2020届江苏省如东高级中学高三10月调研数学文试题
展开如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试
数 学 文 试 卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1. 设集合，，则 ▲ .
2. 函数的定义域是 ▲ .
3. 命题“”的否定是 ▲ .
4. 已知，且，则 ▲ .
5. 若直线：()与直线：的距离为，则 ▲ .
6. 已知函数，若函数是偶函数，则 ▲ .
7. 设函数若f(a)>a，则实数a的取值范围为 ▲ .
8. 定义在上的奇函数满足：当时，，则在上方程的实根个数为 ▲ .
9. 若是不等式成立的充分不必要条件,则实数的范围是 ▲ .
10. 已知直线的方程是，是直线上的两点，且是正三角形（为坐标原点），则外接圆的方程是 ▲ .
11. 在平面直角坐标系中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是 ▲ .
12. 在三角形中，，，若对任意的恒成立，则角的取值范围为 ▲ .
13. 已知函数，记为函数图像上的点到直线的距离的最大值，那么的最小值为 ▲ .
14. 若存在，使得关于的方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是 ▲ .
二、解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，，求函数的单调递增区间．
16. (本小题满分14分)
在中，， ．
（1）求三边的平方和；
（2）当的面积最大时，求的值．
17．(本小题满分14分)
已知直线： ().
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．
- (本小题满分16分)
如图,某市有一条东西走向的公路，现欲经过公路上的处铺设一条南北走向的公路.在施工过程中发现在处的正北方向1百米的处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路，，欲再新建一条公路，点分别在公路，上（点分别在点的正东、正北方向），且要求与圆相切.
（1） 当点距处2百米时，求的长；
（2）当公路的长最短时, 求的长
19．(本小题满分16分)
已知，函数的图象与轴相切．
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间；
（3）当时，恒有，求实数的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知函数f (x)＝xlnx－x．
（1）设g (x)＝f (x)＋|x－a|，a∈R．e为自然对数的底数．
①当a＝－时，判断函数g (x)零点的个数；
②当x [，e]时，求函数g (x)的最小值．
（2）设0＜m＜n＜1，求证：f (n)＋＜0．
如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试
数学参考答案
一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. (-∞，-1)
8. 3 9. 10. 11. 5 12. 13. 14.
二、解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）， ……………4分
的最小正周期． ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ……………8分
故，得，
结合单调递增得， ……………10分
， ……………12分
，函数的单调递增区间为． ……………14分
- (本小题满分14分)
解：（Ⅰ）（1）因为，所以． ……………2分
在中，由余弦定理得：，
即，于是， ……………4分
故为定值． ……………6分
（2）由（1）知：，
所以，当且仅当时取“=”号， ……………8分
因为，所以，
从而． ……………10分
的面积，
， ……………12分
当且仅当时取“=”号．
因为，所以当时，，
故． ……………14分
- 解:(1)证明：∵直线的方程可化为， ……………2分
令，解得：， ……………4分
∴无论取何值，直线总经过定点. ……………6分
(2)解：由题意可知，再由的方程，得，．
依题意得：，解得． ……………8分
∵，……10分
当且仅当 ，即，取“＝” ……………12分
∴，此时直线的方程为． ……………14分
18. 解：以为原点，直线、分别为轴建立平面直角坐标系．
设与圆相切于点，连结，以百米为单位长度，则圆的方程为，
……………2分
(1)由题意可设直线的方程为，即，，
与圆相切，∴，解得， ……………4分
故当距处百米时，的长为百米． ……………6分
（2）设直线的方程为，即，，
∵与圆相切，∴，化简得，则，
……………9分
令，∴ ，…11分
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增， …………13分
∴在时取得最小值，故当公路长最短时，的长为百米．…14分
答：（1)当距处百米时，的长为百米；
（2）当公路长最短时，的长为百米 ……………16分
19. 解：（1），设切点为，依题意，即解得 所以． ……………4分
(2)当时，；当时，．故的单调递减区间为，单调递增区间为． ……………6分
（3）令，．
则，令，则，
（ⅰ）若，因为当时，，，所以，所以即在上单调递增． ……………8分
又因为，所以当时，，从而在上单调递增，而，所以，即成立． ……………10分
（ⅱ）若，可得在上单调递增．
因为，，……………12分
所以存在，使得，且当时，，
所以即在上单调递减，
又因为，所以当时，，
从而在上单调递减，
而，所以当时，，即不成立
综上所述，的取值范围是 ……………16分
20. 解：（1）①当a＝－时，g (x)＝xlnx－x＋|x＋|＝xlnx＋，
g′(x)＝1＋lnx，
当0＜x＜时，g′(x)＜0；当x＞时，g′(x)＞0；
因此g (x)在 (0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
又g ()＝－＝＞0，g ()＝－＋＝＜0，g (1)＝＞0，
所以g (x)有且仅有两个零点． ……………2分
②（i）当a≤时，g (x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，
因为x∈[，e]，g′(x)＝1＋lnx≥0恒成立，
所以g (x)在[，e]上单调递增，所以此时g (x)的最小值为g ()＝－－a．……………4分
（ii）当a≥e时，g (x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，
因为x∈[，e]，g′(x)＝lnx－1≤0恒成立，
所以g (x)在[，e]上单调递减，所以此时g (x)的最小值为g (e)＝a－e．……………6分
（iii）当＜a＜e时，
若≤x≤a，则g (x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，
若a≤x≤e，则g (x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，
由（i），（ii）知g (x)在[，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，
所以此时g (x)的最小值为g (a)＝alna－a， ……………8分
综上有：当a≤时，g (x)的最小值为－－a；
当＜a＜e时，g (x)的最小值为alna－a；
当a≥e时，g (x)的最小值为a－e． ……………10分
（2）设h(x)＝，
则当x∈(0，1)时，h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)单调递增，
又0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，
从而有f (n)＋＜f (n)＋h(n)＝n(lnn－1＋) ……………12分
设φ(x)＝lnx－1＋，x＞0
则φ′(x)＝－＝≥0，
因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为0＜n＜1，所以φ(n)＜φ(1)＝0，即lnn－1＋＜0，
因此f (n)＋＜n(lnn－1＋)＜0，
即原不等式得证． ……………16分
