海南省海口市2020届高三高考模拟演练数学试题
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数学试卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则其共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
4．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（ ）
A．2566 B．2567 C．2568 D．2569
5．一个底面边长为3的正三棱锥的体积与表面积为24的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．12
6．已知直线与圆相交所得弦长为4，则（ ）
A．-9 B．1 C．1或-2 D．1或-9
7．设p：“函数在上单调递减”，q：“，”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若对任意，都有，则满足条件的有序实数对的对数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的离心率，C上的点到其焦点的最短距离为1，则（ ）
A．C的焦点坐标为
B．C的渐近线方程为
C．点在C上
D．直线与C恒有两个交点
11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
所需时间（分钟） | 30 | 40 | 50 | 60 |
线路一 | 0.5 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
线路二 | 0.3 | 0.5 | 0.1 | 0.1 |
则下列说法正确的是（ ）
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
12．如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．该三棱柱的外接球的表面积为
C．异面直线与所成角的正切值为
D．二面角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，本届冬奥会比赛共设15个项目，其中包含5个冰上项目和10个雪上项目．李华计划从中选1个冰上项目和2个雪上项目去现场观看，则共有_________种不同的选法．
14．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边上有一点，则__________．
15．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点．若，且的面积为，则__________．
16．已知函数的图象关于点对称，则__________，若对于总有成立，则a的取值范围是__________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在①，，②，，③，三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答．
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，__________，求b．
18．（12分）
已知等差数列的前n项和为，满足，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．
19．（12分）
如图，三棱锥中，，是正三角形，且平面平面ABC，，E，G分别为AB，BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面ABD；
（Ⅱ）若F是线段DE的中点，求AC与平面FGC所成角的正弦值．
20．（12分）
某病毒研究所为了研究温度对某种病毒的影响，在温度t（℃）逐渐升高时，连续测20次病毒的活性指标值y，实验数据处理后得到下面的散点图，将第1～14组数据定为A组，第15～20组数据定为B组．
（Ⅰ）某研究员准备直接根据全部20组数据用线性回归模型拟合y与t的关系，你认为是否合理？请从统计学的角度简要说明理由．
（Ⅱ）若根据A组数据得到回归模型，根据B组数据得到回归模型，以活性指标值大于5为标准，估计这种病毒适宜生存的温度范围（结果精确到0.1）．
（Ⅲ）根据实验数据计算可得：A组中活性指标值的平均数，方差；B组中活性指标值的平均数，方差．请根据以上数据计算全部20组活性指标值的平均数和方差．
21．（12分）
已知椭圆的左顶点为A，O为坐标原点，，C的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知不经过点A的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的中点为B，若，求证：直线l过定点．
22．（12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，讨论关于x的方程在区间上实根的个数．
2020年海口市高考模拟演练
数学答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．【答案】D
【命题意图】本题考查集合的表示及运算．
【解析】依题意，，
所以，所以．
2．【答案】B
【命题意图】本题考查复数的基本运算和共轭复数的概念．
【解析】因为，所以．
3．【答案】A
【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算．
【解析】因为，，
所以，
因为，所以，解得．
4．【答案】B
【命题意图】本题考查对数的有关运算．
【解析】由题可知，．
因为，所以，所以的整数部分为2567．
5．【答案】C
【命题意图】本题考查空间几何体的有关运算．
【解析】因为正方体的表面积为24，所以棱长为2，其体积为．
因为正三棱锥的体积与正方体的体积相等，
设正三棱锥的高为h，所以，解得．
6．【答案】D
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系．
【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为，
直线与圆相交所得弦长为4，
所以，所以，
解得或．
7．【答案】B
【命题意图】本题考查充分条件和必要条件的判断．
【解析】因为函数在上单调递减，所以，即．
因为时，，
所以“，”等价于，即，
因为集合，所以p是q的必要不充分条件．
8．【答案】C
