2020届山西省大同市高三下学期3月模拟数学（文）试题（解析版）
展开2020届山西省大同市高三下学期3月模拟数学（文）试题
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由一元二次不等式和指数函数单调性可分别求得集合，由交集定义可求得结果.
【详解】
，，.
故选：.
【点睛】
本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式和指数不等式的求解问题，属于基础题.
2．设是虚数单位，若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用复数的乘方和除法运算法则可计算得到结果.
【详解】
.
故选：.
【点睛】
本题考查复数的乘方和除法运算，属于基础题.
3．已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：因为所以选C．
【考点】比较大小
4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【详解】
因为不是偶函数，在上不是单调函数，在上单调递减，
y=ln|x|是偶函数，并且当x>0时，y=lnx在上单调递增.故选D.
5．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数被除余,被除余，被除余，求的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出的结果为（ ）
A．53 B．54 C．158 D．263
【答案】A
【解析】按程序框图知的初值为，代入循环结构，第一次循环，第二次循环，推出循环， 的输出值为 ，故选A.
6．若角600°的终边上有一点（-4，a），则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵角的终边上有一点，根据三角函数的定义可得，即，故选C.
7．函数在上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】先判断函数的奇偶性，排除C；再验证的值，排除B，D，即可.
【详解】
依题意，，故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C；，排除B，D.
故选：A
【点睛】
本题考查函数图象问题.此类问题可根据函数的单调性、奇偶性、特值检验，通过排除法解决.属于中档题.
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．
【答案】B
【解析】由三视图可得几何体为四棱锥，根据棱锥体积公式可求得结果.
【详解】
由三视图可知：几何体为底面为直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形的上下底分别为和，高为，
几何体体积.
故选：.
【点睛】
本题考查根据三视图求解几何体的体积的问题，关键是能够通过三视图准确还原几何体.
9．定义行列式运算.将函数的图象向左平移个单位得函数的图象，则的图象的一个对称中心为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：
将函数的图象向左平移个单位得函数的图象
由得，取得的图象的一个对称中心为
【考点】 1、三角函数的图象的平移、对称中心；2、三角恒等变换
10．过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得，再结合关系求解即可
【详解】
因为，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故.
故选：C
【点睛】
本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．
11．中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】利用三角恒等变换和三角形面积求解出的值；再根据的范围解出.
【详解】
或
又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查三角恒等变换和解三角形的知识，易错点是求解的取值时，忽略了这一条件，造成求解错误.
12．已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】画出的图像，利用将表示成的关系式，将化为只含的表达式，利用换元法，结合导数，求得的最大值.
【详解】
作出的图象如图所示.
因为，所以，即.由图可知，则，令.则.易知函数在上单调递增，在上单调递减，所以.
故选：A
【点睛】
本题考查导数的综合应用，考查学生数形结合、转化与化归的数学思想.
二、填空题
13．已知定义在上的奇函数，则函数在点处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】由奇函数性质可求得，利用导数的几何意义可求得所求的切线方程.
【详解】
为上的奇函数，，解得：，，
，，又，
在，即在处的切线方程为：，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查求解曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到导数几何意义和函数奇偶性的应用，属于基础题.
14．已知菱形的边长为2，，点满足，则_______．
【答案】3
【解析】由菱形的性质可求得，，由数量积的定义可求得结果.
【详解】
四边形为菱形，，又，为等边三角形，
又，为中点，，，，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的求解问题，属于基础题.
15．已知抛物线的焦点为，点在上，且，则（其中坐标原点）的面积为___________．
【答案】8
【解析】将抛物线方程化为标准方程，从而求得，利用抛物线焦半径公式可求出点的纵坐标，进而得到，从而求得所求的三角形面积.
【详解】
抛物线的标准方程为：，则，
设，则，解得：，，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查抛物线中三角形面积的求解问题，涉及到抛物线焦半径公式的应用.
