2020届云南省昆明市第一中学高三第六次考前基础强化数学（理）试题（解析版）

2020届云南省昆明市第一中学高三第六次考前基础强化数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】用列举法表示出集合，再求解出不等式的解集为集合，即可计算出的结果.

【详解】

因为集合，，

所以，，

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集和并集运算，难度较易.

2．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据几何概型中的面积模型可知：点取自等腰直角中（阴影部分）的概率等于阴影部分面积比上整个梯形的面积，由此得到结果.

【详解】

在直角中，，，

则.

故选：C.

【点睛】

本题考查几何概型中的面积模型，难度较易.解答问题的关键：将图形的面积比值与概率联系在一起.

3．设有下面四个命题：

：是为纯虚数的充要条件；

：设复数，，则在复平面内对应的点位于第四象限；

：复数的共轭复数；

：设是虚数，是实数，则.

其中真命题为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【解析】：考虑同为零的情况；：先计算的结果，然后判断所在象限；：计算出，然后即可得到共轭复数；：设，根据是实数得到的关系，由此求解出.

【详解】

命题：若，时，则不是纯虚数，所以为假命题；

命题：，在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，所以为真命题；

命题：，它的共扼复数为，所以为假命题；

命题：设（，且），则，因为是实数，，

所以，即，所以为真命题.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的概念、除法运算以及复数的几何意义，属于综合型问题，难度较易.已知，则为实部，为虚部，共轭复数，复数的模.

4．设为等差数列的前n项和，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设的公差为，根据求出和的关系，代入计算即可.

【详解】

设的公差为，

则，

得，

所以，

故选：A.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式及求和公式，是基础题.

5．已知偶函数在区间上单调递减，，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据是偶函数及得出，，解出的范围即可.

【详解】

由已知，

又偶函数在区间上单调递减

可得:，

所以或，

即或，

故选：D.

【点睛】

考查偶函数的定义，以及减函数的定义，绝对值不等式的解法.

6．若二项式的展开式，二项式系数之和为16，则展开式中的系数为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【解析】二项式系数之和为16得，求得，再通过二项展开式式的通式列方程求得，进而可得展开式中的系数.

【详解】

由展开式中二项式系数之和为，即，

得.

展开式中 ，

令，得，

故的系数为，

故选：C.

【点睛】

本题考查二项展开式中指定项的系数，考查二项式系数的和，是基础题.

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A． B．8

C． D．

【答案】D

【解析】利用正方体可知实线部分为该几何体的直观图，该几何体为四棱锥，求出每个面的面积相加即可.

【详解】

利用正方体可知实线部分为该几何体的直观图，该几何体为四棱锥，

所以该几何体的表面积为，

故选：D.

【点睛】

本题考查通过三视图求几何体的表面积，关键是找到直观图，是基础题.

8．执行如图所示的程序框图，如果输出的，那么在图中的判断框中可以填入（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据程序框图，将每一次循环对应的结果列出，再根据输出结果是选择判断框中的内容.

【详解】

当时，；当时，；当时，；当时，；

当时，；当时，；当时，，

所以判断框中的内容应填写：，

故选：B.

【点睛】

本题考查补全程序框图中的判断框内容，难度较易.处理此类问题常用的方法是根据循环语句列举出每一步的结果，然后再根据结果进行分析.

9．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】A

【解析】化简两个函数得，，根据相位平移可得结果.

【详解】

函数，

向左平移个单位得到函数的图象，

故选A.

【点睛】

本题考查相位平移及三角化简，是基础题.

10．已知抛物线的焦点为F，准线为，点，线段AF交抛物线C于点B，若，则的面积为（    ）

A． B．

C． D．2

【答案】B

【解析】作于，根据点为的三等分点及抛物线的定义可得，进而可得，代入△的面积公式可得答案.

【详解】

由已知得：点为的三等分点，作于（如图），

则，

所以，

由得，

所以△的面积为：，

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的定义及性质，关键是抛物线焦半径公式的灵活应用，是基础题.

11．设函数，其中，存在，使得成立，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数可以看作点与点之间距离的平方，进而转化为曲线上的点到直线距离平方的最小值问题，利用导数找到上距离直线的最小的点，再利用垂直关系列方程求解.

