2020届全国大联考高三第五次联考数学（理）试题（解析版）

2020届全国大联考高三第五次联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由复数的运算法则计算．

【详解】

因为，所以

故选：A．

【点睛】

本题考查复数的运算．属于简单题．

2．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解分式不等式和一元二次不等式得集合，然后由集合的运算法则计算．

【详解】

依题意，，，故．

故选：B．

【点睛】

本题考查集合的运算．考查解分式不等式和一元二次不等式，掌握集合的运算法则是解题基础．

3．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解．

【详解】

，，

，．

故选：C．

【点睛】

本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则．

4．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了年至年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（    ）

A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长

B．年以来，国家财政性教育经费的支出占比例持续年保持在以上

C．从年至年，中国的总值最少增加万亿

D．从年到年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是年

【答案】C

【解析】观察图表，判断四个选项是否正确．

【详解】

由表易知、、项均正确，年中国为万亿元，年中国为万亿元，则从年至年，中国的总值大约增加万亿，故C项错误．

【点睛】

本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．

5．如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据线面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率．

【详解】

由已知平面，，可得，从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法，而选取的个表面互相垂直的有种情况，故所求事件的概率为．

故选：A．

【点睛】

本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．

6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由程序框图确定程序功能后可得出结论．

【详解】

执行该程序可得．

故选：D．

【点睛】

本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．

7．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．

【详解】

由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，

∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为

．

故选：B．

【点睛】

本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．

8．已知，且，则在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定义计算．

【详解】

由

可得，因为，所以．故在方向上的投影为．

故选：C．

【点睛】

本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．

9．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】D

【解析】根据演绎推理进行判断．

【详解】

由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．

故选：D．

【点睛】

本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．

10．的展开式中，满足的的系数之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，有，，三种情形，用中的系数乘以中的系数，然后相加可得．

【详解】

当时，的展开式中的系数为

．当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为；故满足的的系数之和为．

故选：B．

【点睛】

本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．

11．观察下列各式：，，，，，，，，根据以上规律，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】每个式子的值依次构成一个数列，然后归纳出数列的递推关系后再计算．

【详解】

以及数列的应用根据题设条件，设数字，，，，，，，构成一个数列，可得数列满足，

则，

，．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．

12．已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的零点就是方程的解，设，方程可化为，即或，求出的导数，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出的范围．

【详解】

由题意得有四个大于的不等实根，记，则上述方程转化为，

即，所以或．

因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值，最小值为．因为，所以有两个符合条件的实数解，故在区间上恰有四个不相等的零点，需且．

故选：A．

【点睛】

本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．

二、填空题

13．某大学、、、四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为、、、，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取人调查毕业后的就业情况，则专业应抽取_________人．

【答案】

【解析】求出专业人数在、、、四个专业总人数的比例后可得．

【详解】

由题意、、、四个不同的专业人数的比例为，故专业应抽取的人数为．

故答案为：39．

【点睛】

本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的．

14．“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________．

【答案】

【解析】分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列．

【详解】

第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为．

故答案为：24．

【点睛】

本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．

15．已知“在中，”，类比以上正弦定理，“在三棱锥中，侧棱与平面所成的角为、与平面所成的角为，则________．

【答案】

【解析】类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角．

【详解】

，故，

【点睛】

本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等．

16．已知抛物线的对称轴与准线的交点为，直线与交于，两点，若，则实数__________．

【答案】

【解析】由于直线过抛物线的焦点，因此过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义及平行线性质可得，从而再由抛物线定义可求得直线倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率．注意对称性，问题应该有两解．

【详解】

直线过抛物线的焦点，，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义知，．

因为，所以．因为，

所以，从而．

设直线的倾斜角为，不妨设，如图，则，

，同理，

则，

解得，，由对称性还有满足题意．

，综上，．

【点睛】

本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键．

三、解答题

17．已知的内角，，的对边分别为，，，．

（1）若，证明：．

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）由余弦定理及已知等式得出关系，再由正弦定理可得结论；

（2）由余弦定理和已知条件解得，然后由面积公式计算．

【详解】

解：（1）由余弦定理得，

由得到，由正弦定理得．

因为，，所以．

（2）由题意及余弦定理可知，①

由得，即，②

联立①②解得，．所以．

【点睛】

本题考查利用正余弦定理解三角形．考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边．解题时要注意对条件的分析，确定选用的公式．