16．在四面体中，和都是边长为的等边三角形，该四面体的外接球表面积为，则该四面体的体积为______________．
【答案】
【解析】取中点，设球心为，外接圆圆心分别为，作平面；根据外接球表面积可求得外接球半径，利用垂直关系可求得和，进而得到，求得四面体的高，代入三棱锥体积公式可求得结果.
【详解】
取中点，连接，设球心为，外接圆圆心分别为，连接，作平面，垂足为，
四面体外接球表面积为，外接球半径.
由球的性质可知：平面，平面，
又，，，
，，
，，
，
，
四面体体积.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据四面体的外接球表面积求解四面体的体积的问题，关键是能够明确几何体外接球的性质，即球心和各面的外接圆圆心的连线与该面垂直.
三、解答题
17．已知数列满足且，．
（1）求数列的通项公式及其前项和；
（2）若数列满足，且，若，求的取值集合．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由递推关系式可知数列为等差数列，利用表示出已知等式，可构造方程求得，由等差数列通项公式和求和公式可求得结果；
（2）由（1）可整理得到，由累加法可求得，由此构造不等式求得结果.
【详解】
（1）由得：，数列为等差数列，
设的公差为，则，解得：，
，.
（2）由（1）得：，
则，，…，，
，，
令得：，又，
的取值集合为.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式和前项和的求解问题、累加法求解数列的通项公式问题；关键是能够根据递推关系式的形式证得数列为等差数列、确定数列通项公式的求解方法为累加法.
18．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，．为等边三角形．
（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】（1）结合余弦定理和勾股定理可证得，由线面垂直判定定理可证得平面，由面面垂直的判定定理可证得结论；
（2）取的中点，由面面垂直性质可证得平面，利用三棱锥体积公式可求得，根据平行关系可知，从而得到结果.
【详解】
（1）证明：在中，由余弦定理得：，
，，，
，即．
又，，平面，平面，
平面，平面平面．
（2）取的中点，连接，
为等边三角形，为中点，，
由（1）知：平面平面，
又平面平面，平面，平面，
由得：，，，
，，，．
，.
【点睛】
本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、三棱锥体积的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定与性质定理的应用；求解三棱锥体积的常用方法是采用体积桥的方式，将问题转化为高易求的三棱锥体积的求解问题.
19．某蔬菜批发商经销某种新鲜蔬菜（以下简称蔬菜），购入价为200元/袋，并以300元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的蔬菜没有售完，则批发商将没售完的蔬菜以150元/袋的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把蔬菜低价处理完，且当天不再购进）.该蔬菜批发商根据往年的销量，统计了100天蔬菜在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图.
（1）若某天该蔬菜批发商共购入6袋蔬菜，有4袋蔬菜在前8小时内分别被4名顾客购买，剩下2袋在8小时后被另2名顾客购买.现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率是多少？
（2）以上述样本数据作为决策的依据.
（i）若今年蔬菜上市的100天内，该蔬菜批发商坚持每天购进6袋蔬菜，试估计该蔬菜批发商经销蔬菜的总盈利值；
（ii）若明年该蔬菜批发商每天购进蔬菜的袋数相同，试帮其设计明年的蔬菜的进货方案，使其所获取的平均利润最大.
【答案】（1）；（2）（i）元；（ii）该批发商明年每天购进蔬菜5袋，所获平均利润最大.
【解析】（1）通过列举分别求出“从6人中任选2人”和“至少选中1人是以150元/袋的价格购买”的基本事件个数，通过古典概型公式计算即可；
（2）（i）通过频数分布条形图进行估算即可；（ii）分别计算购进蔬菜4袋、5袋、6袋时的每天所获平均利润，比较大小即可.
【详解】
（1）设这6人中花150元/袋的价格购买蔬菜的顾客为，
其余4人为，，，.
则从6人中任选2人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个.
其中至少选中1人是以150元/袋的价格购买的基本事件有：，，，，，，，，，共9个.
至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率为.