【详解】

函数可以看作点与点之间距离的平方，

可将问题转化为曲线上的点到直线距离平方的最小值为，

又，令，得，即上的点到直线的距离最小，

所以，解得，

故选：A.

【点睛】

本题考查导数几何意义的应用，关键是将函数可以看作点与点之间距离的平方，构造函数解决问题，是中档题.

12．如果有穷数列（n为正整数）满足条件，即，我们称其为“对称数列”，例如：由组合数组成的数列就是“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中是首项为50 ，公差为的等差数列，记的各项和为，则的最大值为（  ）

A．622 B．624 C．626 D．628

【答案】C

【解析】利用等差数列的求和公式可求得，从而可得，从而可得答案；

【详解】

由已知得

，

当时，取到最大值，且最大值为.

故选：C.

【点睛】

本题考查数列的求和，突出考查等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题.

二、填空题

13．已知非零向量，满足，若，则与的夹角为__________．

【答案】

【解析】根据向量垂直对应的数量积为，得到关于的等式，将代入即可计算出的值.

【详解】

因为，所以，

即，解得，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量夹角的计算，难度较易.注意当时，一定有，反之亦成立.

14．已知满足，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】作出表示的可行区域，根据图像得出在点处取得最小值，求出点，代入即可.

【详解】

作出表示的可行区域，如图

可知目标函数在点处取得最小值，

联立，解得，

则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查线性规划求目标函数的最值，关键是准确画出可行域，是基础题.

15．已知双曲线的右焦点为F，左右顶点分别为A，B，点P为该双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为__________．

【答案】

【解析】由若，可得，转化为，解方程即可.

【详解】

因为，

而，

所以，

所以，

解得：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率的求解，关键是要建立的等量关系，是中档题.

16．已知在半径为3的球面上有四点，若，则四面体体积的最大值为__________．

【答案】

【解析】过作空间四边形的截面，由体积公式可知只需求解出的最大值即可，由此进行分析求解.

【详解】

过作平面，使得平面，交于点，如下图：

设到的距离为，所以，

当球的直径通过的中点时，此时的值最大，且，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查几何体的体积最值与球的综合运用，难度较难.涉及到几何体外接球的问题，注意利用球本身的性质去分析问题，从而达到简化问题的目的.

三、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，

（1）求A

（2）若，求的取值范围

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由正弦定理可得，整理代入余弦定理可得答案；

（2）利用正弦定理可得，根据，利用正弦函数的性质可得取值范围.

【详解】

解：（1）由得，

整理得，

，又，

.

（2）由得，

因为，

，可得，

所以的取值范围.

【点睛】

本题考查正弦定理余弦定理的应用，考查三角函数值域的求解，注意自变量的取值范围，是中档题.

18．如图所示的几何体中，平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，点M，N分别在棱FD，ED上.

（1）若平面MAC，设，求的值；

（2）若，平面AEN平面EDC所成的锐二面角为，求BE的长.

【答案】（1）（2）2

【解析】（1）连接，，设，可得∥平面，进而可得∥，由中位线的性质可得答案；

（2）如图建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式列方程求解.

【详解】

（1）解：连接，，设，

因为四边形为菱形，所以为与的中点，

连接，因为∥平面，且平面平面，

所以∥，

因为为的中点，所以为的中点，

即；

（2），又四边形ABCD为菱形，

则四边形ABCD为正方形，

，

又因为平面，可如图建立空间直角坐标系，

则，，，

设，则，

因为，所以，

所以，

设平面的法向量为，

又，

由 即，取，

设平面的法向量为，

又

由 得，取，

因为平面与平面 所成的锐二面角为，

所以，

解得，即的长为.

【点睛】

本题考查线面平行的性质，考查向量法求二面角，考查学生的计算能力与推理能力，是中档题.

19．我市某区2018年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2019年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2019年2月后该区新建住宅销售均价的数据：

（1）研究发现，3月至7月的各月均价（百元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，求价格（百元/平方米）关于月份的线性回归方程；

（2）用表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值与实际相应月份销售均价差的绝对值记为，即，.若，则将销售均价的数据称为一个“好数据”，现从5个销售均价数据中任取2个，求抽取的2个数据均是“好数据”的概率.

