2020届江西省南昌市江西师范大学附属中学高三第一次模拟测试数学（理）试题（解析版）

2020届江西省南昌市江西师范大学附属中学高三第一次模拟测试数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，分析即得解

【详解】

由题意，故，

故选：D

【点睛】

本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

2．设，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.

详解：

，

则，故选c.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3．已知命题p：“”是“”的充要条件；，，则（    ）

A．为真命题 B．为真命题

C．为真命题 D．为假命题

【答案】B

【解析】由的单调性，可判断p是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q是假命题，依次分析即得解

【详解】

由函数是R上的增函数，知命题p是真命题．

对于命题q，当，即时，；

当，即时，，

由，得，无解，

因此命题q是假命题．所以为假命题，A错误；

为真命题，B正确；

为假命题，C错误；

为真命题，D错误．

故选：B

【点睛】

本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.

4．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.

【详解】

根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，

得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），

∴b=0，∴a+b=．故选B．

【点睛】

本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．

5．已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.

【详解】

函数，，的零点，即为与，，的交点，

作出与，，的图象，

如图所示，可知

故选：C

【点睛】

本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.

6．函数的图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据函数为偶函数排除,当时,利用导数得在上递减,在上递增,根据单调性分析不正确,故只能选.

【详解】

令,则,

所以函数为偶函数,其图像关于轴对称,故不正确,

当时,,,

由,得,由,得,

所以在上递减,在上递增,

结合图像分析,不正确.

故选:D

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.

7．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（   ）m．

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【解析】由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解

【详解】

由题中图像可得，

由变速直线运动的路程公式，可得

．

所以物体在间的运动路程是．

故选：C

【点睛】

本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

8．已知，则的值构成的集合是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.

【详解】

为偶数时，；为奇数时，，则的值构成的集合为.

【点睛】

本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.

9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.

【详解】

根据圆柱的三视图以及其本身的特征，

将圆柱的侧面展开图平铺,

可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，

所以所求的最短路径的长度为，故选B.

点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.

10．在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.

【详解】

根据空间向量的线性运算可知

因为,，

则

即，

故选：D.

【点睛】

本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.

11．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设坐标，根据向量坐标运算表示出，从而可利用表示出；由坐标运算表示出，代入整理可得所求的轨迹方程.

【详解】

设，，其中，

    ，即   

关于轴对称   

故选：

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.

12．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是

A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)

【答案】C

【解析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.

【详解】

由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．

令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，

则结合图象可知，解得a∈[－3，0)，

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.

二、填空题

13．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．

【答案】

【解析】由题意容积，求导研究单调性，分析即得解.

【详解】

由题意：容积，，

则，

由得或（舍去），

令

则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时.

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

14．已知数列满足，则________．

【答案】

【解析】项和转化可得，讨论是否满足，分段表示即得解

【详解】

当时，由已知，可得，

∵，①

故，②

由①-②得，

∴．

显然当时不满足上式，

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用求，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.

15．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，， ，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________

【答案】0.35

【解析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．

【详解】

解：由题意知本题是一个对立事件的概率，

抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，

，

抽到不是一等品的概率是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．

16．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______．

【答案】

【解析】设圆柱的轴截面的边长为x，可求得，代入圆柱的表面积公式，即得解

【详解】

设圆柱的轴截面的边长为x，

则由，得，

∴．

故答案为：

【点睛】

本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.

三、解答题

17．已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）项和转换可得，继而得到，可得解；

（2）代入可得，由数列为递增数列可得，，令，可证明为递增数列，即，即得解

【详解】

（1）∵，

∴，

∴，

即，∴，

∴，

∴．

（2）．

=2·-λ（2n+1）．

∵数列为递增数列，

∴，即．

令，

即．

∴为递增数列，∴，

即的取值范围为．

【点睛】

本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

【答案】（1）．（2）．

【解析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．

（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．

【详解】

解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，

得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，

根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．

如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，

如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，

如果最高气温低于20，需求量为200瓶，

∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．

（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，

Y＝450×2＝900元，

当温度在[20，25）℃时，需求量为300，

Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，

当温度低于20℃时，需求量为200，

Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，

当温度大于等于20时，Y＞0，

由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：

90﹣（2+16）＝72，

∴估计Y大于零的概率P．

【点睛】

本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

19．如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．

（1）求证：平面ACD；

（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值．

【答案】（1）见解析（2），最大值．

【解析】（1）先证明，，故平面ADC．由，即得证；

（2）可证明平面ABC，结合条件表示出，利用均值不等式，即得解.

【详解】

（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，

∴，．

∵平面ABC，平面ABC，∴．

∵AB是圆O的直径，∴，

且，平面ADC，

∴平面ADC．

∵，∴平面ADC．

（2）解∵平面ABC，，

∴平面ABC．

在中，，．

在中，∵，∴，

∴，

∴．

∵，

当且仅当，即时取等号，

∴当时，体积有最大值．

【点睛】

本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

20．P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．

（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．

【答案】（1）点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）

【解析】（1）设，根据可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；

（2）设，与椭圆方程联立，利用求得；利用韦达定理表示出与，根据平行四边形和向量的坐标运算求得，消去后得到轨迹方程；根据求得的取值范围，进而得到最终结果.

【详解】

（1）设，则

由知：

点在圆上   

点的轨迹的方程为：

轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆

（2）设，由题意知的斜率存在

设，代入得：

则，解得：

设，，则

四边形为平行四边形

又    ∴，消去得：

顶点的轨迹方程为

【点睛】

本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略的取值范围.

21．已知函数.

(Ⅰ) 求函数的单调区间；

(Ⅱ) 当时，求函数在上最小值.

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是

【解析】（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．

【详解】

函数的定义域 为．

因为，令，可得；
当时，；当时，，

综上所述：可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为

当，即时，函数在区间上是减函数，
的最小值是

当，即时，函数在区间上是增函数，

的最小值是

当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数．
又，
当时，的最小值是；
当时，的最小值为

综上所述，结论为当时，函数的最小值是；
当时，函数的最小值是.

【点睛】

求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点M对应的参数，射线与曲线交于点．

（1）求曲线，的直角坐标方程；

（2）若点A，B为曲线上的两个点且，求的值．

【答案】（1）．．（2）

【解析】（1）先求解a,b，消去参数，即得曲线的直角坐标方程；再求解，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲线的直角坐标方程；

（2）由于，可设，，代入曲线直角坐标方程，可得的关系，转化，可得解.

【详解】

（1）将及对应的参数，代入

得，即，

所以曲线的方程为，为参数，

所以曲线的直角坐标方程为．

设圆的半径为R，由题意，圆的极坐标方程为

（或），

将点代入，得，即，

所以曲线的极坐标方程为，

所以曲线的直角坐标方程为．

（2）由于，故可设，

代入曲线直角坐标方程，

可得，，

所以

．

【点睛】

本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

23．

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为；

(Ⅱ)由题意可得面积函数为为，求解不等式可得实数a的取值范围为

试题解析：

（I）当时，化为，

      当时，不等式化为，无解；

      当时，不等式化为，解得；

      当时，不等式化为，解得．

      所以的解集为．

（II）由题设可得，

       所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为．

       由题设得，故．

       所以a的取值范围为