2020年浙江省宁波市中考数学全景模拟试卷（三） 解析版


2020年浙江省宁波市中考数学全景模拟试卷（三）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣6的相反数是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．
2．（4分）方程x﹣2＝﹣3的解是（　　）
A．x＝﹣5 B．x＝5 C．x＝﹣1 D．x＝1
3．（4分）下列图形，轴对称图形有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（4分）如图，a∥b，∠1＝67°，则∠2的度数为（　　）

A．67° B．157° C．112° D．113°
5．（4分）不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣1 B．﹣1＜x≤2 C．x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
6．（4分）下列各点，在一次函数y＝﹣x+1的图象上的是（　　）
A．（0，1） B．（﹣1，） C．（1，） D．（3，0）
7．（4分）如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（　　）

A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）
C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）
8．（4分）反比例函数y＝﹣的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y2 C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2
9．（4分）如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．6﹣ D．3﹣1
10．（4分）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形ABCD的面积为S1，四边形DCEG的面积为S2，△GEF的面积为S3，四边形HGFP的面积为S4．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）

A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
二、填空题（每小题5分，共30分)
11．（5分）将分式化简的结果是　 　．
12．（5分）一个矩形的面积为m2+8m，若一边长为m，则其邻边长为　 　．
13．（5分）已知sinα＝（α为锐角），则tanα＝　 　．
14．（5分）图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知的长是　 　m．

15．（5分）如图，反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象与矩形ABCD的边AB，AD分别交于点G，H，点G与点B关于x轴对称，点H与点D关于y轴对称．若△AGH的面积为2，矩形ABCD的面积为17，则k的值为　 　．

16．（5分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝∠ACB，BC＝6，则边AB的取值范围是　 　．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：﹣32+（4﹣π）0+（﹣1）﹣2﹣．
（2）化简：．
18．（8分）小军是这样完成“过直线AB上的点O作直线AB的垂线OP”这项任务的．“如图，①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于OM的长为半径在直线AB同侧作弧，交于点P；③作直线OP，则OP⊥AB．
你认为小军的作法正确吗？如果正确，请你给出证明；如果不正确，请指出错在哪里．

19．（8分）系统找不到该试题
20．（10分）国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了解这项政策的落实情况，有关部门就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校随机抽查了部分学生，再根据活动时间t（小时）进行分组（A组：t＜0.5，B组：0.5≤t＜1，C组：1≤t＜1.5，D组：t≥1.5），绘制成如下两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）此次抽查的学生数为　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）从抽查的学生中随机询问一名学生，该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是　 　；
（4）若当天在校学生数为1200人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有　 　人．

21．（10分）【建立模型】
问题1 找规律：1，4，7，10，13，16，则第n个数是_____．
分析建模：相邻的两个数中，后一个数减去前一个数的差都相等，具有这样规律的问题称为一次等差问题，可用一次函数来解决．我们设第一个数为a1，第n个数为an，则有an＝a1+（n﹣1）d，其中d为后一个数减去前一个数的差．如问题1的答案为3n﹣2．
问题2 找规律：1，4，10，19，31，46，64，…则第n个数是_____．
分析建模：相邻的两个数中，后一个数减去前一个数的差并不相等，但再用后一个差减去前一个差所得到的第二次的差都相等．具有这样规律问题称为二次等差问题，可用二次函数来解决，我们设第一个数为a1，第n个数为an，则有an＝an2+bn+c，然后将前三个数代入，通过解方程组可求得a，b，c的值．如问题2的答案为n2n+1．
【解答问题】
（1）找规律：﹣47，﹣34，﹣21，﹣8，5，18，…，则第n个数是　 　．
（2）找规律：﹣12，﹣10，﹣6，0，8，18，…，则第n个数是　 　．
（3）第（1）题中的第n个数和第（2）题中的第n个数会相同吗？如果有可能相同，请求出n的值；如果不可
能相同，请说明理由．
（4）若第（1）题中的第n个数大于第（2）题中的第n个数，则n＝　 　；若第（1）题中的第n个数小于第
题中的第n个数，则n的取值范围为　 　．
22．（10分）本题所述的直角三角形均指直角边不相等的直角三角形，画图时写出简要的画法，能从中理解你画图的过程．
（1）判断下面的命题是真命题还是假命题，并画图说明．
①任意一个三角形都可以分成两个直角三角形；
②任意直角三角形都可以分成两个等腰三角形．
（2）请画图说明：任意一个三角形均可分成一个直角三角形和两个等腰三角形．
（3）请画图说明：任意一个直角三角形均可分成三个等腰三角形．
23．（12分）已知二次函数y＝﹣2（x+a）2﹣3a+2的图象的顶点为P，直线y＝kx+b分别交x轴，y轴于点A（10，0），B（0，10）．
（1）如图1，若点P在△AOB内（不包括三边），求a的取值范围．
（2）如图2，点C（，y1），D（，y2），均在该二次函数的图象上，且y1＞y2，求a的取值范围．
（3）如图3，连结PO，PA，是否存在点P，使得△POA为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．（14分）定义：有一组对角互余的四边形叫做余对角四边形．
如图1，AB是半圆O的直径，C，D，E三点在半圆O上按顺时针排列，AE与BC相交于点G．
（1）求证：四边形DCGE是余对角四边形．
（2）如图2，当∠ABD＝∠BGE时，求证：tan∠DCB＝．
（3）如图3，在（2）的条件下，P是直径AB上一点，DP交CB于点M，∠DPA＝2∠1+∠2，DA＝3AC，PM＝1．
①求的值；
②求线段GE的长．


