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    2020届天一大联考海南省高三年级第一次模拟考试数学试题(解析版)

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    2020届天一大联考海南省高三年级第一次模拟考试数学试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,则集合的子集的个数为(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】根据已知条件,求出,再根据子集的含义得出答案.

    【详解】

    ,则集合的子集的个数为.

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查集合的子集个数,需要学生理解和子集的含义,属于基础概念的考查.

    2   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】根据复数的除法运算,化简即可.

    【详解】

    .

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查复数的除法运算,属于简单题.

    3.祖暅原理幂势既同,则积不容异中的指面积,即是高,意思是:若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等,则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为,它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为,则恒成立的(   

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【解析】根据充分条件和必要条件的定义,结合祖暅原理进行判断即可.

    【详解】

    根据祖暅原理,由恒成立可得到,反之不一定.

    解:由祖暅原理知,若总相等,则相等成立,即充分性成立,

    相等,则只需要底面积和高相等即可,则不一定相等,即必要性不成立,

    恒成立的充分不必要条件.

    故选:A.

    【点睛】

    本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合祖暅原理是解决本题的关键.考查学生的推理能力.

    4.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线,再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线,则的解析式为(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】由三角函数平移和伸缩的性质,以及运用诱导公式化简,便可得出答案.

    【详解】

    将函数的图象向左平移个单位长度后,

    得到曲线的解析式为

    再将上所有点的横坐标伸长到原来的,

    得到曲线的解析式为.

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查三角函数图像的平移伸缩,结合应用诱导公式化简,属于简单题.

    5.不等式的解集为(   

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】利用幂函数的定义域和单调递增,列式,解不等式即可得出解集.

    【详解】

    原不等式等价于,解得.

    即解集为:

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查幂函数的定义域和单调性的应用,以及一元二次不等式的解法,同时考查知识点间的转化运用.

    6.已知是不同的直线,是不同的平面,给出以下四个命题:

    ,则,则

    ,则,则.

    其中真命题的序号是(   

    A①② B③④ C②③ D

    【答案】B

    【解析】根据线面和面面平行垂直的性质分别进行判断即可.

    【详解】

    解:,则或者,也有可能是相交的;故错误,

    ,则或者异面,也有可能相交;故错误,

    ,则;故正确,

    ,则,故正确,

    故选:B.

    【点睛】

    本题主要考查命题的真假判断,涉及空间直线平行和垂直以及面面平行和垂直的性质和判断,结合相应的定理是解决本题的关键.

    7.函数的图象大致为(   

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】观察选项中的图象,代入特殊值时,,排除,根据换元求二次函数最值和对称轴,即可得出正确选项.

    【详解】

    时,,排除

    当且仅当,即时,,排除选项.

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查函数图象的识别,一般通过代入特殊值、值域、奇偶性、单调性以及零点个数等来排除.

    8.如图所示,矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上,另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4,则围成矩形ABCD所需要篱笆的(   

    A.最小长度为8 B.最小长度为 C.最大长度为8 D.最大长度为

    【答案】B

    【解析】,得到,所求的篱笆长度为,根据基本不等式,得到最小值.

    【详解】

    因为矩形的面积为,所以

    所以围成矩形所需要的篱笆长度为

    当且仅当时,等号成立.

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查基本不等式求和的最小值,属于简单题.

    9.若,则的大小关系为(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】通过对数的运算进行化简以及对数单调性,得出,根据指数函数单调性得出

    ,利用公式,得出,即可比较出的大小.

    【详解】

    因为

    所以.

    即:.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查指数函数和对数函数的单调性,还利用对数函数的运算公式进行数据比较大小,属于知识点的转化应用.

    10.如图为函数的图象,为图象与轴的三个交点,为函数图象在轴右侧部分上的第一个最大值点,则的值为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】根据题意,由函数的图象,可得出顶点和最高最低点坐标,求出相应向量坐标,利用向量的数量积,即可求出答案.

    【详解】

    的中点为的中点为,则

    所以.

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查向量的数量积,通过利用三角函数的性质以及向量的坐标和数量积公式.

    11.已知,若存在,使不等式成立,则的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】由题意,利用分离参数法求出,求函数的最小值,即可求得的取值范围.

    【详解】

    因为,所以.

    即:

    因为存在使不等式成立,

    所以.

    即:的取值范围是.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围,通过分离参数法,将不等式恒成立问题转化成求函数最值问题,属于中等题目.

