2020届江苏省镇江一中、大港、南三等八校高三上学期调研数学试题（解析版）
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一、填空题
1．已知集合，，则________.
【答案】
【解析】由集合的基本运算即可求解.
【详解】
因为，，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的基本运算，比较基础。
2．是虚数单位，复数________.
【答案】
【解析】根据复数的化简：“分母实数化”即可求解
【详解】
【点睛】
本题考查复数的基本运算，属于基础题。
3．如图伪代码的输出结果为________.
【答案】11
【解析】根据程序语句，找出判断语句：若满足，则执行下一步；否则输出S
【详解】
读程序图可知
【点睛】
本题主要考查程序语句，解答本题的关键是读懂程序。
4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示，若在中的频数为100，则值为________.
【答案】1000
【解析】首先由频率分布直方图求出中的频率，再由频率等于频数除以样本总数即可求出。
【详解】
由频率分布直方图可知在之间的频率为，
又因为，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查频率分布直方图，掌握住频率分布直方图中频率=小矩形的面积，比较基础。
5．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．
【答案】
【解析】【详解】
由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为.
点睛：此题主要考查有关计数原理、古典概型概率的计算等有关方面的知识和运算技能，属于中低档题型，也是高频考点.在计算古典概型中任意一随机事件发生的概率时，关键是要找出该试验的基本事件总数和导致事件发生的基本事件数，在不同情况下基本事件数的计算可能涉及排列、组合数的计算和使用分类计数、分步计数原理.
6．已知是第三象限角，其终边上一点，且，则的值为________.
【答案】-2
【解析】由三角函数的定义即可求解。
【详解】
因为 ，所以，
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数的定义，在求解中注意所在的象限。
7．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移个单位，最后所得到的图象对应的解析式是 ．
【答案】
【解析】直接利用三角函数的图像的变换解答得解.
【详解】
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到，
再将所得的函数图象向左平移个单位，
得到.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查三角函数图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
8．已知函数满足，则________.
【答案】7
【解析】根据分段函数的特征，讨论值所在的区间，代入相应解析式即可求解。
【详解】
当时，， 且满足，即；
当时，，，不满足，故（舍去）。
故答案为：
【点睛】
本题主要考查分段函数求值，注意求的值在所讨论的区间内，不满足的需舍去。
9．已知实数，满足，则最大值为________.
【答案】
【解析】把方程利用基本不等式转化为含的不等式，解不等式即可。
【详解】
，，
又，，
当且仅当时，等号成立， 即，
，所以，
又因为均为正实数，所以，所以，
即的最大值为。
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，运用基本不等式时注意“一正、二定、三相等”。
10．已知，且，则________.
【答案】
【解析】首先把式子中的角化为同角，利用同角三角函数的基本关系化为
，再由二倍角公式化简即可。
【详解】
又因为，所以，
因为，所以，即，
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数化简，需灵活运用公式。
11．直角中，点为斜边中点，，，，则________.
【答案】14
【解析】建立直角坐标系，写出点的坐标；由向量的坐标运算即可求解。
【详解】
解：以为坐标原点，，分别为，轴的正半轴，建立直角坐标系
∵，∴，
∵为中点∴
令，则∴
∵
∴
∴
∴，
∴.
【点睛】
本题考查求向量数量积，把平面几何问题转化代数运算，体现了数学中“数”与“形”结合的解题技巧。
12．已知奇函数满足，若当时且，，则实数________.
【答案】
【解析】根据奇偶性和对称性求出函数的周期为4，利用周期求出，
把代入求解即可。
【详解】
解：∵是奇函数∴∴
∵∴
∴∴
即：
∴的周期为4
∴
∵为奇函数∴∴
∵
∴∴
∵∴
∵当时，
∴
∵
∴∴∴.
【点睛】
本题考查用函数的周期性求值，难度适中。
13．已知，函数，（为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线和均相切，则最大值是________.
