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    2020届宁夏回族自治区银川一中高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

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    2020届宁夏回族自治区银川一中高三第二次模拟考试数学(理)试题

     

     

    一、单选题

    1.若复数满足,则对应的点位于复平面的(   

    A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限

    【答案】D

    【解析】利用复数模的计算、复数的除法化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案;

    【详解】

    对应的点

    对应的点位于复平面的第四象限.

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.

    2.设集合,则集合

    A B C D

    【答案】B

    【解析】先求出集合和它的补集,然后求得集合的解集,最后取它们的交集得出结果.

    【详解】

    对于集合A,解得,故.对于集合B,解得..故选B.

    【点睛】

    本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查对数不等式的解法,考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是:先将二次项系数化为正数,且不等号的另一边化为,然后通过因式分解,求得对应的一元二次方程的两个根,再利用大于在两边,小于在中间来求得一元二次不等式的解集.

    3.已知命题p:直线ab,且b平面α,则a∥α;命题q:直线l平面α,任意直线m⊂α,则lm.下列命题为真命题的是(   

    Apq Bp(非q C.(非pq Dp(非q

    【答案】C

    【解析】首先判断出为假命题、为真命题,然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性,判断出正确选项.

    【详解】

    根据线面平行的判定,我们易得命题若直线,直线平面,则直线平面或直线在平面内,命题为假命题;

    根据线面垂直的定义,我们易得命题若直线平面,则若直线与平面内的任意直线都垂直,命题为真命题.

    :A命题为假命题;B命题为假命题;C命题为真命题;D命题为假命题.

    故选:C.

    【点睛】

    本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断,考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断,属于基础题.

    4.已知向量是单位向量,若,则   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】,根据题意求出的值,代入向量夹角公式,即可得答案;

    【详解】

    是单位向量,,

    联立方程解得:

    时,

    时,

    综上所述:.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查向量的模、夹角计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意的两种情况.

    5.若,则的值为(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】利用倍角公式、两角差的正弦进行化简,即可得到答案.

    【详解】

    .

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查三角函数恒等变换求值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力.

    6.函数的图象可能是(   

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】求导,判断导函数函数值的正负,从而判断函数的单调性,通过单调性判断选项.

    【详解】

    解:当时,,则

      若

      若

        则恒成立,

    即当时,恒成立,

    上单调递减,
    故选:A.

    【点睛】

    本题主要考查函数的图象,可以通过函数的性质进行排除,属于中档题.

    7.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱中,点是平面内一点,则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为( )

    A2 B3 C4 D5

    【答案】A

    【解析】根据几何体分析正视图和侧视图的形状,结合题干中的数据可计算出结果.

    【详解】

    由三视图的性质和定义知,三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形,其面积都是,正视图与侧视图的面积之和为

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查几何体正视图和侧视图的面积和,解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.

    8.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为,则的值为 (  )

    A B C D

    【答案】A

    【解析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程,解得两交点,由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.

    【详解】

    抛物线的准线为, 双曲线的两条渐近线为, 可得两交点为, 即有三角形的面积为,解得,故选A

    【点睛】

    本题考查三角形的面积的求法,注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程,考查运算能力,属于基础题.

    9.《九章算术》勾股章有一引葭赴岸问题今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】由题意知:,设,则,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.

    【详解】

    解:由题意知:,设,则

    中,列勾股方程得:,解得

    所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为

    故选C.

    【点睛】

    本题考查了几何概型中的长度型,属于基础题.

    10.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】循环依次为

    直至结束循环,输出

    ,选D.

    点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.

    11.如图所示,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】联立直线方程与椭圆方程,解得的坐标,然后利用向量垂直的坐标表示可得,由离心率定义可得结果.

    【详解】

    ,得,所以.

    由题意知,所以.

    因为,所以,所以.

    所以,所以

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查了直线与椭圆的交点,考查了向量垂直的坐标表示,考查了椭圆的离心率公式,属于基础题.

    12.已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解x的范围,综合可得结果.