参考公式：回归方程系数公式，；参考数据：，.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）先计算出，然后根据的计算公式求解出，再根据线性回归方程过样本点中心求解出，由此求解出线性回归方程；

（2）先根据定义计算出，利用古典概型的概率计算方法，先列举出所有可能的情况，然后分析其中满足的情况，由此计算出抽取的2个数据均是“好数据”的概率.

【详解】

（1）由表格中的数据，可得，，

所以，则，所以关于的回归方程.

（2）利用（1）中的回归方程为，

可得，，，，，，，，，，

所以，，，，，

即5个销售均价数据中有3个即，，是“好数据”，

从5个销售均价数据中任意抽取2个的所有可能结果：，，，

，，，，，，，共种，

抽取的2个数据均为“好数据”的结果是：，，，共种，

所以.

【点睛】

本题考查线性回归方程的求解和古典概型的概率计算，难度一般.（1）求解回归直线方程中的参数值时，注意回归直线方程过样本点的中心；（2）利用古典概型求解概率时，最常用的方法是列举法，将所有的基本事件列举出来，同时写出目标事件对应的基本事件，根据事件数目即可计算出对应的概率.

20．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆短轴端点，若为直角三角形且周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，直线,斜率的乘积为，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据的形状以及周长，计算出的值，从而椭圆的方程可求；

（2）分类讨论直线的斜率是否存在：若不存在，直接分析计算即可；若存在，联立直线与椭圆方程，得到坐标对应的韦达定理形式，再根据条件将直线方程中的参数关系找到，由此即可化简计算出的取值范围.

【详解】

（1）因为为直角三角形，所以，，

又周长为，所以，故，，，

所以椭圆：.

（2）设，，当直线斜率不存在时，

,，，所以，

又，解得，，.

当直线斜率存在时，设直线方程为，

由得，

得

即，

，

由得，即，

所以

所以.

【点睛】

本题考查直线与椭圆的综合应用，其中涉及到焦点三角形的周长以及向量数量积的取值范围，难度一般.（1）椭圆的焦点三角形的周长为：；（2）椭圆中的向量数量积问题，首选方法：将向量数量积表示为坐标形式，借助韦达定理完成求解.

21．已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）对求导，然后对分类讨论即可求出的单调区间；
（2）根据的单调性，得出，必有，即，构造，求导，得出在上单调递增，故由得，接下来验证当时的零点情况即可.

【详解】

解：（1）的定义域为，

因为，

若，则，则在单调递增；

若，则当时，，当时，，

则在单调递减，则单调递增；            

（2）由（1）可知，要使有两个零点，则，

则，即，

构造，则，故在上单调递增，

又，故当时，，故由得，

当时，由，则

结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，

构造，，则，

故在单调递减，又，故，即，

则，故，

则，则，又，

结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，

综上，当有两个零点时，.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属难题.

22．以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线，，分别与曲线交于极点外的三点.

（1）求的值；

（2）当时，两点在曲线上，求与的值.

【答案】（1）；（2），

【解析】（1）利用极坐标表示出，然后将转化为极径，根据对应的极径即可计算出的值；

（2）先求解出的极坐标将其转化为直角坐标可求斜率，由此先求解出倾斜角的值，再根据点在线上代入求解出的值即可.

【详解】

（1）设点的极坐标分别为,,,

由点在曲线上得：，，，

所以，，

所以；

（2）由曲线的参数方程知，曲线是倾斜角为且过定点的直线，

当时，两点的极坐标分别为，，化为直角坐标为,,

所以，直线的斜率为，所以，

又因为直线的方程为：，

由点在直线上得：.

【点睛】

本题考查极坐标与直角坐标的互化、直线的参数方程化为普通方程、根据点在曲线上求解参数值，难度一般.直角坐标与极坐标的互化公式：.

23．已知函数．

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，即等价于：或或，解出不等式即可；（Ⅱ）所以可化为①，即或，①式恒成立等价于或，据此即可求出结果．

试题解析：解：（Ⅰ）当时，即

等价于：或或解得或或

所以原不等式的解集为：

（Ⅱ）所以可化为①

即或，①式恒成立等价于或

，或，

【考点】1．绝对值不等式；2．恒成立问题．