2020届辽宁省大连市高三上学期第二次模拟考试数学（文）试卷
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数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题：本大题共12道小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1、已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2、 已知复数满足，则 （ ）
A. B. C. D.
3、 命题“R，”的否定是 （ ）
A. R， B. R，
C. R， D. R，
4、若，，则 （ ）
A. B. C. D.
5、若命题“”为假，且“”为假，则 （ ）
A. 或为假 B. 假 C. 真 D. 不能判断的真假
6、等差数列中，，，则 （ ）
A. B. C. D.
7、运行流程图，若输入，则输出的值为 （ ）
A. B. C. D.
8、双曲线过点，则双曲
线的焦点坐标是 （ ）
A. B.
C. D.
9、已知向量，，∣∣，
则∣∣ （ ）
A. B. C. D.
10、若函数（R）在区间上单调递减，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
11、甲、乙、丙三名同学在军训的实弹射击各射
击发子弹，三人的射击成绩如表。分
别表示甲、乙、丙三名同学这次射击成绩的标准
差，则 （ ）
A. B. C. D.
12、如图，是同一平面内的三条平行直线，与间
的距离是，与间的距离是，正三角形的三个顶
点分别在上，则△的边长是 （ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4道小题，每题5分，共20分。把答案填在题中横线上
13、实数满足，则的最小值等于 。
14、已知函数，则的值为 。
15、已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的
尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是 。
16、对于△有如下命题：
①若，则△一定为等腰三角形；
②若，则△一定为等腰三角形；
③若，则△一定为钝角
三角形；
④若，则△一定为锐角
三角形。
则其中正确命题的序号是 。
（把所有正确的命题序号都填上）
三、解答题：本大题共6道小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本题满分12分）设是△的内角，已知向量，向量，。
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围。
18、（本题满分12分）试比较下面概率的大小：
（Ⅰ）如果以连续掷两次骰子依次得到的点数作为点的横、纵坐标，点在直线的下面（包括直线）的概率；
（Ⅱ）在正方形R，随机地投掷点，求点落在正方形内直线的下面（包括直线）的概率。
19、（本题满分12分） 一个多面体的直观图（正视图、侧视图、俯视图）如图所示，分别是的中点。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）若这个多面体的六个顶点都在同一个球面上，求这个球的体积。
20（本题满分12分）已知椭圆过点，两焦点为，。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆与直线交于两点，且(为坐标原点)，求证：为定值，并求此定值。
21、（本题满分12分）设函数在处取得极值，且。
（Ⅰ）若，求值，并求的单调区间；
（Ⅱ）若，求的取值范围。
选考题，请考生在22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22、（本题满分10分）如图，是△的外接圆⊙的直径，是⊙上的一点，于点，且的延长线分别交，⊙，的延长线于，，。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）连接，若，且，求的长，
23、（本题满分10分）已知直线经过点，且倾斜角为，圆的参数方程为（是参数），直线与圆交于两点。
（Ⅰ）写出直线的参数方程，圆的普通方程；
（Ⅱ）求两点的距离。
24、（本题满分10分）
是否存在实数，使得不等式∣∣∣∣有解？若存在，求出实数的范围；若不存在，说明理由。
高三数学试卷（文科）答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题：
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：
13、 14、 15、 16、 ②③④
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）∵向量，向量，
∴ 得
又 ∵
∴ 得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ∴
∴
∵
∴ ∴的取值范围是
18、解：（Ⅰ）由 满足的点有：
∴
（Ⅱ）正方形的面积
直线与，围成的三角形面积
∴
∴ 即
19、解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且,
(Ⅰ)连接，由直三棱柱的性质得
平面
∴ 则四边形为矩形
由矩形的性质得过的中点
在中，由中位线性质得
又平面 平面
∴平面
(Ⅱ)∵平面 平面
∴
在正方形中，
又∵
∴平面 又
∴平面
(Ⅲ)∵多面体为直三棱柱
∴
∵是直角三角形斜边的中线
∴
同理
∴是这个多面体的外接球的球心，半径为
∴球的体积为
20、解：（Ⅰ）依题意 设椭圆的方程为
椭圆过点 得 解得 （舍去）
∴椭圆的方程是
（Ⅱ）证明：椭圆的方程可化为 ①
设椭圆与直线交于、两点
则由 得 ②
由 得代人①
得
∴ ③
同理由 得代人①
得 ④
将③、④代人②得
∴
即为定值
21、解：（Ⅰ）∵
∴
由题
∴
∴
令 ∴或
令 ∴
∴在，上单调递增
在上单调增减
（Ⅱ）
∴ 即恒成立
且
∴ ∴
∴
令
令 ∴舍
＋ | 0 | － |
| |
↗ | 极大 | ↙ | 0 |
∴
∴ ∴
22、解：（Ⅰ）∵是△的外接圆⊙的直径
∴ 又∵ ∴
∴
∵
∴△∽△
∴
(Ⅱ) ∵ ∴
∵
∴ ∴△∽△
设 则 由相交弦定理
即 ∴ ∴
23、解： （Ⅰ）直线的参数方程为
即（为参数）
圆的参数方程化为普通方程 得
（Ⅱ）直线的参数方程代入圆的普通方程 得
即
∵
∴
∴
24、解：存在
设
则
画函数出的图象
由图象可知
当时 不等式有解
