2020届江苏省如东高级中学高三10月调研数学文试题

如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试数 学 文 试 卷       一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1. 设集合，，则    ▲    . 2. 函数的定义域是    ▲    .3. 命题“”的否定是    ▲    .4. 已知，且，则    ▲    .5. 若直线：()与直线：的距离为，则    ▲    .6. 已知函数，若函数是偶函数，则    ▲    .7. 设函数若f(a)>a，则实数a的取值范围为    ▲    .8. 定义在上的奇函数满足：当时，，则在上方程的实根个数为    ▲    . 9. 若是不等式成立的充分不必要条件,则实数的范围是    ▲    .10. 已知直线的方程是，是直线上的两点，且是正三角形（为坐标原点），则外接圆的方程是    ▲    .11. 在平面直角坐标系中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是    ▲   .12. 在三角形中，，，若对任意的恒成立，则角的取值范围为    ▲    .13. 已知函数，记为函数图像上的点到直线的距离的最大值，那么的最小值为    ▲    .14. 若存在，使得关于的方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是    ▲    . 二、解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，，求函数的单调递增区间．    16.  (本小题满分14分)在中，， ．（1）求三边的平方和；（2）当的面积最大时，求的值．  17．(本小题满分14分)已知直线： ().（1）证明：直线过定点；（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．             (本小题满分16分)如图,某市有一条东西走向的公路，现欲经过公路上的处铺设一条南北走向的公路.在施工过程中发现在处的正北方向1百米的处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路，，欲再新建一条公路，点分别在公路，上（点分别在点的正东、正北方向），且要求与圆相切.（1） 当点距处2百米时，求的长；（2）当公路的长最短时, 求的长          19．(本小题满分16分)已知，函数的图象与轴相切．（1）求实数的值；（2）求的单调区间；（3）当时，恒有，求实数的取值范围．             20.  (本小题满分16分)已知函数f (x)＝xlnx－x．（1）设g (x)＝f (x)＋|x－a|，a∈R．e为自然对数的底数．①当a＝－时，判断函数g (x)零点的个数；②当x [，e]时，求函数g (x)的最小值． （2）设0＜m＜n＜1，求证：f (n)＋＜0．                     如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试数学参考答案一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.      2.    3.    4.   5. 6. 7. (-∞，-1) 8. 3   9. 10. 11.  5  12.   13. 14. 二、解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)解：（Ⅰ），                      ……………4分的最小正周期．                              ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，            ……………8分        故，得，        结合单调递增得，   ……………10分       ，                              ……………12分，函数的单调递增区间为．          ……………14分  (本小题满分14分)解：（Ⅰ）（1）因为，所以．              ……………2分在中，由余弦定理得：，    即，于是，                       ……………4分故为定值．                               ……………6分（2）由（1）知：，所以，当且仅当时取“=”号，         ……………8分因为，所以，从而．                             ……………10分的面积，，                                 ……………12分当且仅当时取“=”号．因为，所以当时，，故．                                         ……………14分 解:(1)证明：∵直线的方程可化为，              ……………2分令，解得：，                                ……………4分　　　　∴无论取何值，直线总经过定点.                        ……………6分 (2)解：由题意可知，再由的方程，得，．依题意得：，解得．                                ……………8分∵，……10分当且仅当  ，即，取“＝”                            ……………12分∴，此时直线的方程为．                        ……………14分18. 解：以为原点，直线、分别为轴建立平面直角坐标系．设与圆相切于点，连结，以百米为单位长度，则圆的方程为，……………2分(1)由题意可设直线的方程为，即，，与圆相切，∴，解得，                       ……………4分故当距处百米时，的长为百米．                          ……………6分（2）设直线的方程为，即，，∵与圆相切，∴，化简得，则，……………9分令，∴ ，…11分当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，           …………13分 ∴在时取得最小值，故当公路长最短时，的长为百米．…14分 答：（1)当距处百米时，的长为百米；（2）当公路长最短时，的长为百米                      ……………16分 19. 解：（1），设切点为，依题意，即解得 所以．                                              ……………4分(2)当时，；当时，．故的单调递减区间为，单调递增区间为．                                                    ……………6分 （3）令，．则，令，则，（ⅰ）若，因为当时，，，所以，所以即在上单调递增．                                                     ……………8分 又因为，所以当时，，从而在上单调递增，而，所以，即成立．                               ……………10分（ⅱ）若，可得在上单调递增．因为，，……………12分所以存在，使得，且当时，，所以即在上单调递减，又因为，所以当时，，从而在上单调递减，而，所以当时，，即不成立综上所述，的取值范围是                                  ……………16分20. 解：（1）①当a＝－时，g (x)＝xlnx－x＋|x＋|＝xlnx＋，g′(x)＝1＋lnx，当0＜x＜时，g′(x)＜0；当x＞时，g′(x)＞0；因此g (x)在 (0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，                又g ()＝－＝＞0，g ()＝－＋＝＜0，g (1)＝＞0，所以g (x)有且仅有两个零点．                                   ……………2分 ②（i）当a≤时，g (x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，     因为x∈[，e]，g′(x)＝1＋lnx≥0恒成立，所以g (x)在[，e]上单调递增，所以此时g (x)的最小值为g ()＝－－a．……………4分（ii）当a≥e时，g (x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，因为x∈[，e]，g′(x)＝lnx－1≤0恒成立，所以g (x)在[，e]上单调递减，所以此时g (x)的最小值为g (e)＝a－e．……………6分（iii）当＜a＜e时，若≤x≤a，则g (x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，若a≤x≤e，则g (x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，由（i），（ii）知g (x)在[，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，所以此时g (x)的最小值为g (a)＝alna－a，                       ……………8分综上有：当a≤时，g (x)的最小值为－－a；当＜a＜e时，g (x)的最小值为alna－a；                  当a≥e时，g (x)的最小值为a－e．                             ……………10分（2）设h(x)＝，则当x∈(0，1)时，h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)单调递增，又0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，从而有f (n)＋＜f (n)＋h(n)＝n(lnn－1＋)              ……………12分设φ(x)＝lnx－1＋，x＞0 则φ′(x)＝－＝≥0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为0＜n＜1，所以φ(n)＜φ(1)＝0，即lnn－1＋＜0，因此f (n)＋＜n(lnn－1＋)＜0，即原不等式得证．                                       ……………16分