2020届宁夏回族自治区银川一中高三第二次模拟考试数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则的元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意可知，再求出，即可求出结果.
【详解】
由题意可知，，所以，所以集合中的元素有3个.
故选：C.
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
2．已知实数a，b满足（其中i为虚数单位），则复数的共轭复数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【详解】
实数满足(其中为虚数单位)，
∴，
∴ ，
∴， 则复数的共轭复数为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．已知平面，直线，，若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据线面垂直的判定条件，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
【详解】
根据线面垂直的判定条件知，若直线，，则“”即必要性成立；
若，，则直线可以在平面内，也可以与平面相交，还可以为相交垂直，则充分性不成立.
所以，若，则“”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面垂直的性质是解决本题的关键，属于基础题.
4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】开始，输入，
则，判断，否，循环，，
则，判断，否，循环，
则，判断，否，循环，
则，判断，是，输出，结束.故选择C.
5．若是奇函数，则的值为( )
A． B． C．7 D．-7
【答案】D
【解析】根据奇函数的性质可求出，即可求出的值.
【详解】
因为是奇函数，
当时，则，所以，
又是奇函数，所以 ， 所以，
所以，所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性，属于基础题.
6．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说：“乙去我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.”丙说：“无论丁去不去，我都去.”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”则以下推论可能正确的是( )
A．乙、丙两个人去了 B．甲一个人去了
C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了
【答案】C
【解析】直接利用甲、乙、丙、丁四位同学所说结合丙说：“无论丁去不去，我都去．”分别分析得出答案．
【详解】
对于选项A，∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去出游，故A选项错误；
对于选项B，∵乙说：“丙去我就不去．”， ∴由选项A可知，乙一定没去，故选项B错误； 对于选项C，∵丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．” ∴由选项B可知，甲、丁一定都出游，故甲、丙、丁三个人去了，此选项正确；
对于选项D，∵乙说：“丙去我就不去．” ∴四个人不可能都去出游，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了推理与论证，依次分析得出各选项正确性是解题关键．
7．已知数列为等比数列，为等差数列的前项和，且，， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据等比数列的性质，求得，再利用等差数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案．
【详解】
由题意，等比数列为等比数列，满足，，
根据等比数列的性质，可得，可得，
所以，则，故选A．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的性质和等差数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．不等式组所表示的平面区域为Ω，用随机模拟方法近似计算Ω的面积，先产生两组（每组100个）区间上的均匀随机数，，…，和，，…，，由此得到100个点，再数出其中满足的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域Ω面积的近似值为( )
A．0.33 B．0.76 C．0.67 D．0.57
【答案】C
【解析】设平面区域为的面积为，因为其中满足的点数为，由此即可求出满足的点的个数，再根据几何概型即可求出结果．
【详解】
设平面区域为的面积为，依题意， ，∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了几何概型的应用，属于基础题.
9．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可.
详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，得到，
再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，
即，
由，
得，
当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
10．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【详解】
平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于,故选C.
取DD1中点F，则为所求角, ，选C.
11．已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到与的不等式，可求出离心率取值范围.
详解：
设的内切圆半径为，
由双曲线的定义得，
，
，
由题意得，
故，
故，又，
所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D.
点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.
12．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数 都有，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，结合已知可判断函数的奇偶性及单调性，然后即可求解不等式．
【详解】
令，
∵当时，， 则，
所以当时，函数单调递增；
因为对于任意的实数都有，
所以 即为偶函数，
所以当时，函数单调递减，
又，，，
又，所以，即．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查导数在函数单调性中的应用，解题的关键是构造函数g（x）并判断出单调性及奇偶性．
二、填空题
13．已知，，则__________.
【答案】
【解析】根据平面向量的坐标运算可得，再利用平面向量模的坐标运算公式即可求出结果.
【详解】
由题意可知， ，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了平面向量模的坐标运算公式，属于基础题.
14．若倾斜角为的直线l与曲线相切于点，则的值为__________.
【答案】
【解析】根据题意，求出的导数，计算可得的值，由导数的几何意义可得，由三角函数的恒等变形公式可得，代入数据计算可得答案．
【详解】
根据题意，曲线，其导数， 则有，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．
15．斜率为的直线过抛物线：的焦点，若与圆：相切，则______.
【答案】12
【解析】根据题意，可知倾斜角，数形结合，即可得到圆的半径和参数之间的关系，从而解得.
【详解】
结合题意作图如下：
由图可得，，
解得.
故答案为：12.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，注意数形结合即可.
16．已知数列满足，且，表示数列的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是__________.
