2020届江苏省南通一中高三上学期第一次调研数学试题（解析版）

2020届江苏省南通一中高三上学期第一次调研数学试题



一、填空题
1．设集合，，则使成立的的值是______.
【答案】
【解析】根据可得出，解出该方程即可.
【详解】
，且，，，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用交集的结果求参数，考查计算能力，属于基础题.
2．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________．
【答案】＝1.
【解析】椭圆的焦距为4，所以2c＝4，c＝2因为准线为x＝－4，所以椭圆的焦点在x轴上，且－＝－4，所以a2＝4c＝8，b2＝a2－c2＝8－4＝4，所以椭圆的方程为＝1.
3．已知命题,若命题是假命题，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果
【详解】
因为命题是假命题，所以为真
所以
【点睛】
本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．已知 中，，则 的大小为________．
【答案】
【解析】依题意：＝－，即tan(A＋B)＝－，
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝π－A－B＝.
5．在直角坐标系中，点的坐标满足：，则的最大值为______.
【答案】
【解析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出最优解，代入目标函数计算即可得出结果.
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

设，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合找出最优解是解决本题的关键，属于基础题.
6．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=0，在（﹣∞，0）内也是增函数
∴=＜0，即或
根据在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数,解得：x∈（﹣1，0）∪（0，1）
点睛: 根据函数为奇函数求出f（1）=0，再将不等式x f（x）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．
7．若，且，则与的夹角是____．
【答案】
【解析】由得 ，再利用平面向量数量积公式求解即可.
【详解】
由得，即，
，∴，∴，
故答案为.
【点睛】
本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于基础题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
8．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则______.
【答案】
【解析】化简函数的解析式，并利用函数图象变换求得函数的解析式，进而计算可得出的值.
【详解】
，
将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
则，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数值的计算，利用图象变换求出函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
9．已知实数满足,则的最小值为__________．
【答案】
【解析】将所求的指数式化简，运用均值不等式求解.
【详解】
,当且仅当时取等号.
【点睛】
本题考查指数运算和均值不等式，属于基础题.
10．已知为的三个内角A，B，C的对边，向量，．若，且，则B=
【答案】
【解析】根据得，再利用正弦定理得，化简得出角的大小。再根据三角形内角和即可得B.
【详解】
根据题意,
由正弦定理可得




则
所以答案为。
【点睛】
本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用,属于基础题。
11．在中，是边上的中线，，若，则_____
【答案】
【解析】先设，根据余弦定理得到，，进而可判断出结果.
【详解】
设，则，
在中，

所以，，
在中，
，
所以，，
而，
所以，三角形为等边三角形，
所以，.

【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.
12．已知，且，则______.
【答案】
【解析】利用将条件整理可得从而可得解.
【详解】
，

，


【点睛】
本题主要考查了三角函数的两角和差的展开公式，解题的关键是配凑出“”，属于难题.
13．如图，在直角梯形中，，若分别是边上的动点，满足，其中，若，则的值为__________．

【答案】
【解析】根据向量的运算，求得，，又由，化简得到，再由，即可求解，得到答案．
【详解】
由图可知，向量，，
又，所以，
所以,
又，可得，
又由，解得，
故答案为：．

【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算及性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及利用向量的数量积的运算公式和向量的投影的定义，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
14．已知圆，为圆上的两个动点，且，为弦的中点.直线上有两个动点，且.当在圆上运动时， 恒为锐角，则线段中点的横坐标取值范围为________．
【答案】
【解析】由已知可得，在以为圆心，以2为半径的圆上， 把在圆上运动恒为锐角转化为以为圆心，以2为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆外离求解.
【详解】
圆的半径为为弦的中点，
，的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
设中点为，
，且当在圆上运动时，恒为锐角，
则以为圆心以2为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆外离，
则，即，解得或，
线段中点的横坐标取值范围为，
故答案为.
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、圆与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为圆与圆的位置关系是解题的关键.

