2020届四川省绵阳南山中学高三三诊模拟数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求出集合，根据交集定义，即可求得答案.
【详解】
,
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
2．已知复数（，是虚数单位）为纯虚数，则实数的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，因为是纯虚数，所以，．
故选A．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据同角三角函数的基本关系式求得，由此求得，进而求得表达式的值.
【详解】
，所以，.
因为，所以.
故选：D
【点睛】
本题考查三角恒等变换的知识，考查运算求解能力.
4．下列叙述中正确的是( )
A．若，则“”的充分条件是“”
B．若，则“”的充要条件是“”
C．命题“对任意，有”的否定是“存在，有”
D．是一条直线，是两个不同的平面，若，则
【答案】D
【解析】试题分析：当时，推不出，错，当时，推不出，错，命题“对任意，有”的否定是“存在，有”，C错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D正确.
【考点】充要关系
5．已知，，，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值和可得到所处的大致范围，从而得到结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.
6．若同一平面内向量两两所成的角相等，且，则等于( )
A．2 B．5 C．2或5 D．或
【答案】C
【解析】【详解】
因为同一平面内向量两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120°时，，即；当三个向量所成的角都是0°时，.故或5.选C.
【点睛】
平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
7．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.
【详解】
由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：
第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：；
第10次循环：，
此时满足判定条件，输出结果，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8．设函数在R上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据函数在处取得极小值，得到在的左侧附近，，在的右侧附近，，然后再确定在附近的正负.
【详解】
因为函数在处取得极小值，
所以在的左侧附近，，则，
在的右侧附近，，则，
故选：C
【点睛】
本题主要考查导数与函数的极值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.
9．在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】两个数构成有序数对，对应平面区域，两个数中较大的数大于，其对立事件是两个数都小于等于，求出概率即可.
【详解】
在区间[0,2]中随机取两个数，两个数构成有序数对，
构成的区域如图中大正方形，
又“这两个数中较大的数大于”为“这两个数都小于或等于”的对立事件，
且在区间[0,2]中随机取两个数，这两个数都小于或等于，
所构成的平面区域的面积为，
故两个数中较大的数大于的概率.
故选：A
【点睛】
此题考查几何概型，将题目所给条件准确转化成平面直角坐标系内的区域，利用面积求解.
10．已知直三棱柱，，，和的中点分别为、，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，得到，，计算夹角得到答案.
【详解】
如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系.
故，，，，故，.
，即与夹角的余弦值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
11．已知不等式所表示的平面区域内一点到直线和直线的垂线段分别为，若三角形的面积为，则点轨迹的一个焦点坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线与夹角为，且，与夹角为，， ，即点轨迹方程为，半焦距为，焦点坐标为，故选A.
12．函数，，若对恒成立，则实数的范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用导数可得在上的取值范围为，其中，令换元，把对恒成立转化为对恒成立，分离参数后利用函数单调性求出函数的最小值得答案.
【详解】
解：，，
，，
在上有零点，
又在上成立，
在上有唯一零点，设为，
则当时，，当时，，
在上有最大值，
又，
，
令，
要使对恒成立，则
对恒成立，
即对恒成立，
分离，得，
函数的对称轴为，又，
，
则.
则实数的范围是.
故选A
【点睛】
本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属难题.
二、填空题
13．某时段内共有辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过的汽车辆数为 ．
【答案】77
【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得时速超过的汽车的频率为；
所以时速超过的汽车辆数为 ．所以答案应填：77．
【考点】频率分布直方图．
14．函数的图象向右平移个长度单位后，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的值为___________.
【答案】
【解析】由，向右平移个长度单位后，得到函数，再根据函数为偶函数求解.
【详解】
函数，
向右平移个长度单位后，得到函数，
因为函数为偶函数，
所以，
即，
因为，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象平移变换和性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
【答案】3
【解析】
不妨设，，则，又，所以，利用导数易知在上递减，在上递增，所以当时，的最小值为3，故答案为3.
16．已知正三棱锥的侧面是直角三角形，的顶点都在球O的球面上，正三棱锥的体积为36，则球O的表面积为__________．
【答案】108
【解析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题．
【详解】
∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，
设球O的半径为R，
则正方体的边长为，
∵正三棱锥的体积为36，
∴V=
∴R=
∴球O的表面积为S=4πR2=108
故答案为108．
【点睛】
本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，三棱锥体积的表示方法，有一定难度，属中档题．
三、解答题
17．如图，在直角梯形中，，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求点A到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】（1）根据，得到再根据勾股定理得到，然后根据平面平面，利用面面垂直的性质定理证明.
