2020届云南省昆明第一中学高三第六次考前基础强化数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年云南省昆明第一中学高中新课标高三第六次考前基础强化数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】用列举法表示出集合，再求解出不等式的解集为集合，即可计算出的结果.

【详解】

因为集合，，

所以，，

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集和并集运算，难度较易.

2．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、，则 

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.

【详解】

由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.

【点睛】

本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.

3．设有下面四个命题：

：是为纯虚数的充要条件；

：设复数，，则在复平面内对应的点位于第四象限；

：复数的共轭复数；

：设是虚数，是实数，则.

其中真命题为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【解析】：考虑同为零的情况；：先计算的结果，然后判断所在象限；：计算出，然后即可得到共轭复数；：设，根据是实数得到的关系，由此求解出.

【详解】

命题：若，时，则不是纯虚数，所以为假命题；

命题：，在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，所以为真命题；

命题：，它的共扼复数为，所以为假命题；

命题：设（，且），则，因为是实数，，

所以，即，所以为真命题.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的概念、除法运算以及复数的几何意义，属于综合型问题，难度较易.已知，则为实部，为虚部，共轭复数，复数的模.

4．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据几何概型中的面积模型可知：点取自等腰直角中（阴影部分）的概率等于阴影部分面积比上整个梯形的面积，由此得到结果.

【详解】

在直角中，，，

则.

故选：C.

【点睛】

本题考查几何概型中的面积模型，难度较易.解答问题的关键：将图形的面积比值与概率联系在一起.

5．已知抛物线：的焦点为，点为上一点且，则的面积为（    ）（为坐标原点）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用抛物线的定义求解出点的坐标，然后代入坐标的面积即可计算出.

【详解】

由抛物线的定义得点到准线的距离为4，所以点的横坐标为，

代入抛物线：得，，

所以的面积为.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线中三角形面积求解，涉及到利用抛物线的定义求坐标，难度较易.已知抛物线方程，则抛物线上点到抛物线焦点的距离.

6．在正方体中，分别为棱,的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出几何体，连接，再根据线面关系、线线关系作出判断.

【详解】

如图所示：

连结、，则平面，所以，

又，所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查正方体中线面垂直、线线垂直关系的判断，难度较易.判断时注意根据正方体的几何特点简化判断.

7．已知满足，则的最小值为（    ）

A． B． C．5 D．

【答案】A

【解析】作出不等式表示的可行域，采用平移直线法判断出在何处取最小值，由此得到结果.

【详解】

作出可行域如图所示：

由图可知目标函数在点处取得最小值，因为，所以，

所以，

故选：A.

【点睛】

本题考查利用线性规划求解线性目标函数的最值，难度较易.求解线性目标函数的最值的常用方法：平移直线法，将目标函数的最值与直线的截距联系在一起，利用数形结合思想解决问题.

8．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的定义域计算出导函数的正负，由此判断函数的单调性并判断出图象.

【详解】

因为定义域，所以，

所以在和上单调递减，

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的图象的辨别，难度一般.根据函数解析式辨别函数图象，可以从函数的奇偶性、单调性、特殊点等方面进行分析.

9．定义在上的函数满足的图象关于对称，且在上是减函数，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据条件分析出的奇偶性以及在上的单调性，再根据指、对数函数的单调性分析所给自变量的大小，由此判断出函数值之间的大小关系.

【详解】

因为函数满足的图象关于对称，则图象关于轴对称，则是偶函数且在上是增函数，

因为，，，所以，

故选：C.

【点睛】

本题考查根据函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，难度一般.的图象关于对称的图象关于轴对称是偶函数；的图象关于成中心对称的图象关于成中心对称是奇函数.

10．执行如图所示的程序框图，如果输出的，那么在图中的判断框中可以填入（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据程序框图，将每一次循环对应的结果列出，再根据输出结果是选择判断框中的内容.

【详解】

当时，；当时，；当时，；当时，；

当时，；当时，；当时，，

所以判断框中的内容应填写：，

故选：B.

【点睛】

本题考查补全程序框图中的判断框内容，难度较易.处理此类问题常用的方法是根据循环语句列举出每一步的结果，然后再根据结果进行分析.

11．在中，，，则的最大值为（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】B

【解析】利用正弦定理将边化为角，再根据三角恒等变换中的辅助角公式计算出的最大值即可.

【详解】

因为，

所以，

其中，当取得最大值，存在使得最大值为，

故选：B.