【命题意图】本题考查三角函数的性质．
【解析】，
由条件知．若，
由且，得；
若，，
则，所以，
又，则．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．【答案】ABD
【命题意图】本题考查等比数列的有关计算．
【解析】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；
，选项B正确；
，所以，选项C错误；
，而，选项D正确．
10．【答案】BC
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和性质．
【解析】由已知得所以所以，所以双曲线C的方程为．
所以C的焦点为，A错误．
C的渐近线方程为，所以B正确．
因为，所以点在C上，选项C正确．
直线即，恒过点，
当时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点．
11．【答案】B
【命题意图】本题考查事件与概率的概念，及概率的应用．
【解析】“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；
线路一所需的平均时间为分钟，
线路二所需的平均时间为分钟，
所以线路一比线路二更节省时间，B正确；
线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，C错误；
所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为，和三种情况，概率为，D正确．
12．【答案】AD
【命题意图】本题考查立体几何中的关系和计算．
【解析】在直三棱柱中，四边形是矩形，
因为，所以，所以平面，A项正确．
因为，所以，
因为，所以，所以，
易知是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误．
因为，所以异面直线与所成角为．
在中，，，
所以，所以C项错误．
二面角即二面角，
以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
故二面角的余弦值为，所以D项正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】225
【命题意图】本题考查排列组合的应用．
【解析】不同的选法有种．
14．【答案】-4
【命题意图】本题考查三角函数的定义、三角恒等变换．
【解析】因为角的终边上有一点，所以．
所以
．
15．【答案】2
【命题意图】本题考查抛物线的标准方程和性质．
【解析】由条件知，所以，所以，
由抛物线的准线为，及抛物线的定义可知，P点的横坐标为，
不妨设点P在x轴上方，则P的纵坐标为，
所以，解得．
16．【答案】1；
【命题意图】本题考查函数的性质与图象、导数的应用．
【解析】由条件知的图象可由奇函数的图象上下平移得到，
所以的图象关于点对称，所以．所以．
当时，恒成立．
当时，等价于．
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【命题意图】本题考查解三角形、正弦定理和余弦定理的应用．
【解析】（方法一）选①：，．
因为，，
所以．
由，解得．
由余弦定理得，
所以．
（方法二）选②：，．
因为，，所以．
因为，所以．
所以，由正弦定理可得．
所以，所以．
（方法三）选③：，．
因为，得．
又因为，所以．
因为，，
所以，且．
根据正弦定理，可得．
所以，解得．
18．【命题意图】本题考查等差数列的基本运算以及数列求和．
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d．
由题意得
解得所以．
（Ⅱ）由题意得
，
．
19．【命题意图】本题考查线面垂直的证明及空间角的计算、空间向量的应用．
【解析】（Ⅰ）因为E，G分别为AB，BC的中点，所以．
因为，平面平面ABC，
平面平面，
所以平面ABD．
所以平面ABD．
（Ⅱ）因为是正三角形，所以．
又由（Ⅰ）知平面ABD，即EG，AB，DE两两垂直，
则以E为坐标原点，分别以，，的方向为
x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，是正三角形，
所以，，，
，，．
因为F是DE的中点，所以．
，，．
设平面FGC的一个法向量为，
所以
令，则，，所以．
设AC与平面FGC所成的角为，
则．
20．【命题意图】本题考查线性回归分析的基本思想和应用，以及平均数与方差的计算公式．
【解析】（Ⅰ）不合理．
从散点图上看：①A组数据呈正相关，B组数据呈负相关，
两部分数据的变化趋势明显不同，不适合用同一个线性模型来拟合．
②20个样本点的分布比较分散，没有明显的沿直线分布的趋势，
故不适合用线性回归模型来拟合．
（以上给出了2种理由，答出任意一种或其他合理理由均可得分）
（Ⅱ）令，得；令，得．
由散点图可知，这种病毒的活性指标值先随温度升高而升高，
到达一定温度后，开始随温度升高而降低，
所以这种病毒适宜生存的温度范围是．
（Ⅲ）全部20组活性指标值的平均数为
．
因为，
，
所以全部20组活性指标值的方差为
．
21．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和性质．
【解析】（Ⅰ）由已知，所以，
设椭圆C的半焦距为c．
因为，所以，所以，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意知．联立
得．
由题意知，
．（*）
设，，
则，．
因为，B为线段MN的中点，
所以，
所以．
又，，
，
所以，
所以．
整理得，
得或．
当时，l的方程为，
过定点，不符合题意；
当时，l的方程为，
过定点，经检验，符合（*）式．
综上所述，直线l过定点．
22．【命题意图】本题考查导数在研究函数中的应用．
【解析】（Ⅰ）由条件，得
令，得．
当时，由，得，
由，得．
所以的单调增区间是，单调减区间是．
当时，由，得，
由，得．
所以的单调增区间是，单调减区间是．
（Ⅱ）因为，
所以是方程的实根．
当时，由（Ⅰ）知单调递增，
所以．
而，
所以方程在区间上无实根．
当时，．
设，
则．
设，
当时，，
所以在上单调递增．
①当，即时，在区间上，
总有，从而，
所以在上单调递增，，
即原方程在上无实根．
②当，即时，
因为，
所以存在，满足．
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增．
又因为，，
所以当，即时，
原方程在上有唯一实根，
当，即时，原方程在上无实根；
综上所述，当或时，
原方程在上仅有一个实根；
当时，原方程在上有两个实根．