    12.已知函数.,则函数上的零点之和为(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】,求出分段函数的解析式,得出函数的周期性为2,将函数的零点转化为的零点,即可求出零点之和.

    【详解】

    因为,所以解得

    所以所以上是周期为的函数,

    上的所有零点为

    所以上的所有零点为的零点且

    所以,解得),

    所以函数上的零点之和为

    .

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查复合函数的零点问题,还涉及分段函数的解析式、周期性等,同时考查学生的转化和理解能力.

     

     

    二、填空题

    13.函数的图象在点处的切线的倾斜角为______.

    【答案】

    【解析】求导,求出,即可得出切线斜率,根据斜率和倾斜角关系,即可得出答案.

    【详解】

    由题意得,所以

    所以函数的图象在处的切线的斜率为,倾斜角为.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查通过导数求切线的斜率,以及斜率和倾斜角关系式,属于基础题.

    14.已知向量.,则的值为______.

    【答案】

    【解析】由两向量共线的公式:,代数即可求出结果.

    【详解】

    因为,所以,所以.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查平面向量的共线公式,考查对公式的识记.

    15.在四棱锥中,若平面,则该四棱锥的外接球的体积为______.

    【答案】

    【解析】通过补形法,将四棱锥的外接球,转化成正六棱柱的外接球,利用,求出球的半径,即可求出四棱锥的外接球的体积.

    【详解】

    由已知可得四边形为一个等腰梯形.

    将四棱锥补成一个正六棱柱

    四棱锥的外接球即为正六棱柱的外接球为,

    设正六棱柱的上下底面的中心分别为,则的中点为外接球的球心

    因为

    所以外接球的半径

    所以该四棱锥的外接球的体积为.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查四棱锥的外接球的体积,通过补形法以及运用球的体积公式,还考查空间想象能力和计算能力.

    16.顶角为的等腰三角形称为黄金三角形,黄金三角形看起来标准又美观.如图所示,是黄金三角形,,作的平分线交于点,易知也是黄金三角形.,则______;借助黄金三角形可计算______.

    【答案】       

    【解析】根据题意,得出,求出,再利用两角和与差公式以及余弦定理求出,利用诱导公式,即可求出.

    【详解】

    由题可得

    所以,得,且.

    ,则,所以

    可解得.

    因为.

    中,根据余弦定理可得

    所以.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查三角形相关的角的正弦值和余弦值,其中运用相似三角形和余弦定理,以及两角和与差公式和诱导公式化简.

     

    三、解答题

    17.已知是数列的前项和,且.

    1)求的通项公式;

    2)设,求数列的前项和.

    【答案】1;(2

    【解析】1)根据,再利用递推公式,证出为等比数列,且可得出首项和公差,即可求出通项公式;

     

    2)利用对数的运算化简,得出,再根据裂项相消法求数列的前项和.

    【详解】

    1)因为

    所以.

    相减得

    所以

    所以.

    ,解得

    所以是以为首项,为公比的等比数列,所以

    的通项公式为.

    2)由(1)可得.

    所以

    .

    【点睛】

    本题考查等比数列的通项公式和利用裂项相消法求数列前项和,还结合运用递推关系证明等比数列以及,属于常考题型.

    18.在平面四边形中,已知.

    1)若,求的长;

    2)若,求证:.

    【答案】1;(2)见解析

    【解析】1)根据题意,得出,再利用正弦定理求得,结合已知条件,即可求出的长;

     

    2)利用余弦定理以及三角形的内角和,得出,通过判断三角形中边角关系,即可得出结论.

    【详解】

    1)由已知得,所以.

    因为,所以.

    所以.

    中,由正弦定理得,所以

    所以.

    ,所以.

    2)在中,由余弦定理得.

    中,由余弦定理得

    .

    因为

    所以

    .

    ,所以

    所以.

    【点睛】

    本题考查正弦定理和余弦定理的应用,通过正弦定理和余弦定理、以及三角形边和角的有关性质等,同时考查学生化归和转化思想.

    19.如图(1),在平面五边形中,已知四边形为正方形,为正三角形.沿着将四边形折起得到四棱锥,使得平面平面,设在线段上且满足在线段上且满足的重心,如图(2.