【点睛】

本题考查正弦定理与辅助角公式的综合运用，难度一般.（1）注意，其中；（2）解三角形时，注意隐含条件的运用.

12．已知是双曲线右支上的两点，为坐标原点，则的最小值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【解析】设出点的坐标，根据并结合平方的非负性，计算出的最小值.

【详解】

设，所以，

因为

当且仅当时，即关于轴对称时等号成立，

又因为渐近线方程为：，所以的夹角小于，所以，

所以，

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线中的向量数量积的最值计算，对于分析和转化计算能力要求很高，难度较难.解答问题的关键能将变形为可直接判断大小的式子.

二、填空题

13．已知非零向量，满足，若，则与的夹角为__________．

【答案】

【解析】根据向量垂直对应的数量积为，得到关于的等式，将代入即可计算出的值.

【详解】

因为，所以，

即，解得，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量夹角的计算，难度较易.注意当时，一定有，反之亦成立.

14．曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】先求解出的导函数，再根据导数的几何意义求解出切线的斜率，根据直线的点斜式方程求解出切线方程.

【详解】

因为，由导数的几何意义知在点处的切线斜率，

则在点处的切线方程为：，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查曲线在某点处的切线方程的求解，难度较易.曲线在某点处的切线方程的求解思路：（1）先求导函数；（2）计算该点处的导数值，即为切线斜率；（3）根据直线的点斜式方程求解出切线方程.

15．若，则__________．

【答案】

【解析】先根据条件计算出，然后根据“齐次式”的计算方法，将待求式子变形为关于的形式，从而可求解出结果.

【详解】

由，所以，

而.

故答案为：

【点睛】

本题考查同角的三角函数的基本关系的运用，难度一般.利用“齐次式”的概念进行求值时，若出现的是的形式，考虑分子、分母同除以即可；若出现的是，注意将其补全一个分母以变形为分式结构.

16．已知在半径为3的球面上有四点，若，则四面体体积的最大值为__________．

【答案】

【解析】过作空间四边形的截面，由体积公式可知只需求解出的最大值即可，由此进行分析求解.

【详解】

过作平面，使得平面，交于点，如下图：

设到的距离为，所以，

当球的直径通过的中点时，此时的值最大，且，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查几何体的体积最值与球的综合运用，难度较难.涉及到几何体外接球的问题，注意利用球本身的性质去分析问题，从而达到简化问题的目的.

三、解答题

17．设为等差数列的前项和，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求的最大值及此时的值.

【答案】（1）；（2）当时，有最大值为

【解析】（1）根据已知条件列出关于的方程组，求解出即可求出通项公式；

（2）利用对应为递减等差数列，根据确定出的取值，从而的最大值以及取最大值时的值都可求.

【详解】

（1）设的公差为，由可得，由可得，

所以，所以，

所以；

（2）由，解得，

所以当时，有最大值，此时最大值为.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式以及前项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出的最大值以及取最大值时的值.

18．如图所示的几何体中，平面，，四边形为菱形，，点，分别在棱，上.

（1）若平面，设，求的值；

（2）若，，直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）连接，连接，利用线面平行的性质定理判断出，由此求出的值；

（2）过作且，根据线面角的正切值计算出的长度，即可求解出的面积，再利用体积公式即可计算出三棱锥的体积.

【详解】

（1）连接、，设，因为四边形为菱形，所以为与的中点，

连接，因为平面，且平面平面，所以，

因为为的中点，所以为的中点，即，.

（2）因为，四边形为菱形，，所以，

过作，且，因为，所以，设，则，

因为直线与平面所成角的正切值为，

所以，所以三角形的面积，

而点到平面的距离即点到平面的距离为，由，

所以三棱锥的体积为.

【点睛】

本题考查根据线面平行关系求解参数、已知线面角正切值求解长度、棱锥体积计算，属于综合型问题，难度一般.（1）已知线面平行求解参数时，注意使用线面平行的性质定理分析问题；（2）利用几何方法计算线面角的三角函数值时，可采用找射影点的方法完成求解.

19．我市某区2018年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2019年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2019年2月后该区新建住宅销售均价的数据：

（1）研究发现，3月至7月的各月均价（百元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，求价格（百元/平方米）关于月份的线性回归方程；

（2）用表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值与实际相应月份销售均价差的绝对值记为，即，.若，则将销售均价的数据称为一个“好数据”，现从5个销售均价数据中任取2个，求抽取的2个数据均是“好数据”的概率.