【答案】
【解析】首先利用导数求曲线的切线方程，因为切线相同，可求出的表达式，然后利用导数研究的表达式的单调性，再求最值即可。
【详解】
解：设上的切点
∴，则
∴切线：
即：
设上的切点
∴，则
∴切线：
即：
∵相同的切线
∴
∴
∴
令
显然，是的根
记，则
∵，∴
∴，∴单调递减
即：单调递减
∴是方程的唯一根
∴当时，，则单调递增
当时，，则单调递减
∴当时，
即：的最大值是.
【点睛】
本题考查导数在求函数最值的应用，同时也要求较高的计算能力，难度一般。
14．若关于的方程有且仅有3个不同实数解，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】把方程根的个数转化为函数交点个数，利用数形结合的思想即可求的取值范围。
【详解】
解：∵
∴
令，∴------（）
令
∴
①当时，
∴当时，，单调递增
当时，，单调递减
②当时，
∴，则单调递增
画出的图像如下
由原方程有3个不同实根，知
（）方程一根在之间，另一根在之间
或（）方程在上有两个相等的实根
或（）方程一根为，另一个根为0
或（）方程一根为，另一根大于
令
由得：
由得：且此时满足（）方程在上
由得： 此时无解
由得： 此时无解
故、均不成立。
综上：.
【点睛】
本题考查数形结合思想在解题中的应用，难度一般。
二、解答题
15．已知集合，
（1）求集合；
（2）若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)在函数有意义的条件下，解一元二次不等式、绝对值不等式即可。
（2）从集合的角度理解充分不必要条件，再由集合的包含关系求解即可。
【详解】
解：（1）∵
∴，则
∴，∴.
（2）∵
∴由可得：或
∴或
∴或
∵：，：，
且是的充分不必要条件
∴或
∴或
∴实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查不等式的解法以及充分条件与必要条件，属于基础题。
16．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，且，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）由线面平行的判定定理即可证明。
（2）由线面垂直的判断定理即可证明。
【详解】
证明：（1）取中点，连接，
∵在中，点，分别是，中点
∴，且
∵，
∴且
∴四边形为平行四边形
∴
∵平面，平面
∴平面.
（2）∵底面，平面
∴
∵，∴
又∴，平面，
平面
∴平面
∵平面
∴
∵在中，，为的中点
∴
∵，平面，
平面
∴平面.
【点睛】
本题考查了立体几何中线面平行、线面垂直的证明；
（1）要证线面平行，需先证线线平行。
（2）要证线面垂直，先证线线垂直，同时注意是平面两条相交直线。
17．在中，角、、的对边分别为，，，已知.
（1）若，求的面积；
（2）设向量，，且，，求的值
【答案】（1）3（2）.
【解析】（1）由向量的数量积与三角形的面积公式即可求解。
（2）由共线向量的坐标运算及正弦定理即可求解。
【详解】
（1）∵，
∴
∴
∵在中，且
∴
∴.
（2）∵，
且
∴
∴
又∵
∴
∴
∵在中，
∴，则
∵在中，
∴
又∵且由正弦定理
∴
∴.
【点睛】
本题考查向量的运算及解三角形，属于基础题。
18．梯形顶点在以为直径的圆上，米.
（1）如图1，若电热丝由这三部分组成，在上每米可辐射1单位热量，在上每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；
（2）如图2，若电热丝由弧和弦这三部分组成，在弧上每米可辐射1单位热量，在弦上每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝辐射的总热量最大.
【答案】（1）9单位；（2）米.
【解析】（1）取角为自变量,设∠AOB＝θ，分别表示AB，BC,根据题意得函数8cosθ+8 sin,利用二倍角余弦公式得关于sin二次函数 ,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值（2）取角为自变量,设∠AOB＝θ，利用弧长公式表示,得函数4θ＋8cosθ,利用导数求函数单调性,并确定最值
【详解】
设，则，，
总热量单位
当时，取最大值，
此时米，总热量最大9（单位）.
答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.
（2）总热量单位，，
令，即，，
当时，，为增函数，当时，，为减函数，
当时，，此时米.
答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.
【点睛】
本题考查三角函数的实际应用，同时考查利用二次函数和导数求函数的最值问题.
