2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次调研考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷

数学理科

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1.已知集合，，则_____.

答案：

解：因为，，所以

2.已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为_______.

答案：

解：，则

3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______.

答案：40

解：

4.根据如图所示的伪代码，输出的的值为______.

答案：11

解：模拟演示：

此时输出

5.已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，则的值为____.

答案：1

解：由题意得：，则，整理得，所以

6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___.

答案：

解：

7.在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为____.

答案：

解：

8.已知函数，若当时，函数取得最大值，则的最小值为_____.

答案：5

解：由题意得：，，则，，因为，所以当时取得最小值，即

9.已知函数是奇函数，若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____.

答案：

10.在平面直角坐标系中,已知点分别在双曲线的两条渐近线上,且双曲线C经过线段AB的中点，若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为_____.

答案：

11.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍.

答案：1000

12.已知的面积为3，且，若，则的最小值为_____.

13.在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于两点，若圆上存在点，使得为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为____.

14.已知函数，若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点.

求证：（1）平面；

（2）平面平面.

16.（本小题满分14分）

在中，已知，，.

（1）求的值.

（2）求的值.

17.（本小题满分14分）

如图,在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为4，两条准线间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。
(1)求椭圆E的标准方程:
(2)已知图中四边形ABCD是矩形，且BC=4，点M,N分别在边BC,CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P.
①若M,N分别是BC,CD的中点，证明:点P在椭圆E上;
②若点P在椭圆E上，证明: 为定值，并求出该定值.

18.（本小题满分16分）

在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图,小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标,他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且顺次连结A,A1,B,B1,C,C1,A,得到六边形徽标AA1BB1CC1.
(1)当时,求六边形徽标的面积；
(2)求六边形微标的周长的最大值.

19.（本小题满分16分）

已知数列满足：，且当时，.

（1）若，证明：数列是等差数列；

（2）若.

①设，求数列的通项公式；

②设，证明：对于任意的，当，都有.

20.（本小题满分16分）

设函数，其中为自然对数的底数.

（1）当时，求函数的单调减区间；

（2）已知函数的导函数有三个零点.

①求的取值范围；

②若是函数的两个零点，证明：.

附加题（40分）

21．【选做题】本题包含A、B、C小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）

已知，向量是矩阵 的属于特征值3的一个特征向量.

（1）求矩阵A；

（2）若点在矩阵A对应的变换作用下得到点，求点的坐标.

B．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），椭圆的参数方程为（为参数），求椭圆上的点到直线的距离的最大值.

C．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）

已知都是正实数，且.

证明：（1）；   （2）.

第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

如图，在直四棱柱中，，，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长.

23.（本小题满分10分）

一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.

（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；

（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量，求的数学期望（用表示）.