    【详解】

    时,

    ,则,则

    函数单调递增,在单调递减.

    函数处取得极大值为

    时,的取值范围为

    又当时,令,则,即

    综上所述,的取值范围为.

    故选C.

    【点睛】

    本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.

     

     

    二、填空题

    13.在一次医疗救助活动中,需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派案共有________.(用数字作答)

    【答案】

    【解析】首先选派男医生中唯一的主任医师,由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.

    【详解】

    首先选派男医生中唯一的主任医师,

    然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生,

    故选派的方法为:.

    故答案为

    【点睛】

    解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素(或位置)的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置)

    14.若xy满足,且y≥−1,则3x+y的最大值_____

    【答案】5.

    【解析】由约束条件作出可行域,令z3x+y,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.

    【详解】

    由题意作出可行域如图阴影部分所示.

    ,

    当直线经过点,取最大值5.

    故答案为:5

    【点睛】

    本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.

    15.在中,角所对的边分别为的平分线交于点D,且,则的最小值为________

    【答案】9

    【解析】分析:先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

    详解:由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,因此

    当且仅当时取等号,则的最小值为.

    点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意拆、拼、凑等技巧,使其满足基本不等式中”(即条件要求中字母为正数)”(不等式的另一边必须为定值)”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.

    16.棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合,若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上,则正三棱锥的内切球半径为______.

    【答案】

    【解析】由棱长为的正四面体求出外接球的半径,进而求出正三棱锥的高及侧棱长,可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,进而求出体积与表面积,设内切圆的半径,由等体积,求出内切圆的半径.

    【详解】

    由题意可知:

    多面体的外接球即正四面体的外接球

    交于,连接,如图

    ,且为外接球的直径,可得

    设三角形 的外接圆的半径为,则,解得

    设外接球的半径为,则可得

    ,解得

    设正三棱锥的高为

    因为,所以

    所以

    所以正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,

    所以

    设内切球的半径为

    解得:

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查多面体与球的内切和外接问题,考查转化与化归思想,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意借助几何体的直观图进行分析.

     

    三、解答题

    17.已知数列的前项和为,且满足

    1)求数列的通项公式;

    2)若,且数列项和为,求的取值范围.

    【答案】12

    【解析】1)由,可求,然后由时,可得,根据等比数列的通项可求

    2)由,而,利用裂项相消法可求.

    【详解】

    1)当时,,解得

    时,

    ,即

    数列是以2为首项,2为公比的等比数列,

    2

    .

    【点睛】

    本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用,等比数列的通项公式、裂项求和方法,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.

    18.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于300的为长纤维,其余为短纤维

    纤维长度

    甲地(根数)

    3

    4

    4

    5

    4

    乙地(根数)

    1

    1

    2

    10

    6

     

    1)由以上统计数据,填写下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为纤维长度与土壤环境有关系”.

     

    甲地

    乙地

    总计

    长纤维

     

     

     

    短纤维

     

     

     

    总计

     

     

     

     

    附:(1

    2)临界值表;

    010

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

     

    2)现从上述40根纤维中,按纤维长度是否为长纤维还是短纤维采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地短纤维的根数为,求的分布列及数学期望.

    【答案】1)在犯错误概率不超过的前提下认为纤维长度与土壤环境有关系.(2)见解析

    【解析】试题分析:1)可以根据所给表格填出列联表,利用列联表求出,结合所给数据,应用独立性检验知识可作出判断;(2)写出的所有可能取值,并求出对应的概率,可列出分布列并进一步求出的数学期望.试题解析:()根据已知数据得到如下列联表:

     

    甲地

    乙地

    总计

    长纤维

    9

    16

    25

    短纤维

    11

    4

    15

    总计

    20

    20

    40

     

    根据列联表中的数据,可得

    所以,在犯错误概率不超过的前提下认为纤维长度与土壤环境有关系                          

    )由表可知在8根中乙地短纤维的根数为

    的可能取值为:0,1,2,3    

      的分布列为:

    0

    1

    2

    3

     

      

    19.在底面为菱形的四棱柱中,平面.