19．设常数，函数
（1）当时，判断在上单调性，并加以证明；
（2）当时，研究的奇偶性，并说明理由；
（3）当时，若存在区间使得在上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上是单调递增.证明见解析（2）见解析；（3）
【解析】（1）由函数的单调性定义即可证明。
（2）由函数的奇偶性定义即可证明。
（3）首先证明函数的单调性，当时证明函数在上单调递增，即，解关于一元二次方程即可；
同理当时，求出单调区间，当函数是单调递减时，则代入化简即可求解。
【详解】
解：（1）当时，
任取
则
∵
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴
即：
∴在上是单调递增.
（2）①当时，
∵
∴为偶函数
②当时，
，则
当且时，的定义域为
定义域不关于原点对称
∴为非奇非偶函数
当时，，的定义域为
定义域关于原点对称
∴为奇函数.
（3）①当时，定义域为
∵单调递增，∴单调递减
∴在上单调递增
由题意得：
∴
∴，是一元二次方程：
的两个不等的正根
∴
②当时，定义域为
∵当时，的值域为
∴，
当时，
∵单调递增，∴单调递减
∴在上单调递减
∴
∴
∵
∴
∴
综上所述：的取值范围是.
【点睛】
本题考查函数的单调性证明、奇偶性证明及利用单调性求值，属于基础题。
20．设函数（，）.
（1）当时，在上是单调递增函数，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数的单调区间；
（3）对于任意给定的正实数，证明：存在实数，使得
【答案】（1）（2）答案不唯一，见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）利用即可求解。
（2）根据可把解析式化为，然后对函数求导，由于导函数中含有参数，故讨论参数的取值范围，即可求出单调区间。
（3）根据题干只需证明存在，故不妨先证时，，限制，利用不等式中的放缩法即可证出。
【详解】
解：（1）当时，，
∴
∵在上单调递增
∴在上恒成立
∴恒成立，则
∴.
（2）∵
∴
∴
∴
①当时，令，得
的单调递增区间为
的单调递减区间为
②当时，令，得
的单调递增区间为
的单调递减区间为
③当时，令，
得，
当，即时，，∴在上单调递增
当，即时，
的单调递增区间为和；的单调递减区间为
当，即时，的单调递增区间为和；的单调递减区间为.
（3）易证：时，
限制
∴
∴
此时
令
取，则
故得证.
【点睛】
本题考查单调性求参数、求单调区间及不等式的证明，综合性比较强。
21．已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点.
（1）求实数的值；
（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.
【答案】（1）2（2）特征值为－1与3. 特征向量；
【解析】（1）利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数的值
（2）先求矩阵的特征多项式。令，从而可得矩阵的特征值，进而可求特征向量。
【详解】
解：（1）由，∴.
（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为，
令，得矩阵的特征值为－1与3.
当时，，
∴矩阵的属于特征值－1的一个特征向量为；
当时，，
∴矩阵的属于特征值3的一个特征向量为.
【点睛】
本题主要考查考查矩阵的特征值及其对应的特征向量。关键是写出特征多项式，从而求得特征值。
22．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．
【答案】见解析.
【解析】试题分析：直线方程化为普通方程为，圆 化为普通方程为，所以直线与圆相切.
试题解析：
把直线方程化为普通方程为．
将圆 化为普通方程为，
即．
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切.
点睛：本题考查参数方程与极坐标方程的普通方程求解。一般的，我们可以将参数方程和极坐标方程都转化为普通标准方程，因为普通方程才是我们熟悉的方程形式，然后利用普通方程解题即可。
23．已知、、是正实数，求证：
【答案】证明见解析
【解析】构造完全平方式，由完全平方式均是非负数，利用不等式相加即可证明。
【详解】
解：∵
即
即
∴.
【点睛】
本题考查不等式证明，属于不等式中的常见题型。
24．
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
的数学期望
【解析】【详解】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．
试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.
由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.
（II）由题设知（I）知，，，，
可能取值为
故，
，
的分布列为
【考点】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.
25．设是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件：
①,； ②对任意的,都有．
（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求；
（2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求．
【答案】(1)因为对任意的，都有，
所以，；
(2)因为存在，使得，所以或，
设所有这样的为，
不妨设，则（否则）；
同理，若，则，
这说明的值由的值（2或2）确定，
其余的对相邻的数每对的和均为0,∴
．
【解析】略