【答案】5
【解析】首先根据等比数列的定义和前项和公式即可求出，进而可得，然后再利用裂项相消法可求出，再解不等式即可求出结果．
【详解】
由数列满足且，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以；
所以 ，
所以
，则，整理得，
即，即，故的最大正整数为．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的通项公式和前项和公式的应用，同时考查了裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
三、解答题
17．已知的内角的对边分别为，设，且.
（1）求A及a；
（2）若，求边上的高.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）利用正弦定理化边为角可得,再利用二倍角公式求得角；
（2）先利用余弦定理求得,再利用等面积法求解即可.
【详解】
（1）因为,根据正弦定理得,
又因为
,
因为所以,
（2）由（1）知,
由余弦定理得
因为,所以所以
设BC边上的高为.
,,
即BC边上的高为.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形,考查三角形的面积公式的应用,考查余弦定理的应用.
18．惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量（，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤，商店销售该海鲜的日利润为元.
（1）求商店日利润关于日需求量的函数表达式.
（2）根据频率分布直方图，
①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.
②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率.
【答案】（1）（2）①15.32公斤 ②0.4
【解析】（1）根据条件列分段函数关系式，即得结果；
（2）①根据组中值求平均数，②先根据函数关系式确定日利润不少于620元对应区间，再求对应区间概率.
【详解】
（1）当时
当时
所求函数表达式为：．
（2）①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
这50天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：
（公斤）
②当时，，
由此可令，得
所以估计日利润不少于620元的概率为.
【点睛】
本题考查函数解析式以及利用频率分布直方图求平均数和概率，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．如图，在多边形ABPCD中（图1），四边形ABCD为长方形，为正三角形，，，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上（图2）.
（1）证明：平面平面PAB；
（2）若点E在线段PB上，且，当点Q在线段AD上运动时，求点Q到平面EBC的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）过点作，垂足为O，由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上，可得PO⊥平面ABCD，进一步得到AB⊥AD，由线面垂直的判定可得AB⊥PD，通过计算PA，PD，AD，可得，从而得，则平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；
（2）利用等积法即可求出点到底面的距离．
【详解】
(1)证明：过点作，垂足为O.
由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上，
∴平面ABCD，∴，
∵四边形ABCD为矩形，∴，
又，∴平面PAD，
∴，，
又由，，可得，同理，
又，∴，
∴，且，
∴平面PAB
又因为平面PCD
所以平面平面PAB
(2)设点E到底面QBC的距离为h，所以点Q到平面EBC的距离为d
则，
由，可知，
∴，∵，且，
∴，∴，
又，，
∴.
所以点Q到平面EBC的距离为.
【点睛】
本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到面的距离，是中档题
20．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为，，过，分别作x轴的垂线，，椭圆C的一条切线与，交于M，N两点，求证：是定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】(1)根据椭圆离心率，将点代入椭圆方程，由此即可求出椭圆方程；
(2)由题设知，与的方程联立消去可得，再根据判别式可得，再求出点 的坐标，根据向量的数量积即可证明．
【详解】
(1)由题意可知得，
故所求椭圆C的标准方程为；
(2)证明：由题意可知，的方程为，的方程为，
直线l与直线，联立可得，，
所以，.
所以.
联立得
因为直线l与椭圆C相切，
所以，
化简，得.
所以，
所以，故为定值
(注：可以先通过计算出此时，再验证一般性)
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的数量积，直线方程的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）证明：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】(1),分和两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式变形为，构造函数，证明即可；法二：将不等式变形为，分别设，求导证明即可.
【详解】
(1) ，
当时，，函数的单调增区间为，无减区间；
当时，，当，，单增区间为上增，单调减区间为上递减．
(2)解法1： ，即证，令，，，令，，
在，上单调递增，，，故存在唯一的使得，)在上单调递减，在上单调递增，，，当时， ， 时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，，得证.
解法2：要证： ，即证： ，令，，当时，，时，；所以在上单调递减，在上单调递增， ； 令，，，当 时，，时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，，，，得证.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性，最值，证明不等式问题，第二问证明的方法比较灵活，对不等式合理变形，转化为函数问题是解题关键，是难题.
22．在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为
（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线、的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；
（2）先利用极坐标求出弦长，再求高，最后求的面积．
【详解】
（1）曲线的极坐标方程为： ，
因为曲线的普通方程为： ，
曲线的极坐标方程为；
（2） 由（1）得：点的极坐标为， 点的极坐标为，
，
点到射线的距离为
的面积为 .
【点睛】
本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.
23．设不等式的解集为M，.
（1）证明：；
（2）比较与的大小，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：
(1)首先求得集合M，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；
(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|＞2|a-b|.
试题解析：
（Ⅰ）证明：记f (x) =|x-1|-|x+2|，
则f(x)= ，所以解得-＜x＜，故M=(-,).
所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.
|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.
所以，|1-4ab|＞2|a-b|.
