,,则的大小关系是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别计算的值,则答案可求.

【详解】

,

,

,

.

故选: B.

【点睛】

本题考查对数值的大小比较,考查对数的运算性质,是基础题.

6．在中,,若,则的值为(    )

A． B． C． D．或

【答案】B

【解析】利用向量夹角公式:,即可求得的值.

【详解】

在中,

,

解得.

的值为.

故选:B.

【点睛】

本题考查实数值的求法,考查向量夹角公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.

7．我国著名数学家华罗庚先生曾说图像数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图像的特征，已知函数的图像如图所示，则函数的解析式可能是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据函数图像特点,结合奇偶性,定义域,取值范围,利用排除法进行判断即可.

【详解】

函数定义域为,排除A,

函数关于y轴对称,则函数为偶函数,排除B,

C选项中,当时,,不满足条件.排除C,

故选:D.

【点睛】

本题主要考查函数图像的识别和判断,结合函数的奇偶性,定义域以及特殊值法,利用排除法是解决本题的关键.

8．已知程序框图如图所示，则输出的(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据流程图逐步运算,直到跳出循环,即可求得答案.

【详解】

,,;

,,;

,,;

,,;

,,;

跳出循环,输出结果.

故选:B.

【点睛】

本题考查流程图,掌握流程图基本知识是解题关键,考察了分析能力,属于基础题.

9．已知定义城为的函数满足,,当时,,则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意得函数是偶函数,周期为4,所以,又因为当时,,代入即可得到答案.

【详解】

定义城为的函数满足,

函数是偶函数,

又,

,

函数的周期是,

,

当时,,

,

故选:C.

【点睛】

本题考查通过偶函数的定义及周期函数的定义求函数的周期,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值.

10．函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，若的图像关于点对称，则的单调递减区间是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由三角函数的图象变换，求得，再由函数的图像关于点对称，求得，得到函数，根据正弦型函数的性质，即可求解.

【详解】

由题意，函数 的图像向左平移个单位长度后，则，

又由的图像关于点对称，所以，，解得，.因为，所以，所以，

令，，得，，

即函数的单调递减区间是，故选C.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及合理、准确应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

11．已知抛物线C:,直线的斜率为,过定点,直线交抛物线于两点,且位于轴两侧,(为坐标原点),则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设出直线的方程,与抛物线方程联立,由根与系数的关系及数量积公式建立关于的方程,即可求得答案.

【详解】

设直线l的方程为,,,

与抛物线方程联立可得,

消y并整理可得,,

由根与系数的关系可得,,则,

,

,即,

解得.

故选:A.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系及数量积的运算,考查运算求解能力,属于基础题.

12．在内接于球的四面体中,有,,,若球的最大截面的面积是,则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意将四面体放入长方体中,由长方体的对角线与外接球的直径相等可求出外接球的半径,球的最大截面既是过球心的圆,由题意求出外接球的半径,进而求出的值.

【详解】

将四面体放入到长方体中,与,与,与相当于一个长方体的相对面的对角线,

设长方体的长,宽,高分别是则,

球的最大截面的面积是,球的最大截面即是过球心的大圆,

设球的半径为则,

,

,

解得:,

故选:A.

【点睛】

考查三棱锥的外接球的半径的与长方体棱长的关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

二、填空题

13．若圆的半径为,则______.

【答案】

【解析】根据题意,由圆的一般方程可得,解可得的值,即可求得答案.

【详解】

圆的半径为,

,

解可得:;

故答案为:.

【点睛】

本题考查圆的一般方程,掌握圆的一般方程的形式是解题关键,属于基础题.

14．已知,则＝_____．

【答案】

【解析】直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．

【详解】

，则，所以，

则：，

故答案为．

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

15．函数定义域是,其导函数为,满足,且,则关于的不等式的解集是______.

【答案】

【解析】令,根据导数与单调性的关系可判断单调性,进而可求.

【详解】

令,

,

则即单调递增,

,

则由可得,

,

.

故答案为:

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性求解不等式问题,解题的关键是构造函数.

16．已知为锐角内角的对边,且满足,则的取值范围是______.

【答案】

【解析】和余弦定理相似,从而先用余弦定理得出条件,再用正弦定理和条件是锐角得出角之间的关系,求得范围,,由利用余弦函数的性质可得,即可求解答案.

【详解】

由余弦定理得,

,①

由正弦定理得,

,

,

又为锐角三角形,

,可得:,

,

,

,

,即

故

 由①可得.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了余弦定理、正弦定理的应用,三角恒等变换,以及三角形的性质,考查了转化思想和函数思想,属于中档题.

