2020届云南省曲靖市陆良县高三上学期第二次适应性考试数学（文）试题
展开陆良县2020届高三毕业班第二次适应性考试
文科数学试题卷
（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）
一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为实数，若复数为纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
3.的值等于( )
A. B. C. D.
4.若，，，则的大小关系为（ ）
A. B． C. D．
5.在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.下列有关命题的叙述错误的是( )
A. 命题“若则 ”的逆否命题为“若则”
B. 命题：存在，使得，则：任意，都有
C. 若为假命题,则均为假命题
D.“”是“”的充分不必要条件
7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 9
8.设满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
9.等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和（ ）
A. B. C. D.
10.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11.如图，在棱长为1的正方体中，M,N分别是，的中点，过直线BD的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围（ ）
A． B． C. D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分.）
13.某中学采用系统抽样方法，从该校高三年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是42，则在第1小组1～16中随机抽到的数是 ．
14.各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，则_________．
15.已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为 ．
16.已知三棱锥A-BCD中，面，，，则三棱锥的外接球的体积为 ．
三、解答题:（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知，设．
（1）求的解析式并求出它的周期T．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求△ABC的面积.
18.（本小题满分12分）某地对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，分别记录了3月1日到3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期 | 3月1日 | 3月2日 | 3月3日 | 3月4日 | 3月5日 |
温差x (℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y（颗） | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
他们所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对选取的2组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；并预报当温差为8℃时的种子发芽数.
参考公式：，其中，
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19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在点，使得//平面？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）已知椭圆E：的左焦点F1，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且的最大值为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l过椭圆的左焦点F1，与椭圆交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
21.（本小题满分12分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.
选考题：共10分.请考生在第22题，23两题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题号.
22.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知过点的直线l的参数方程是（t为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，试问是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由.
23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知，，，函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的最小值为，求的值，并求的最小值．
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陆良县2020届高三毕业班第二次适应性考试
文科数学参考答案
一、选择题
（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11[来源:学科网ZXXK] | 12 |
答案 | A | D | B | B | D | C | B | D | C | A | B | A |
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）
- 10 14. 150 15. 16 16.
三、解答题
17、解析：（1）
...........4分
函数的周期，
故，周期为． ...............................................................6分
（2）因为，所以，
即， .............................................7分
又，所以，
所以， ....................................................................9分
又，
由余弦定理得：
，所以
所以 .................................................................11分
.......................................................................12分
18、解析：（1）“设抽到相邻的两组数据为事件A”，从5组数据中选取2组数据共10种 情况:
（1，2），（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）,（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）....3分
其中事件A的有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）………….......................4分
…….............................................5分
（2）由数据求得 …………...8分
代入公式得：
线性回归方程为： …………. ................................................10分
当时，
当温差为8℃时种子发芽数为17颗. …………..........................................12分
19.解析：（1）证明：平面，平面
...........................................................2分
底面为菱形. ............................................4分
又平面
. ...............................................................6分
当F为PB中点时，平面.................................................................................7分
理由如下：设PA的中点为M，连接
M,F分别是PA,PB的中点
又E是CD的中点
即四边形CEMF是平行四边形
................................10分
又平面
平面 ..............................................................12分
20.（1）设椭圆的标准方程为：1（a＞b＞0），
∵离心率为，∴，∴a，............................2分
∵点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最大值为，
∴，∴c＝1,a2＝b2+c2＝b2+1，
解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为1 ........................................5 分
（2）因，与轴不重合，故设的方程为：，.............6分
代入得：，....................................................................7分
其恒成立，设，则有，
...........................9分
又到的距离 ..........................10分
，解得
的方程为：或 ........................................12分
（亦可用）
21.（1）由题意，函数的定义域为,
当时，，
则. ......................................................3分
由解得或；由解得......................5分
所以的单调递增区间是，；单调递减区间是. .............6分
（2）当时，由,只需证明....................7分
令 ，............................................8分
设，则.
当时，，单调递减;
当时，，单调递增,
∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.....................................10分
的最小值是成立.
故成立...........................................12分
- 解析：（1）消去得
直线的普通方程为.......................................................3分
由，
曲线的直角坐标方程为......................................................5分
(2) 由于曲线的直角坐标方程为，则圆心（3,0），，所以圆心到直线的距离 ， .......................7分
根据垂径定理可得，即，..............8分
可求得[来源:Z。xx。k.Com]
实数......................................10分
23.解析：（1）当时,不等式即，化为．
当时，化为：，解得；
当时，化为：，化为：，解得；
当时，化为：，解得．
综上可得：不等式的解集为：；.............5分
（2）由绝对值三角不等式得，
由柯西不等式得
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为．............................................................10分