2020年浙江省宁波市中考数学全景模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．【解答】解：﹣6的相反数是6，故选：A．
2．【解答】解：x﹣2＝﹣3，
x＝﹣3+2，
x＝﹣1．
故选：C．
3．【解答】解：由图可得，第一个图是轴对称图形；
第二个图是轴对称图形；
第三个图是轴对称图形；
第四个图不是轴对称图形；
所以轴对称图形有3个，
故选：C．
4．【解答】解：∵a∥b，∠1＝67°，
∴∠3＝∠1＝67°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝113°，
故选：D．

5．【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤2．
故不等式组的解集为﹣1＜x≤2、
故选：B．
6．【解答】解：A、当x＝0时，y＝﹣x+1＝1，
∴点（0，1）在一次函数y＝﹣x+1的图象上；
B、当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝，
∴点（﹣1，）不在一次函数y＝﹣x+1的图象上；
C、当x＝1时，y＝﹣x+1＝，
∴点（1，）不在一次函数y＝﹣x+1的图象上；
D、当x＝3时，y＝﹣x+1＝﹣，
∴点（3，0）不在一次函数y＝﹣x+1的图象上．
故选：A．
7．【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，
在Rt△OPQ中，OP＝1，∠POQ＝α，
∴sinα＝，cosα＝，即PQ＝sinα，OQ＝cosα，
则P的坐标为（cosα，sinα），
故选：C．

8．【解答】解：∵y＝﹣，
∴xy＝﹣1．
∴x、y异号．
∵x1＜0＜x2，
∴y1＞0＞y2．
故选：D．
9．【解答】解：∵P在直线y＝﹣x+6上，
∴设P坐标为（m，6﹣m），
连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2＝PQ2+OQ2，
∴PQ2＝m2+（6﹣m）2﹣2＝2m2﹣12m+34＝2（m﹣3）2+16，
则当m＝3时，切线长PQ的最小值为4．
故选：B．

10．【解答】解：如图1，设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，
如图2，∵S4+S阴影＝（c﹣a），S3+S4＝b，
∵c＝a+b，
∴b＝c﹣a，
∴S4+S阴影＝S3+S4，
∴S3＝S阴影，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出S3，
故选：C．

二、填空题（每小题5分，共30分)
11．【解答】解：＝＝，
故答案为：．
12．【解答】解：∵矩形面积为m2+8m，一边长为m，
∴邻边长为：（m2+8m）÷m＝m+8，
故答案为m+8．
13．【解答】解：∵sin2α+cos2α＝1，
∴cosα＝＝，
∴tanα＝＝＝，
故答案为：．
14．【解答】解：根据题意，可得，
∴（m），
即的长是m．
故答案为：．
15．【解答】解：设H（a，），G（b，），则
AH＝a﹣b，AG＝，
AD＝a﹣b+（﹣2a）＝﹣a﹣b，AB＝，
∵△AGH的面积为2，矩形ABCD的面积为17，
∴，，
即，，
两式相减得，，
∴﹣4k＝13，
∴，
故答案为：﹣．
16．【解答】解：如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴2AO＝AC，
设AB为x，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠3，
∴△ABO∽△ACB，
∴，
∴，
∴AC＝AB＝x，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．【解答】解：（1）﹣32+（4﹣π）0+（﹣1）﹣2﹣
＝﹣9+1+1﹣3
＝﹣10；
（2）
＝
＝
＝x+1．
18．【解答】解：小军的作法错误，
错误在：大于OM的长为半径在直线AB同侧作弧，
应该是：大于OM的长为半径在直线AB同侧作弧，
证明：如图，连接PM，PN，

根据作图过程可知：
OM＝ON，PM＝PN，
又PO＝PO，
∴△PMO≌△PNO（SSS），
∴∠POM＝∠PON，
∵∠POM+∠PON＝180°，
∴∠POM＝∠PON＝90°，
∴PO⊥AB．
19．
20．【解答】解：（1）60÷20%＝300（人）答：此次抽查的学生数为300人，
故答案为：300；
（2）C组的人数＝300×40%＝120人，
A组的人数＝300﹣100﹣120﹣60＝20人，
补全条形统计图如图所示，
（3）该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是＝40%；
（4）当天达到国家规定体育活动时间的学生有1200×＝720人．
故答案为：40%，720人．