三、解答题

17．北京联合张家口获得2022年第24届冬奥会举办权，我国各地掀起了发展冰雪运动的热潮，现对某高中的学生对于冰雪运动是否感兴趣进行调查，该高中男生人数是女生的1.2倍，按照分层抽样的方法，从中抽取110人，调查高中生“是否对冰雪运动感兴趣”得到如下列联表：

（1）补充完成上述列联表；

（2）是否有99%的把握认为是否喜爱冰雪运动与性别有关.

附： （其中）.

【答案】(1)见解析.(2) 有99%的把握认为是否喜爱冰雪运动与性别有关.

【解析】(1) 依题意可得该高中男生女生人数比例，按照分层抽样法抽取110人，男生应该抽60人，女生应该抽50人.填表即可。

(2)根据表中的数据代入公式计算的观测值即可。

【详解】

（1）依题意可得该高中男生女生人数比例为6:5，按照分层抽样法抽取110人，男生应该抽60人，女生应该抽50人.

列联表为

（2）的观测值 

所以有99%的把握认为是否喜爱冰雪运动与性别有关.

【点睛】

本题考查了独立性检验问题，包括列联表的填写，值的计算，侧重于考查学生的计算能力，是基础题．

18．已知数列的前n项和为，，，且.

（1）求的通项公式；

（2）令，求数列前n项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式,即可求得答案;

（2）求得,,结合数列的分组求和、裂项相消求和,可得所求和.

【详解】

（1）,且,

时,,

化简可得,

由,可得,即为首项为,公差为的等差数列,

则;

（2）,

,

可得前n项和

.

【点睛】

本题考查数列的递推式的应用,等差数列的通项公式和求和公式的应用,考查数列的分组求和、裂项相消求和,化简运算能力,属于中档题.

19．如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面ABC，，四边形ABCD为平行四边形，，.

（1）求证：平面；

（2）若，求四棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）推导出,,由此能证明平面;

（2）连结,则平面,四棱锥的体积:,由此能求出结果.

【详解】

（1）证明:四边形ABCD为平行四边形,,.

,

,

几何体中,为三棱柱,且平面ABC,

,

,

平面.

（2）连结,

平面,,

平面,

四棱锥的体积:

.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.

20．已知椭圆C：,其离心率为,焦距长为,直线l过定点,与椭圆交于不同两点.

（1）求椭圆的方程;

（2）求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由离心率及焦距和之间的关系,即可求出椭圆的方程;

（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况,求出的范围.

【详解】

（1）由题意:,,,

解得:,,

椭圆的方程:.

（2）当直线l的斜率不存在时,则,,

,

当直线的斜率存在时,设直线l的方程为:,,,

与椭圆联立得:,

,

,

综上可得的取值范围:

【点睛】

本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与椭圆方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解.

21．已知函数,,,其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意,总存在,使得成立,求的取值范围.

【答案】（1）减区间为，增区间为（2）

【解析】（1）求导后,令导函数大于的解集即为增区间,令导函数小于的解集即为减区间;

（2）问题等价于函数在上的值域包含于函数在上的值域,再求解即可.

【详解】

（1）函数的定义域为,,

令,解得,令,解得,

函数的减区间为,增区间为;

（2）依题意,函数在上的值域包含于函数在上的值域,

由（1）可知,函数在上单调递增,故值域为,

由得,

①当时,恒成立,故函数在上单调递增,此时值域为,故不符合题意;

② 当时,的解集为,的解集为,

故函数在上单调递减,在上单调递增,

且,

当时,函数在上单调递减,在上单调递增,此时值域为,

则此时需要,即,

当时,不可能成立,故不符合题意;

当时,在上恒成立,则函数在上单调递减,

此时值域为,则,解得;

综上所述,实数a的取值范围为.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值,考查不等式的恒成立问题,涉及了分类讨论思想及集合思想,属于中档题.

22．在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),其中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程;

（2）已知曲线与曲线交于两点,点,求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）按公式将极坐标转化成直角坐标方程;

（2）可以用参数方程,用参数方程中的参数表示成所求的转化.

【详解】

（1）,由,

曲线的直角坐标方程为.

（2）将曲线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程.

故:化简得,

且,可得,

设两点对应的参数分别为,

则有,,

的取值范围为.

【点睛】

本题考查极坐标,参数方程,直角坐标方程的相互转化,用参数方程求取值范围,属于中档题.

23．已知函数.

（1）当，时，求不等式的解集；

（2）若，，的最小值为2，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用零点讨论法解绝对值不等式；（2）利用绝对值三角不等式得到a+b=2,再利用基本不等式求的最小值.

【详解】

（1）当，时，，

得或或，解得：，

∴不等式的解集为.

（2），

∴，

∴，

当且仅当，时取等号.

∴的最小值为.

【点睛】

本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查绝对值三角不等式和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.