18．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．

（1）求证：．

（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）由已知可证明平面，从而得证面面垂直，再由，得线面垂直，从而得，由直角三角形得结论；

（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角．

【详解】

（1）证明：连接，，．

，，平面．

平面，平面平面．

，为的中点，．

平面平面，平面．

平面，．

为斜边的中点，，

（2），由（1）可知，为等腰直角三角形，

则．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，记平面的法向量为

由得到，

取，可得，则．

易知平面的法向量为．

记二面角的平面角为，且由图可知为锐角，

则，所以二面角的余弦值为．

【点睛】

本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角．在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避免空间角的作证过程，通过计算求解．

19．已知函数，，设．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设方程（其中为常数）的两根分别为，，证明：．

（注：是的导函数）

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减．（2）见解析

【解析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；

（2）求出含有参数的，再求出，由的两根是，得，

计算，代入后可得结论．

【详解】

解：，函数的定义域为，

．

（1）当时，，

由得，由得，

故函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：由条件可得，，，

方程的两根分别为，，，且，可得．

．

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识．在可导函数中一般由确定增区间，由确定减区间．

20．第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取户居民进行调查，得到如下的列联表．

已知在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为．

（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；

（2）已知在试点前分类意识强的户居民中，有户自觉垃圾分类在年以上，现在从试点前分类意识强的户居民中，随机选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，求分布列及数学期望．

参考公式：，其中．

下面的临界值表仅供参考

【答案】（1）有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．见解析（2）分布列见解析，期望为1．

【解析】（1）由在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为可得列联表，然后计算后可得结论；

（2）由已知的取值分别为，分别计算概率得分布列，由公式计算出期望．

【详解】

解：（1）根据在抽取的户居民中随机抽取户，到分类意识强的概率为，可得分类意识强的有户，故可得列联表如下：

因为的观测值，

所以有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．

（2）现在从试点前分类意识强的户居民中，选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，则0，1，2，3，

故，，

，，

则的分布列为

．

【点睛】

本题考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和数学期望．考查学生的数据处理能力和运算求解能力．

21．已知椭圆的右顶点为，为上顶点，点为椭圆上一动点．

（1）若，求直线与轴的交点坐标；

（2）设为椭圆的右焦点，过点与轴垂直的直线为，的中点为，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线与直线的交点在椭圆上．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）直接求出直线方程，与椭圆方程联立求出点坐标，从而可得直线方程，得其与轴交点坐标；

（2）设，则，求出直线和的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分和说明．

【详解】

解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，

（1）由题知，，则．因为，所以，

则直线的方程为，联立，可得

故．则，直线的方程为．令，

得，故直线与轴的交点坐标为．

（2）证明：因为，，所以．设点，则．

设

当时，设，则，此时直线与轴垂直，

其直线方程为，

直线的方程为，即．

在方程中，令，得，得交点为，显然在椭圆上．

同理当时，交点也在椭圆上．

当时，可设直线的方程为，即．

直线的方程为，联立方程，

消去得，化简并解得．

将代入中，化简得．

所以两直线的交点为．

因为

，

又因为，所以，

则，

所以点在椭圆上．

综上所述，直线与直线的交点在椭圆上．

【点睛】

本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．

22．某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损元，优等品每件盈利元，特优品每件盈利元，以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对该企业近年的年营销费用和年销售量，数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．

表中，，，．

根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程．

①求关于的回归方程；

②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益销售利润营销费用，取）

附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【答案】（1）元．（2）①②万元

【解析】（1）每件产品的销售利润为，由已知可得的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从而可得的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；

（2）①对取自然对数，得，

令，，，则，这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程，从而可求得；

②求出收益，可设换元后用导数求出最大值．

【详解】

解：（1）设每件产品的销售利润为，则的可能取值为，，．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为、、．

所以；；．所以的分布列为

所以（元）．

即每件产品的平均销售利润为元．

（2）①由，得，

令，，，则，

由表中数据可得，

则，

所以，即，

因为取，所以，故所求的回归方程为．

②设年收益为万元，则

令，则，，当时，，

当时，，所以当，即时，有最大值．

即该企业每年应该投入万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为万元．

【点睛】

本题考查频率分布直方图，考查随机变量概率分布列与期望，考查求线性回归直线方程，及回归方程的应用．在求指数型回归方程时，可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程，然后再求出指数型回归方程．