二、解答题
15．已知向量.
（1）求的值；
（2）若，且，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）对等式进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；
（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出的值，再由同角三角函数关系式结合的值求出的值，最后利用两角和的正弦公式求出的值即可.
【详解】
（1）
；
（2）因为，所以，而，
所以，因为，，所以
.
因此有.
【点睛】
本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.
16．已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）设的内角、、所对的边分别为、、，若向量与向量共线，且，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数在区间上的值域；
（2）由得出，进而得出，由求得角的值，再利用余弦定理可求得的值.
【详解】
（1），
因为，所以，故，
从而，
所以，函数在区间上的值域为；
（2）由，得，
因为，所以，故，即.
又由向量与向量共线，得，
由正弦定理得，①
由余弦定理得，，即，
故②，由①②解得.
【点睛】
本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形边长的计算，涉及余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于中等题.
17．已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；
（3）若， 是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由，则点到边的距离为，由点到线的距离公式得直线的斜率；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设，则圆的圆心为运用直径式圆的方程，得直线的方程为，结合直线系方程，即可得到所求定点．
【详解】
（1）设点的坐标为
由可得，，
整理可得
所以曲线的轨迹方程为.
（2）依题意，，且，则点到边的距离为
即点到直线的距离，解得
所以直线的斜率为.
（3）依题意，，则都在以为直径的圆上
是直线上的动点，设
则圆的圆心为，且经过坐标原点
即圆的方程为 ，
又因为在曲线上
由，可得
即直线的方程为
由且可得，解得
所以直线是过定点.
【点睛】
本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18．如城某观光区的平面示意图如图所示，其中矩形的长千米，宽千米，半圆的圆心为中点.为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧、线段、组成的观光道路.其中线段经过圆心，且点在线段上（不含线段端点、）.已知道路、的造价为元每千米，道路造价为元每千米，设，观光道路的总造价为.

（1）试求与的函数关系式：；
（2）当为何值时，观光道路的总造价最小.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可知，过点作，垂足为，则，求出、，即可求出与的函数关系式；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出当为何值时，观光道路的总造价最小．
【详解】
（1）由题意可知，过点作，垂足为，则，
则，，
；

（2）
令，即，解得，列表如下：










极大值



所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因此，当时，观光道路的总造价最小.
【点睛】
本题考查三角函数知识，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键.
19．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，线段的长为4.点在椭圆上且位于第一象限，过点，分别作，，直线，交于点.

（1）若点的横坐标为-1，求点的坐标；
（2）直线与椭圆的另一交点为，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)先求出椭圆的方程，设直线的方程为.分别表示出直线与的方程，联立方程组，求出点的坐标,利用点的横坐标为，求出，进而可求出点的坐标；(2 )联立消去，整理得，求得.由，可得 ,结合即可求出的取值范围.
【详解】
（1）设直线的斜率为，，
由题意得，，
所以，，，
所以椭圆的方程为.
因为点在椭圆上，且位于第一象限，
所以，，直线的方程为.
因为，
所以，
所以直线的方程为.
联立，解得，
即.
因为，所以，
则直线的方程为.
因为，所以.
则直线的方程为.
联立，解得，
即.
因为点的横坐标为-1，
所以，解得.
因为，
所以.将代入可得，
点的坐标为.
（2）设，，又直线的方程为.
联立消去，整理得，
所以，
解得.
因为，
所以 .
因为，
所以.
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系以及求范围问题，属于难题. 解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
20．对于两个定义域均为D的函数f（x），g（x），若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f（x）－g（x）|≤M，则称M为函数f（x），g（x）的“差距”，并记作||f（x），g（x）||．
（1）求f（x）＝sinx（x∈R），g（x）＝cosx（x∈R）的差距；
（2）设f（x）＝ （x∈[1, ]），g（x）＝mlnx （x∈[1, ]）．（e≈2.718）
①若m＝2，且||f（x），g（x）||＝1，求满足条件的最大正整数a；
②若a＝2，且||f（x），g（x）||＝2，求实数m的取值范围．
【答案】（1） （2） ①3．②{－2，＋2}．
【解析】试题分析：（1）由定义知求|sinx－cosx|最大值，根据三角函数配角公式得|sinx－cosx|＝|sin（x－）|≤ ，所以差距为 （2） ①根据定义先研究函数h（x）＝f（x）－g（x）＝－2lnx单调性：（0,16）上单调减，（16,＋∞）上单调增，因为h（1）＝1，所以h（）－1，因此②由定义得－mlnx|≤2恒成立，利用变量分离法得对x∈（1，e]恒成立，分别利用导数求函数w（x）＝最小值及函数v（x）＝最大值即可
试题解析：（1）|f（x）－g（x）|＝|sinx－cosx|＝|sin（x－）|≤，当x＝kπ＋，k∈Z时取“＝”，所以||f（x），g（x）||＝（4分）
（2）①令h（x）＝f（x）－g（x）＝－2lnx．则h′（x）＝，令h′（x）＝0，则x＝16．列表：
x
（0,16）
16
（16,＋∞）
h′（x）
－
0
＋
h（x）
↘