21．【解答】解：（1）∵﹣34﹣（﹣47）＝13，﹣21﹣（﹣34）＝13，…，
∴这个数列是一次等差问题，且a1＝﹣47，d＝13，
∴第n个数为an，则有an＝a1+（n﹣1）d＝﹣47+13（n﹣1）＝13n﹣60；
故答案为：13n﹣60；
（2）∵﹣12，﹣10，﹣6，0，8，18，…，
∴这个数列是二次等差问题
设第一个数为a1，第n个数为an，则有an＝an2+bn+c，
∴，解得：，
∴an＝n2﹣n﹣12；
故答案为：n2﹣n﹣12；
（3）第（1）题中的第n个数和第（2）题中的第n个数会相同，理由是：
n2﹣n﹣12＝13n﹣60，
n2﹣14n+48＝0
（n﹣6）（n﹣8）＝0
n＝6或8；
（4）如图所示，

则当n＝7时，13n﹣60＞n2﹣n﹣12，
当0＜n＜6或n＞8且n为正整数时，13n﹣60＜n2﹣n﹣12；
故答案为：7，0＜n＜6或n＞8且n为正整数．
22．【解答】解：（1）①是真命题，如图1，

在△ABC中，过C作CD⊥AB于D，
则△ACD和△BCD是直角三角形，
故任意一个三角形都可以分成两个直角三角形；
②是真命题，如图2，

在Rt△ABC中，∠C＝90°，
设CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴△ACD和△BCD是等腰三角形；
（2）如图3，

在△ABC中，过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
作△BDC的边BC上的中线DE交BC于E，
则△ACD是直角三角形，△CDE和△BDE是等腰三角形；
（3）如图4，

在△ABC中，∠ACB＝90°，作AB的垂直平分线交BC于E，
连接AE，
则AE＝BE，
∴△ABE为等腰三角形，
取AE的中点D，连接CD，
则AD＝CD＝DE＝AE，
∴△ACD和△CED为等腰三角形，
故任意一个直角三角形均可分成三个等腰三角形．
23．【解答】解：（1）∵A（10，0），B（0，10），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
∵P（﹣a，﹣3a+2），点P在△AOB内部，
则有，
解得﹣2＜a＜0．

（2）由题意：y1＝﹣2（+a）2﹣3a+2，y2＝﹣2（+a）2﹣3a+2，
∵y1＞y2，
∴﹣2（+a）2﹣3a+2＞﹣2（+a）2﹣3a+2，
∴（+a）2＜（+a）2，
∴|+a|＜|+a|，
解得a＞﹣，
故满足条件的a的值为a＞﹣．

（3）①当∠AOP＝90°时，点P在y轴上，a＝0，P（0，2）．
②当∠OAP＝90°时，点P在直线x＝10上，a＝﹣10，P（10，32）．
③当∠APO＝90°时，则有OA2＝OP2+AP2，
∴a2+（3a﹣2）2+（10+a）2+（3a﹣2）2＝102，
整理得：5a2﹣a+2＝0，方程无解．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，2）或（10，32）．
24．【解答】（1）证明：连结OD，

∵∠DCB＝∠DOB，∠DEA＝∠DOA，
∴∠DCB+∠DEA＝（∠DOB+∠DOA）＝×180°＝90°，
∴四边形DCGE是余对角四边形．
（2）解：连接BE，

∵∠ABD＝∠AED，∠BGE＝∠ABD，
∴∠BGE＝∠DEA，
∴BC∥DE，
∴CD＝BE，
∵∠DCB＝∠DAB，∠ADB＝∠GEB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝∠EGB+∠GBE，
∵∠EGB＝∠DBA，
∴∠DAB＝∠GBE，
∵∠DCB＝∠DAB，
∴∠DCB＝∠GBE，
∴tan∠DCB＝tan∠GBE＝．
（3）解：①如图3，连接BE，

∵∠DPA＝∠PDB+∠PBD，∠DPA＝2∠1+∠2，
∴2∠1+∠2＝∠PDB+∠PBD，
∵∠2＝∠DBC，∠1＝∠ABC，
∴2∠1+∠2＝∠PDB+∠2+∠1，
∴∠1＝∠PDB，
∵∠2＝∠MBP，
∴△ACD∽△BMD，
∴＝，
∴＝3；
②∵∠MBP＝∠1＝∠PDB，∠MPB＝∠DPB，
∴△PBM∽△PDB，
∴，
∵PM＝1，
∴PB＝3，PD＝9，
∴DM＝PD﹣PM＝9﹣1＝8，
∵∠DCB＝∠ABC+∠EAB＝∠1+∠2，
∠DMC＝∠MDB+∠DBC＝∠1+∠2，
∴∠DMC＝∠EGB，
∵＝，
∴＝，
∴∠DCB＝∠EBC，
∴∠DCM＝∠EBG，
又CD＝BE，
∴△DCM≌△EBG（AAS），
∴GE＝DM＝8．