2020届四川省资阳市一诊（10月）数学（理）试题（解析版）
展开2020届四川省资阳市一诊（10月）数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．
【详解】
由N中不等式变形得：x（x﹣2）≤0，
解得：0≤x≤2，即N＝[0，2]，
∵M＝{﹣1，0，1，2，3}，
∴M∩N＝{0，1，2}，
故选：C．
【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．复数（ ）
A.i B.-i C. D.
【答案】A
【解析】由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
∵．
故选：A．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．已知向量，若（λ∈R），则m＝（ ）
A.-2 B. C. D.2
【答案】C
【解析】根据向量的坐标运算计算即可．
【详解】
∵向量，（λ∈R），
∴＝λ，
∴，
∴m＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了共线向量的坐标运算，属于基础题．
4．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A.7 B.14 C.21 D.42
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可得：a4＝2，而由求和公式可得S7＝7a4，代入可得答案．
【详解】
由等差数列的性质可得：2a4＝a2+a6，又，解得a4＝2，
而S77a4＝14
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要比充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．
【详解】
若，即0，
∴或，
即a，b同号时：a<b，a，b异号时：a>b，
∴当a<b<0时，成立，但成立，不一定有a<b<0，
所以“”是“”的充分不必要条件
故选：A．
【点睛】
本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．
6．执行右图所示的程序框图，则输出的（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】
第一次执行循环体后，n＝1，不满足退出循环的条件，
第二次执行循环体后，n＝2，不满足退出循环的条件，
第三次执行循环体后，n＝3，不满足退出循环的条件，
第四次执行循环体后，n＝4，不满足退出循环的条件，
第四次执行循环体后，n＝5，满足退出循环的条件，
故输出的n值为5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．
【详解】
；
∴a＞b＞c．
故选：B．
【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查了比较大小的方法：中间量法．
8．函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．
【详解】
当x<0时，f（x）0．排除AC，
f′（x），令g(x)
g′（x），当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g(x)是增函数，
当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数g(x)是减函数，g(0)=，g(3)=3>0， g(4)=<0，
存在，使得g()=0，
且当x∈（0，），g(x)>0，即f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，
当x∈（，+∞），g(x)<0，即f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，
∴B不正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．
9．已知角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将的终边按顺时针方向旋转后经过点（3，4），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义及二倍角的余弦公式，求得结果．
【详解】
∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边按顺时针方向旋转后经过点（3，4），∴，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，考查了逻辑思维能力，属于基础题．
10．若函数的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由正弦函数图象的性质可得φ＝，（k∈z）再求解即可．
【详解】
由f(x)＝sin（2x+φ），
令2+φ＝kπ，（k∈z）
得：φ，（k∈z）
又φ＞0，所以k=1时
则φmin，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正弦函数图象的性质，属简单题．
11．已知向量=，.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得到，是夹角为，模为2的两个向量，设，，，
利用向量加减法的几何意义求出C的轨迹，则可求得的取值范围.
【详解】
因为向量=可得，
所以，是夹角为，模为2的两个向量，
设，，，则A，B在以原点为圆心，2为半径的圆上，如图，
不妨令A（2，0），则B（-1，），则，则，所以C在以D为圆心，1为半径的圆上，，即求以D为圆心，1为半径的圆上的动点C到（0，0）的距离的最值问题，
又|OD|．
所以∈[，]= [，]，
故选：D．
【点睛】
本题考查了向量加减法的几何意义的应用，考查了动点的轨迹问题，考查了转化思想，解题时我们要根据题目中已知的条件，选择转化的方向，属于中档题.
12．定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有.若，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令g（x）＝f（x）x，求得g（x）＝g（2﹣x），则g（x）关于x=1对称，再由导数可知g（x）在时为减函数，化f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1为g（m）≥g（1﹣2m），利用单调性及对称性求解．
【详解】
令g（x）＝f（x）x，
g′（x）＝f′（x）﹣1，当x1时，恒有f'（x）＜1．
∴当x1时，g（x）为减函数，
而g（2﹣x）＝f（2﹣x）（2﹣x），
∴由得到
f（2﹣x）（2﹣x）=f（x）x
∴g（x）＝g（2﹣x）．
则g（x）关于x=1对称，
由f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1，得f（m）m≥f（1﹣2m）（1﹣2m），
即g（m）≥g（1﹣2m），
∴，即1．
∴实数m的取值范围是[﹣1，]．
故选：D．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，属于中档题．
二、填空题
13．求值：________.
【答案】1
【解析】直接利用对数运算法则及性质化简求解即可．
【详解】
log315﹣log34log45=log315﹣log35＝log33＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查对数的运算法则及性质的应用，是基础题．
14．已知x，y满足，若的最小值为________.
【答案】5
【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x＝3且y＝1时，z取得最小值．
【详解】
作出不等式组表示的平面区域，
其中解得A（3，1）
设z＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，
观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值
∴z最小值＝3+2＝5
故答案为：5．
【点睛】
本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x+2y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
15．若等比数列的前项和为,且，，则____．
【答案】511
【解析】由等比数列的性质可得： ，
即： ，解得： .