↗




∵h（1）＝1；当a＝3时，h（）＝－3，由于＞16，因此＞2，所以－3＞－1；
当a＝4时，h（）＝e－4＜－1，故满足条件的最大正整数为3．
②法一：由a＝2，且||f（x），g（x）||＝2，得|f（x）－g（x）|≤2，从而|－mlnx|≤2，所以－2≤－mlnx≤2．
当x＝1时，上式显然成立；
当x∈（1，e]时，上式化为
令w（x）＝，则w′（x）＝＜0，
从而w（x）在（1，e]上递减，从而w（x）min＝w（e）＝＋2，从而m≤＋2；
令v（x）＝，则v′（x）＝＞0，
从而v（x）在（1，e]上递增，从而v（x）max＝v（e）＝－2，从而m≥－2，
所以－2≤m≤＋2
又由于||f（x），g（x）||＝2，故m＝－2或m＝＋2，所以m的取值范围为{－2，＋2}．（16分）
法二：令h（x）＝f（x）－g（x）＝－mlnx，则h′（x）＝．
（1）若m≤，则h′（x）≥0，从而h（x）在[1,e]上递增，又h（1）＝1，h（e）＝－m，所以－m＝2，m＝－2；
（ii）若m≥，则h′（x）≤0，从而h（x）在[1,e]上递减，又h（1）＝1，h（e）＝－m，所以－m＝－2，m＝－2；
（iii）若＜m＜，则由h′（x）＝0，可得x＝4m2，列表
x
1
（1, 4m2）
4m2
（4m2,e）
e
h′（x）

－
0
＋

h（x）
1
↘
2m－mln（4m2）
↗
－m
因为－m＜－＜2，所以2m－mln（4m2）＝－2，．
令u（m）＝2m－mln（4m2）＝m（2－ln4）－2mlnm
∴u′（m）＝2－ln4－2－2lnm＝－ln4－2lnm＝－2 ln2m＜0，
∴u（m）＞u（）＝－＝，故该情况不成立．
综上，m的取值范围是{－2，＋2}．
【考点】新定义，利用导数研究函数单调性，利用导数研究不等式恒成立
【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.
21．矩阵与变换:变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.
【答案】
【解析】旋转变换矩阵，求出，设是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是，得到，即得解.
【详解】
旋转变换矩阵
记
设是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是，
面积，也就是，即，
代入，得，
所以所求曲线的方程是
【点睛】
本题主要考查矩阵和变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆经过极点，且其圆心的极坐标为.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若射线分别与圆和直线交于点，（点异于坐标原点），求线段的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)将圆心极坐标转化为直角坐标，可得圆是以为圆心，半径为2的圆，写出标准方程，，再转化成极坐标方程即可
（2）将代入可求得，再根据直线的参数方程进行消参，得到普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，算出，可求得答案
【详解】
解：（1）圆是以为圆心，半径为2的圆.
其方程是，即，
可得其极坐标方程为，即；
（2）将代入得，
直线的普通方程为，
其极坐标方程是，
将代入得，
故.
【点睛】
对于圆的普通方程和参数方程及极坐标方程，应熟练掌握，平时应熟记四种极坐标方程及对应的普通方程：，做题时才能游刃有余，本题第二问巧妙地运用了极径来求解长度问题，体现了极坐标处理解析几何问题的优越性
23．袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字.
（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）求随机变量的分布列和期望.
【答案】（1）；（2）的分布列见解析；期望是
【解析】（1）先计算出一次取出的个小球上有两个数字相同的概率，然后用减去这个概率，求得取出的3个小球上的数字互不相同的概率.（2）所有可能的取值为：2，3，4，5，根据分类加法计数原理和古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
解:（1）一次取出的个小球上的数字互不相同的事件记为
则为一次取出的个小球上有两个数字相同
∴
（2）由题意可知所有可能的取值为：2，3，4，5
；；
；
∴的分布列为：

2
3
4
5







则
答：随机变量的期望是
【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算，考查利用对立事件的方法计算概率，考查分类加法计数原理，考查离散型随机变量分布列和期望的求法，属于中档题.
24．如图，已知F是抛物线C：的焦点，过E(﹣l，0)的直线与抛物线分別交于A，B两点（点A，B在x轴的上方）．

（1）设直线AF，BF的斜率分別为，，证明：；
（2）若ABF的面积为4，求直线的方程．
【答案】(1)见解析；(2).
【解析】（1）设直线的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程利用韦达定理可得.
（2）S△ABF＝S△EFB﹣S△EFA＝|y1﹣y2|＝．解得m即可．
【详解】
（1）当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立抛物线方程可得得y2﹣4my+4＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝4
∴.
（2）S△ABF＝S△EFB﹣S△EFA＝|y1﹣y2|＝．
解得m＝（负值舍去）．
∴直线的方程为：．
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．