（2）由（1）知：BC为三棱锥的高，，分别求得，，再根据求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
因为平面平面，平面平面平面
平面;
（2）由（1）知：BC为三棱锥的高，，
，，
因为，
即，
解得.
【点睛】
本题主要考查面面垂直，线面垂直的转化和等体积法求点到面的距离，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
18．某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如表（吨）为该商品的进货量，（天）为销售天数：
x/吨 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 |
y/天 | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
（1）根据上述提供的数据，求出关于的回归方程；
（2）在该商品进货量不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量恰好有1个值不超过3吨的概率.
参考数据和公式：，
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据提供的数据，分别求得，然后写出回归直线方程；
（2）根据古典概型的概率求法，先列举出从进货量不超过6吨的前提下任取2个值的基本事件的个数，然后找出恰好有1次不超过3吨的基本事件的个数，再代入公式求解.
【详解】
（1）由题意得：，
所以回归直线方程为；
（2）进货量不超过6吨有2，3，4，5，6共5个，
任取2个有有10个结果，
恰好有1次不超过3吨的有：共6种
所以所求的概率为
【点睛】
本题主要考查线性回归分析和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．已知正项数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是的前n项和，求使成立的最大正整数n.
【答案】（1）；（2）5.
【解析】（1）当时，根据，得到，两式相减得，再利用等差数列的定义求解.
（2）根据（1）得到，用裂项相消法求，然后再代入求解.
【详解】
（1）当时，由，
得，
两式相减得，
当时，，且
所以数列是等差数列，
；
（2），
，
解得，
所以最大的正整数为5.
【点睛】
本题主要考查数列通项公式和前n项和间的关系以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点.
（1）若以线段为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；
（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？如果存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）6；（2）存在，， .
【解析】（1）设的中点为M，连接，根据中位线得到求解.
（2）直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为，与椭圆方程联立整理得到，设，若为定值，则需成立求解.
【详解】
（1）设的中点为M，连接，
在中，所以，
所以，
故椭圆的长轴长为6；
（2）因为椭圆方程为，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为，
则，
，
设，
,
当时，即，
为定值，定值为，
当直线AB的斜率不存在时，，
当时，，
综上，在x轴上存在定点，使得为定值.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．已知函数，.
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）记函数的图象为曲线，设点是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作轴的垂线交曲线C于点N，试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由.
【答案】（1）；（2）不平行，理由见解析.
【解析】（1）求导，分，，，四种情况讨论求解.
（2）设，则点N的横坐标为，表示直线AB的斜率，再表示曲线在点N处的切线的斜率，然后假设曲线在点N处的切线平行于直线AB，则，论证是否成立即可.
【详解】
（1），
当时，由得，
当时，在单调递减，
所以在上最小值为，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上最小值为，
当时，在上单调递增，
所以在上最小值为，
综上，函数在上最小值为；
（2）设，则点N的横坐标为
直线AB的斜率为
曲线在点N处的切线的斜率为
假设曲线在点N处的切线平行于直线AB，则
即
所以，
设
令
所以在是增函数，又
所以，
即，
所以不成立，
所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的最值以及导数与切线问题，还考查了分类讨论，转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
22．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（t为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求椭圆的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设直线与轴分别交于两点，点是圆上任意一点，求面积的最大值.
【答案】（1），；（2）8.
【解析】（1）根据参数方程，消去t即可.由，利用两角和的正弦公式展开得，再利用求解.
（2）直线与两坐标轴的交点分别是，根据参数方程，设点P的坐标为，可得点到直线的距离为，利用三角函数的性质求得最值，再由求解.
【详解】
（1）由参数方程，消去t得，，
所以圆的普通方程为.
由，得，
所以直线的直角坐标方程为：.
（2）直线与两坐标轴的交点分别是，
设点P的坐标为，
点到直线的距离为，
当，时点到直线的距离最大，
所以，
所以的面积的最大值为.
【点睛】
本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）已知关于的不等式的解集为，若，求 实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简，继而算出结果（2）利用不等式求解，再根据条件计算出实数的取值范围
解析：（1）因为，所以，
，
或或
解得或或，
所以，
故不等式的解集为.
（2）因为，
所以当时，恒成立，
而 ，
因为，所以，即，
由题意，知对于恒成立，
所以，故实数的取值范围.