    1)证明:平面

    2)求二面角的正弦值.

    【答案】1)证明见解析;(2

    【解析】1)由已知可证,即可证明结论;

    2)根据已知可证平面,建立空间直角坐标系,求出坐标,进而求出平面和平面的法向量坐标,由空间向量的二面角公式,即可求解.

    【详解】

    方法一:(1)依题意,

    四边形是平行四边形,

    平面平面

    平面.

    2平面

    的中点,

    平面

    平面

    为原点,分别以轴、轴、轴的正方向,

    建立如图所示的空间直角坐标系

    设平面的法向量为

    ,取,则.

    设平面的法向量为

    ,取,则.

    设二面角的平面角为,则

    二面角的正弦值为.

    方法二:(1)证明:连接于点

    因为四边形为平行四边形,所以中点,

    又因为四边形为菱形,所以中点,

    中,

    平面平面

    平面

    2)略,同方法一.

    【点睛】

    本题主要考查线面平行的证明,考查空间向量法求面面角,意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养,属于中档题.

    20.如图,点为圆上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.

    1)求曲线的方程;

    2)若点分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于两点,且,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.

    【答案】12)不存在;详见解析

    【解析】1)设,通过,即的中点,转化求解,点的轨迹的方程.

    2)设直线的方程为,先根据,可得,再根据韦达定理,点在椭圆上可得,将代入可得,该方程无解,问题得以解决

    【详解】

    1)设,则

    由题意知,所以中点,

    由中点坐标公式得,即

    又点在圆上,故满足,得.

    曲线的方程.

    2)由题意知直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为

    因为,故,即

    联立,消去得:

    因为四边形为平行四边形,故

    在椭圆上,故,整理得

    代入,得,该方程无解,故这样的直线不存在.

    【点睛】

    本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法,考查数学转化思想方法,是中档题.

    21.已知函数,其中e为自然对数的底数.

    1)讨论函数的单调性;

    2)用表示中较大者,记函数.若函数上恰有2个零点,求实数a的取值范围.

    【答案】1)函数的单调递增区间为,单调递减区间为;(2.

    【解析】1)由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解;

    2)结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解

    【详解】

    1,

    ,,

    函数内单调递增;

    ,,解得,

    ,,单调递增,

    ,,单调递减,

    函数的单调递增区间为,单调递减区间为

    2)()当,所以上无零点;

    )当,,

    ,,的一个零点;

    ,,不是的零点

    )当,,所以此时只需考虑函数上零点的情况,因为,所以

    ,上单调递增。又,所以

    )当,上无零点;

    )当,,,所以此时上恰有一个零点;

    ,,,,;由,,所以上单调递减,上单调递增,

    因为,,所以此时上恰有一个零点,

    综上,

    【点睛】

    本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想

    22.在平面直角坐标系中,曲线,曲线的参数方程为

    为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

    1)求曲线的极坐标方程;

    2)在极坐标系中,射线与曲线分别交于两点(异于极点),定点,求的面积

    【答案】1;(2.

    【解析】1)先把参数方程化成普通方程,再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程;

    2)先利用极坐标求出弦长,再求高,最后求的面积.

    【详解】

    1)曲线的极坐标方程为:

    因为曲线的普通方程为:        

    曲线的极坐标方程为

    2) 由(1)得:点的极坐标为, 点的极坐标为

    点到射线的距离为

    的面积为 .

    【点睛】

    本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化,同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题,考查计算能力,属于中等题.

    23.设不等式的解集为M.

    1)证明:

    2)比较的大小,并说明理由.

    【答案】(1)证明见解析;(2).

    【解析】试题分析:

    (1)首先求得集合M,然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论;

    (2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|2|a-b|.

    试题解析:

    )证明:记f (x) =|x-1|-|x+2|

    f(x)= ,所以解得-x,故M=(-,).

    所以,||≤|a|+|b|×+×=.

    )由()得0≤a20≤b2.

    |1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.

    所以,|1-4ab|2|a-b|.

     

     

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