2020届云南省曲靖市陆良县高三上学期第二次适应性考试数学（理）试题
展开陆良县2020届高三毕业班第二次适应性考试
理科数学试题卷
（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）
一、选择题:（本大题共12小题.每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为实数，若复数为纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
3.的值等于( )
A. B. C. D.
4.若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
5.在半径为2的圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：
松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如
图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则
输出的（ ）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 9
7.的展开式中，含吧的项的系数是（ ）
A. B. C. D.
8.函数的大致图像是（ ）
9.等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和（ ）
A. B. C. D.
10.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11. 已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面互相垂直，,,,则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B． C. D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分.）
13．已知满足不等式组则的最小值为 __________．
14．曲线在处的切线的倾斜角为__________．
15．各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，则_________．
16．已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为_________．
三、解答题:（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知，设．
（1）求的解析式并求出它的周期；
（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．
18．（本小题满分12分）如图，是半圆的直径，是半圆上除外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，//,,.
（1）证明：平面；
（2）当点为半圆的中点时，求二面角的正弦值.
19.（本小题满分12分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：
个人所得税税率表（调整前） | 个人所得税税率表（调整后） | ||||
免征额3500元 | 免征额5000元 | ||||
级数 | 全月应纳税所得额 | 税率（%） | 级数 | 全月应纳税所得额 | 税率（%） |
1 | 不超过1500元部分 | 3 | 1 | 不超过3000元部分 | 3 |
2 | 超过1500元至4500元的部分 | 10 | 2 | 超过3000元至12000元的部分 | 10 |
3 | 超过4500元至9000元的部分 | 20 | 3 | 超过12000元至25000元的部分 | 20 |
... | ... | ... | ... | ... | ... |
（1)假如小明某月的工资、薪金等税前收入为7500元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？
（2）某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
收入（元） | ||||||
人数 | 40 | 30 | 10 | 8 | 7 | 5 |
先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，求的分布列与数学期望.
20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.
（1）求该椭圆的方程；
（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.
选做题：考生在第22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题号，（本题满分10分）
22.已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于,两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
23.已知，，，函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的最小值为，求的值，并求的最小值．
陆良县2020届高三毕业班第二次适应性考试
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | D | B | B | D | B | C | C | B | A | D | A |
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）
13 | 14 | 15 | 16 |
2 | 150 | 16 |
三、解答题
17.解析：（1）由，
则＝，
即函数的周期，
故，周期为． （6分）
（2）因为，所以， 所以，
又， 所以， 所以，
又，
由余弦定理得： ，
所以， 所以，即. （12分）
18.证明：（1）因为是半圆的直径， 所以
因为平面，所以，
又，所以平面，
∵//,，∴四边形为平行四边形
∴// ∴平面 （6分）
（2）依题意，,如图所示，建立空间直角坐标系,则,，，,
所以,,
设平面的法向量为 则
得
设平面的法向量为 则
得
所以
所以二面角的正弦值为. （12分）
19.解析：（1）按调整起征点前应纳税为：；
按调整起征点后应纳税为：； 元
所以小明实际收入增加了元. （4分）
（2）由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人
的取值可能值
; ;
; ;
所以的分布列为:
（12分）
20.解析：（1）由，又由于，一个长轴顶点在直线上，
可得：，，.
故此椭圆的方程为. （4分）
（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立椭圆的方程得：，
由，可得，
则，，
，
又点到直线的距离，
，
由于，
可得：，
故，
当直线的斜率不存在时，可算得：，
故的面积为定值1. （12分）
21.解析：（1）由题意，函数的定义域为,
当时，恒成立，故的递增区间为；
当时，在区间，时，时，
所以的递增区间为，，递减区间为；
当时，在区间，时，时，
所以的递增区间为，，递减区间为； （5分）
（2）当时，由,只需证明.
令 ，.
设，则.
当时，，单调递减;
当时，，单调递增,
∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.
的最小值是 成立.
故成立. （12分）
22.解析：（1）消由
直线的普通方程为
由，
曲线的直角坐标方程为 （5分）
（2）由于曲线的直角坐标方程为，则圆心（3,0），，
所以圆心到直线的距离 ，
根据垂径定理可得， 即，
可求得 实数. （10分）
23.解析：（1）当时,不等式即，化为．
当时，化为：，解得；
当时，化为：，化为：，解得；
当时，化为：，解得．
综上可得：不等式的解集为：； （5分）
（2）由绝对值三角不等式得
，
由柯西不等式得
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为． （10分）