参考公式：回归方程系数公式，；参考数据：，.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）先计算出，然后根据的计算公式求解出，再根据线性回归方程过样本点中心求解出，由此求解出线性回归方程；

（2）先根据定义计算出，利用古典概型的概率计算方法，先列举出所有可能的情况，然后分析其中满足的情况，由此计算出抽取的2个数据均是“好数据”的概率.

【详解】

（1）由表格中的数据，可得，，

所以，则，所以关于的回归方程.

（2）利用（1）中的回归方程为，

可得，，，，，，，，，，

所以，，，，，

即5个销售均价数据中有3个即，，是“好数据”，

从5个销售均价数据中任意抽取2个的所有可能结果：，，，

，，，，，，，共种，

抽取的2个数据均为“好数据”的结果是：，，，共种，

所以.

【点睛】

本题考查线性回归方程的求解和古典概型的概率计算，难度一般.（1）求解回归直线方程中的参数值时，注意回归直线方程过样本点的中心；（2）利用古典概型求解概率时，最常用的方法是列举法，将所有的基本事件列举出来，同时写出目标事件对应的基本事件，根据事件数目即可计算出对应的概率.

20．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆短轴端点，若为直角三角形且周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，直线,斜率的乘积为，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据的形状以及周长，计算出的值，从而椭圆的方程可求；

（2）分类讨论直线的斜率是否存在：若不存在，直接分析计算即可；若存在，联立直线与椭圆方程，得到坐标对应的韦达定理形式，再根据条件将直线方程中的参数关系找到，由此即可化简计算出的取值范围.

【详解】

（1）因为为直角三角形，所以，，

又周长为，所以，故，，，

所以椭圆：.

（2）设，，当直线斜率不存在时，

,，，所以，

又，解得，，.

当直线斜率存在时，设直线方程为，

由得，

得

即，

，

由得，即，

所以

所以.

【点睛】

本题考查直线与椭圆的综合应用，其中涉及到焦点三角形的周长以及向量数量积的取值范围，难度一般.（1）椭圆的焦点三角形的周长为：；（2）椭圆中的向量数量积问题，首选方法：将向量数量积表示为坐标形式，借助韦达定理完成求解.

21．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）先求解出导函数，将其因式分解并根据的取值范围作分类讨论，由此得到函数的单调性；

（2）根据不等式恒成立，对参数分类讨论：，分别判断函数的单调性并根据求解出的取值范围.

【详解】

（1）的定义域为，

因为，

若，则，则在单调递增；

若，则当时，，当时，，

则在单调递减，则单调递增.

（2）由（1）可知，当时，在单调递增，，满足题意；

当时，要使，则，即，

构造，则，故在上单调递增，

又，故当时，，故由得，

当时，当趋于0时，趋于，与题意不符，舍去；

综上，要使，则.

【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及到求解含参函数的单调性和根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.利用导数求解不等式恒成立问题，常用的两种方法：（1）分类讨论法；（2）分离参数法.

22．以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线，，分别与曲线交于极点外的三点.

（1）求的值；

（2）当时，两点在曲线上，求与的值.

【答案】（1）；（2），

【解析】（1）利用极坐标表示出，然后将转化为极径，根据对应的极径即可计算出的值；

（2）先求解出的极坐标将其转化为直角坐标可求斜率，由此先求解出倾斜角的值，再根据点在线上代入求解出的值即可.

【详解】

（1）设点的极坐标分别为,,,

由点在曲线上得：，，，

所以，，

所以；

（2）由曲线的参数方程知，曲线是倾斜角为且过定点的直线，

当时，两点的极坐标分别为，，化为直角坐标为,,

所以，直线的斜率为，所以，

又因为直线的方程为：，

由点在直线上得：.

【点睛】

本题考查极坐标与直角坐标的互化、直线的参数方程化为普通方程、根据点在曲线上求解参数值，难度一般.直角坐标与极坐标的互化公式：.

23．已知函数．

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，即等价于：或或，解出不等式即可；（Ⅱ）所以可化为①，即或，①式恒成立等价于或，据此即可求出结果．

试题解析：解：（Ⅰ）当时，即

等价于：或或解得或或

所以原不等式的解集为：

（Ⅱ）所以可化为①

即或，①式恒成立等价于或

，或，

【考点】1．绝对值不等式；2．恒成立问题．