（2）（i）该蔬菜批发商经销蔬菜的总盈利值为：（元）.
（ii）当购进蔬菜4袋时，每天所获平均利润为（元），
当购进蔬菜5袋时，每天所获平均利润为（元）
当购进蔬菜6袋时，每天所获平均利润为（元）
综上，该批发商明年每天购进蔬菜5袋，所获平均利润最大.
【点睛】
本题考查了频数分布直方图、古典概型的计算公式以及期望的计算，属于基础题.
20．已知焦点在轴上的椭圆的一个顶点为，以右焦点为圆心以3为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线相交于不同的两点、．当时，求三角形面积的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用焦点到直线的距离等于半径和上顶点坐标可构造方程求得，进而得到椭圆方程；
（2）设为中点，由可知，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用韦达定理表示出，根据判别式可构造不等式求得的范围；利用弦长公式和点到直线距离公式求得弦长和三角形的高，代入面积公式可整理得到关于的函数，利用二次函数性质可确定取最大值时的取值，进而得到最大值.
【详解】
（1）设椭圆方程为：.
椭圆焦点在轴上，且一个顶点为，则且，
则右焦点，，解得：，
椭圆方程为：.
（2）设，，为中点，
由得：，
，解得：…①
则，，
，，
，
，，即，
，代入①中得：，解得：，
由得：，的取值范围为.
，
原点到直线的距离，
，
，当时，取得最大值.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中的三角形面积的最值的求解；求解三角形面积最值的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，进而通过求解函数最值的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.
21．已知的图象在处的切线与直线平行．
（1）求函数的极值；
（2）若，，，求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值为，无极小值；（2），．
【解析】(1)可利用导数的几何意义求出a的值,然后利用函数导数得到函数的单调性,求得函数的极值;
(2)所给不等式含有两个变量,通过变形使两个变量分别在不等式两侧,然后构造新函数g(x),转化为函数的单调性即可求解m的范围.
【详解】
（1）的导数为，
可得的图象在，（1）处的切线斜率为，
由切线与直线平行，可得，
即，，
，
由，可得，由，可得，
则在递增，在递减，
可得在处取得极大值为，无极小值；
（2）可设，若，，
，可得，
即有，
设在为增函数，
即有对恒成立，
可得在恒成立，
由的导数为得：
当，可得，
在递减，在，递增，
即有在处取得极小值，且为最小值，
可得，
解得，
则实数的取值范围是，．
【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义求解参数的值和范围,属于中等难度题型,第一问解题中关键是导数几何意义的应用;第二问中关键是将不等式转化,然后构造新函数,再利用新函数的单调性求解参数m的范围.
22．选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于两点，弦的中点为，求的值.
【答案】（1）曲线的极坐标方程为（2）
【解析】【详解】试题分析：（I）曲线C的参数方程为，利用平方关系即可化为普通方程．利用变换公式代入即可得出曲线C'的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．
（II）点的直角坐标是，将的参数方程（为参数）代入曲线C'的直角坐标方程可得，利用根与系数的关系即可得出．
试题解析：
（Ⅰ），
将，代入的普通方程可得，
即，所以曲线的极坐标方程为
（Ⅱ）点的直角坐标是，将的参数方程（为参数）
代入，可得，
∴t1+t2，t1•t2，
所以．
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最大值为m，正数a，b，c满足，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）分别讨论,,时的解析式,进而求解即可；
（2）先将解析式写为分段函数形式,求得的最大值为3,即,再由柯西不等式求证即可.
【详解】
（1）当时,,
由,得,解得,此时；
当时,,
由,得,解得,此时；
当时,,
此时不等式无解,
综上所述,不等式的解集为
（2）证明:由（1）可知,
当时,；
当时,；
当时,,
所以函数的最大值为,则.
由柯西不等式可得,
即,即,
当且仅当时等号成立,
因此.
【点睛】
本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查利用柯西不等式证明不等式.