    1)求证:平面

    2)求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】1)见解析;(2

    【解析】1)取的中点的中点,连接,可知三点共线,三点共线.,因而可得的重心,再利用线面平行的判定,及可证出;

     

    2)根据条件,通过面面垂直的性质,证出平面,建立空间直角坐标系,标点,求及平面的法向量为,通过利用空间向量法求出线面角.

    【详解】

    1)如图,取的中点的中点,连接.

    由已知易得三点共线,三点共线.

    因为,所以.

    的重心,所以

    所以.

    因为平面平面

    所以平面.

    2)在中,因为的中点,所以.

    因为平面平面,平面平面平面

    所以平面.

    由(1)得,.

    所以两两垂直,如图,

    分别以射线的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.

    ,因为,所以

    所以.

    所以.

    所以.

    设平面的法向量为,则

    所以,则,所以可取.

    设直线与平面所成的角为,则

    .

    【点睛】

    本题主要考查线面平行的判定和通过向量法求线面夹角,还涉及三点共线、重心、面面垂直的性质等知识点相结合,同时考查空间思维能力和想象能力.

    20.某大型企业生产的某批产品细分为个等级,为了了解这批产品的等级分布情况,从仓库存放的件产品中随机抽取件进行检测、分类和统计,并依据以下规则对产品进行打分:级或级产品打分;级或级产品打分;级、级、级或级产品打分;其余产品打.现在有如下检测统计表:

    等级

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    频数

    10

    90

    100

    200

    200

    100

    100

    100

    70

    30

     

    规定:打分不低于分的为优良级.

    1试估计该企业库存的件产品为优良级的概率;

    请估计该企业库存的件产品的平均得分.

    2)从该企业库存的件产品中随机抽取件,请估计这件产品的打分之和为分的概率.

    【答案】1②78;(2

    【解析】1)根据统计表,分别求出在件产品中,分别求出打分为分、分、分、分对应的概率,则优良级的概率即为分、分对应的概率之和;

     

    2)利用平均数公式,即可估计出件产品的平均得分;

    3)由题可知,件产品的打分之和为分,即为或者,再根据二项分布以及分类加法原则,求出概率.

    【详解】

    解:在件产品中,设任意件产品打分为分、分、分、分,

    分别记为事件,由统计表可得,

    .

    1估计该企业库存的件产品为优良级的概率为

    .

    估计该企业库存的件产品的平均得分为

    ().

    2)因为

    所以从该企业库存的件产品随机抽取件,估计这件产品的打分之和为分的概率为.

    【点睛】

    本题考查通过频率分布表求频率和平均数,其中还运用二项分布以及分类加法原则,属于基础题.

    21.已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.

    1)求抛物线的方程;

    2)若过的直线与圆切于点,与抛物线交于点,证明:.

    【答案】1;(2)见解析

    【解析】1)通过抛物线的性质,列式求出,即可得出抛物线的方程;

     

    2)根据题意,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的的距离,联立方程,写出韦达定理,再利用弦长公式求出,再通过新函数的单调性,证明出.

    【详解】

    1)由已知可得,解得.

    所以抛物线的方程为.

    2)设直线的方程为,因为直线与圆相切,

    所以,即.

    联立消去

    所以.

    因为

    所以.

    因为单调递增,所以

    所以.

    【点睛】

    本题考查抛物线的标准方程,运用抛物线的定义和性质、直线与圆的位置关系、韦达定理、弦长公式,以及直线与圆相切、点到直线的距离公式,属于综合题.

    22.设函数.

    1)当时,求的值域;

    2)当时,不等式恒成立(的导函数),求实数的取值范围.

    【答案】1;(2

    【解析】1)求导,令,求出极值点,利用导数求出函数的单调性,即可得出内的最值,即可得出值域;

     

    2)根据题意,构造新函数,将不等式的恒成立问题,转化为在的恒成立问题,求导,再二次求导,通过单调性求出最值,即可求出参数的取值范围.

    【详解】

    1)由题可得.

    ,得.

    时,,当时,

    所以

    .

    因为,所以

    所以的值域为.

    2)由

    .

    ,则.

    ,则.

    时,,所以.

    所以上单调递增,则.

    ,则,所以上单调递增.

    所以恒成立,符合题意.

    ,则,必存在正实数

    满足:当时,单调递减,此时,不符合题意.

    综上所述,的取值范围是.

    【点睛】

    本题考查通过导数研究函数的单调性、最值以及恒成立问题,属于综合题,同时考查学生的综合分析能力和解题计算能力.

     

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