2020届全国大联考高三第六次联考数学（理）试题（解析版）

2020届全国大联考高三第六次联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】D

【解析】首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；

【详解】

解：∵，解得

∴，∴.

故选：D

【点睛】

本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.

2．设复数满足，在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，根据复数的几何意义得到、的关系式，即可得解；

【详解】

解：设

∵，∴，解得.

故选：B

【点睛】

本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.

3．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（    ）

A． B． C．6 D．8

【答案】A

【解析】依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解；

【详解】

解：∵双曲线的离心率为，

所以，∴，∴，双曲线的焦距为.

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.

4．已知，，，若，则正数可以为（    ）

A．4 B．23 C．8 D．17

【答案】C

【解析】首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可；

【详解】

解：∵，∴当时，满足，∴实数可以为8.

故选：C

【点睛】

本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.

5．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．

【详解】

解：.

故选：A

【点睛】

本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．

6．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】首先利用二倍角正切公式由，求出，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】

解：∵，∴可解得或，

∴“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．

7．下列四个图象可能是函数图象的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解.

【详解】

∵的定义域为，

其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，

∵为奇函数，图象关于原点对称，

∴的图象关于点成中心对称.

可排除A、D项.

当时，，∴B项不正确.

故选：C

【点睛】

本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.

8．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按，，编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母，，的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”， 记事件“恰好不同时包含字母，，”为，利用对立事件的概率公式计算可得；

【详解】

解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为（个），

则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”

记事件“恰好不同时包含字母，，”为，则.

故选：B

【点睛】

本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．

9．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】D

【解析】推导出，且，，，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．

【详解】

解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，，且，由为等腰直角三角形可知，

，设中点为，则平面，∴，

∴，解得.

故选：D

【点睛】

本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.

10．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则下述四个结论：

①②③④点为函数的一个对称中心

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

【答案】B

【解析】首先根据三角函数的平移规则表示出，再根据对称性求出、，即可求出的解析式，从而验证可得；

【详解】

解：由题意可得，

又∵和的图象都关于对称，∴，

∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，

∴①③④正确，②错误.

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.

11．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；

【详解】

解：设，，由，得，

∵，解得或，∴，.

又由，得，∴或，∴，

∵，

∴，

又∵，

∴代入解得.

故选：D

【点睛】

本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.

12．已知函数（），若函数在上有唯一零点，则的值为（    ）

A．1 B．或0 C．1或0 D．2或0

【答案】C

【解析】求出函数的导函数，当时，只需，即，令，利用导数求其单调区间，即可求出参数的值，当时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；

【详解】

解：∵（），

∴，∴当时，由得，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以是极小值，∴只需，

即.令，则，∴函数在上单

调递增.∵，∴；

当时，，函数在上单调递减，∵，，函数在上有且只有一个零点，∴的值是1或0.

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.

二、填空题

13．若展开式中的常数项为240，则实数的值为________.

【答案】－3

【解析】依题意可得二项式展开式的常数项为即可得到方程，解得即可；

【详解】

解：∵二项式的展开式中的常数项为，

∴解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.

14．已知函数，则________；满足的的取值范围为________.

【答案】       

【解析】首先由分段函数的解析式代入求值即可得到，分和两种情况讨论可得；

【详解】

解：因为，

所以，

∵，

∴当时，满足题意，∴；

当时，由，

解得.综合可知：满足的的取值范围为.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.

15．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为________.

【答案】

【解析】分别取，的中点，，连接，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，设球心为，半径为，，由勾股定理可得、，再根据球的面积公式计算可得；

【详解】

如图，分别取，的中点，，连接，

则易得，，，，

由图形的对称性可知球心必在的延长线上，

设球心为，半径为，，可得，解得，.

故该球的表面积为.

故答案为：

【点睛】

本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.

16．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为________.

【答案】

【解析】利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，根据同角三角函数的基本关系表示出，最后利用面积公式得到，由基本不等式求出的取值范围，即可得到面积的最值；

【详解】

解：∵在中，，∴，

∴，

∴，

∴.

∵，即，当且仅当时等号成立，

∴，∴面积的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.

三、解答题

17．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.

（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

（2）从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为，若用样本的频率作为概率，求随机变量的期望.

附：，其中.

【答案】（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）

【解析】（1）根据题意填写列联表，利用公式求出，比较与6.635的大小得结论；

（2）由样本数据可得经常阅读的人的概率是，则，根据二项分布的期望公式计算可得；

【详解】

解：（1）由题意可得：

则，

所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.

（2）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且，所以随机变量的期望为.

【点睛】

本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的数学期望的计算，考查运算求解能力，属于基础题．

18．设数列是等差数列，其前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）设数列的公差为，由，得到，再结合题干所给数据得到公差，即可求得数列的通项公式；

（2）由（1）可得，再利用放缩法证明不等式即可；

【详解】

解：（1）设数列的公差为，∵，∴，

∴，∴.

（2）∵，

∴

，

∴.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.

19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点、分别为，的中点，且平面平面.

（1）求证：平面.

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）首先可得，再面面垂直的性质可得平面，即可得到，再由，即可得到线面垂直；

（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；

【详解】

解：（1）∵，点为的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，∴，

又∵，分别为，的中点，

∴，∴，

又平面，平面，，

∴平面.

（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，∵，∴，，

，，

∴，，，

设平面的法向量为，

由，得，令，得，

∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法求线面角，属于中档题.

20．已知，函数.

（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；

（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；

（2）不妨设，，，

利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；

【详解】

解：（1）∵

∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立，

∴在上恒成立.设，

∵函数在上单调递增，∴，

∴，∴实数的取值范围为.

（2）不妨设，，，

则，

∴.

∵，∴，

又，令，∴，

∴在上为减函数，∴，

∴，即，

∴在上是减函数，∴，即，

∴，

∴当时，.

∵，∴.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，右顶点为，且，短轴长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点作垂直轴的直线，点为直线上纵坐标不为零的任意一点，过作的垂线交椭圆于点和，当时，求此时四边形的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）依题意可得，解方程组即可求出椭圆的方程；

（2）设，则，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去，设，，列出韦达定理，即可表示，再根据求出参数，从而得出，最后由点到直线的距离得到，由即可得解；

【详解】

解：（1）∵，∴解得，

∴椭圆的方程为.

（2）∵，∴可设，∴.∵，

∴，∴设直线的方程为，

∴，∴，显然恒成立.

设，，则，，

∴

.

∴，

∴，∴解得，解得，

∴，，∴.

∵此时直线的方程为，，

∴点到直线的距离为，

∴，

即此时四边形的面积为.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．

22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可；

（2）设，，由，即可求出，则计算可得；

【详解】

解：（1）圆的参数方程（为参数）可化为，

∴，即圆的极坐标方程为.

（2）设，由，解得.

设，由，解得.

∵，∴.

【点睛】

本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

23．已知，函数有最小值7.

（1）求的值；

（2）设，，求证：.

【答案】（1）.（2）见解析

【解析】（1）由绝对值三解不等式可得，所以当时，，即可求出参数的值；

（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得证；

【详解】

解：

（1）∵

，

∴当时，，解得.

（2）∵，∴，

∴，

当且仅当，即，时，等号成立.

∴.

【点睛】

本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．