16．已知当且时，函数取得最大值，则a的值为________.
【答案】
【解析】根据二倍角公式化简函数f（x），运用整体思想，当f（x）的最大值时，确定的取值，运用诱导公式计算进而得到，再利用二倍角的正切公式求a的取值即可.
【详解】
函数f（x）＝sinx (sinx+acosx)=
(，cos),
当时，函数f（x）取得最大值，此时
∴cos，∴，
∴a＝
故答案为：．
【点睛】
考查三角函数的化简变形，三角函数两角和与差公式逆用（辅助角公式），三角函数诱导公式、二倍角公式，考查逻辑思维能力及运算能力，属于中档题．
三、解答题
17．已知函数
（1）求在上的零点；
（2）求在上的取值范围。
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）＝2sin（2x），令f（x）＝0得：sin（2x），从而解得x，又x∈[0，π]，即可得函数f（x）的零点．
（2）利用整体思想及正弦函数的性质求出函数的取值范围．
【详解】
（1）
令，即，
则，，得
由于，令，得，令，
所以，在上的零点为，
（2）由，则
所以，
故在上的取值范围是
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18．已知等差数列的前n项和为，，且.
（1）求；
（2）求数列的前n项和；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知得，与已知式子相减，得到，求得an；
（2）利用错位相减法可求Tn；
【详解】
（1）由，得，
两式相减，得，
所以，.
（2）由题
两边同乘以，有
两式相减，得
所以，
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查了运算能力，属于基础题．
19．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知。
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据正弦定理边化角，与两角和的正弦公式求得B的值；
（2）根据正弦定理边化角，再利用同角的三角函数关系结合角的范围求得取值范围．
【详解】
（1）由，
根据正弦定理，有
即有
则有，又，
所以，
（2）由（1），，则，又为锐角三角形，
所以，且，
所以，于是
则
又
所以，的取值范围是
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、同角的三角函数关系以及两角和差的正弦公式，正确求得角的范围是解题的关键．
20．已知函数，且函数为偶函数。
（1）求的解析式；
（2）若方程有三个不同的实数根，求实数m的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用是偶函数得到关于对称，从而，解得a，进而得到解析式.
（2）问题转化为方程有三个不同实数根，令，对求导，研究单调性及极值，得到大致图像，由图可得m的范围.
【详解】
（1）由题可知所以函数的对称轴为，
由于是偶函数，
所以，即关于对称
所以，即，
所以
（2）方程有三个不同的实数根，即方程有三个不同实数根.
令，由（1）有，
所以，令，则或。
当时，；当时，；当时，
故当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.
所以，当时，取得极大值；当时，取得极小值，
又由于≥0，且当时，；当时，，
其大致图像：
所以，方程有三个不同实数根时，m的范围是
【点睛】
本题考查运用导数研究函数的单调性、极值，考查方程有解的条件，注意运用数形结合思想方法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21．已知函数在点处的切线与y轴垂直.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，成立，求a的取值范围
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）令f′（1）＝0求出b，再根据f′（x）的符号得出f（x）的单调区间；
（2）分类讨论，分别求出在（0，e）上的最小值，即可得出a的范围．
【详解】
（1），由题，
解得，由，得.
因为的定义域为，所以，
故当时，， 为增函数，
当时，，为减函数，
（2）由（1）知，
所以
（ⅰ）若，则由（1）知，即恒成立
（ⅱ）若，则且
故当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
，即恒成立
（ⅲ）若，则且
故当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
由题只需即可，即，解得，
而由，且，
得
（ⅳ）若，则，为增函数，且，
所以，，不合题意，舍去；
（ⅴ）若，则，在上都为增函数，且
所以，，不合题意，舍去；
综上所述，a的取值范围是
【点睛】
本题考查了函数单调性与导数的关系、导数的几何意义，函数恒成立问题与函数最值的计算，考查了分类讨论思想，属于中档题．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设P（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）直线l的参数方程为（t为参数）．将代入消去参数t可得直线l的普通方程．利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程．
（2）将代入得：，利用根与系数的关系及参数的意义可得．
【详解】
（1）直线l的参数方程为（t为参数）．消去参数t可得直线l的普通方程为
由，得，则有，即，
则曲线C的直角坐标方程为
（2）将l的参数方程代入，得，设两根为，
则，为M，N对应的参数，且
所以，线段MN的中点为Q对应的参数为，
所以，
【点睛】
本题考查了直线的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了直线参数的几何意义的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．已知，且.
（1）求的最大值；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）由柯西不等式得（）2≤（12+12+12）（a+b+c）＝3，即可得出结论．
（2）将代入所证等式的左边，利用基本不等式，证得结论.
【详解】
（1）（）2≤（12+12+12）（a+b+c）＝3，
所以≤，
当且仅当取“=”.所以，的最大值为
（2）
当且仅当取“=”
【点睛】
本题考查了基本不等式与柯西不等式的应用，利用柯西不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，属于中档题．
