2020年河南省驻马店市中考数学一模试卷 解析版


2020年河南省驻马店市中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在|﹣2|，，π，这四个数中最大的数是（　　）
A．|﹣2| B． C．π D．
2．（3分）快快乐乐看春晚，平平安安过大年．2020年1月24日8点，中央广播电视总台《2020年春节联欢晩会》如约而至．据不完全统计，截至1月24日24时，春晚新媒体平台直播累积到达人次为11.16亿次，11.16亿用科学记数法表示为（　　）
A．11.16×108 B．11.16×104 C．1.116×109 D．1.116×108
3．（3分）下列汽车图标中既是轴对称又是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算错误的是（　　）
A．x+2x＝3x B．（x3）2＝x6 C．x2•x3＝x5 D．x8÷x4＝x2
5．（3分）在一次引体向上的测试中，小强等5位同学引体向上的次数分别为：6，8，9，8，9，那么关于这组数据的说法正确的是（　　）
A．平均数是8.5 B．中位数是8.5
C．众数是8.5 D．众数是8和9
6．（3分）若关于x的方程kx2﹣2x+＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k＜4且k≠0 C．k≤4 D．k≤4且k≠0
7．（3分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
8．（3分）关于x的方程+＝0有增根，则m的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
9．（3分）根据如图中箭头的指向规律，从2018到2019再到2020，箭头的方向是以下图示中的（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图1，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（　　）

A．3 B．5 C．6 D．10
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）计算＝　 　．
12．（3分）现有四张分别标有1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是　 　．
13．（3分）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，若∠1＝26°，则∠2的度数为　 　度．

14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，扇形AEF的半径为2，圆心角为60°，则阴影部分的面积是　 　．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC、PD．若△DPC为直角三角形，则BE的长　 　．

三、解答题（共8题，共75分）
16．（8分）我们在数学学习过程中，经常遇到这样的试题：“先化简，然后从不等式组的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值”
（1）请你写出平时在解答这道数学题的过程中，需要用到哪些数学知识？（写出三个）
（2）请你写出在进行运算时容易出错的地方有哪些？（写出两个）
（3）的化简结果是　 　；你选取的x的值为　 　，代入结果为　 　．
17．（9分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图；最喜爱的各类图书的人数和最喜爱的各类图书的人数占总人数的百分比

（1）本次抽取的学生共有　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图“文学类”对应的圆心角度数；
（4）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有　 　人．
18．（9分）放风筝是大家喜爱的一种运动星期天的上午小明在金明广场上放风筝，如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为50°，已知点A，B，C在同一条水平直线上，小明搬了一把梯子来取风筝，梯子能达到的最大高度为20米，请问小明能把风筝捡回来吗？（最后结果精确到1米）（风筝线AD，BD均为线段，≈1.732，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）

19．（9分）为复学做好防疫准备乐乐妈妈去药店为乐乐购买口罩和免洗洗手液．结账时，一顾客买5包口罩和一瓶洗手液共花费112元；乐乐妈妈为乐乐买了8包口罩和2瓶洗手液共花费184元．
（1）求一包口罩和一瓶洗手液的价格；
（2）由于全班同学都需要防疫物品，乐乐妈妈想联合班级其他学生家长进行团购，药店老板给出口罩的两种优惠方式：
方式一：每包口罩打九折；
方式二：购买40包口罩按原价，超出40包的部分打八折
设乐乐妈妈需要团购x包口罩花费总费用为y元，请分别写出y与x的关系式；
（3）已知每位家长为孩子都准备8包口罩，乐乐妈妈根据联合家长的人数如何选择优惠方式？
20．（9分）如图，BD为半圆O的直径，BD＝8，点A为BD延长线上一点，AE与半圆O相切于点E，连接BE，DE，过点B作BC⊥AE交AE的延长线于点C，交半圆于点F．
（1）求证：BE平分∠DBC；
（2）填空；
①当AD＝　 　时，四边形BOEF是菱形；
②当BE＝4CE时，DE＝　 　．

21．（10分）如图，已知一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA＝OD＝OB＝3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

22．（10分）在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．
（1）若四边形ABCD为正方形．
①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系　 　；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系．

23．（11分）已知在平面直角坐标系xOy（如图）中．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4与X轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的交点记为点C
（1）求该抛物线的表达式以及顶点D的坐标；
（2）如果点E在这个抛物线上，点F在x轴上，且以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．直接写出点F的坐标（写出两种情况即可）；
（3）点P与点A关于y轴对称，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，点Q在抛物线上，且∠PCB＝∠QCB．求点Q的坐标．


2020年河南省驻马店市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．【解答】解：∵|﹣2|＝2，＝3，
π＞3＞2＞，
∴在|﹣2|，，π，这四个数中最大的数是π．
故选：C．
2．【解答】解：11.16亿＝1116000000＝1.116×109．
故选：C．
3．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：D．
4．【解答】解：A、x+2x＝3x，正确，不符合题意；
B、（x3）2＝x6，正确，不符合题意；
C、x2•x3＝x5，正确，不符合题意；
D、x8÷x4＝x4，原式错误，符合题意；
故选：D．
5．【解答】解：A、平均数＝＝8，此选项错误；
B、6，8，8，9，9中位数是8，此选项错误；
C、6，8，9，8，9众数是8和9，此选项错误；
D、正确；
故选：D．
6．【解答】解：当k≠0时，△＝4﹣4k×＝4﹣k≥0，
∴k≤4，
当k＝0时，也符合题意，
∴k≤4，
故选：C．
7．【解答】解：∵∠1＝120°，
∴∠3＝60°，
∵∠2＝45°，
∴当∠3＝∠2＝45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°＝15°．
故选：A．

8．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
m﹣1﹣x＝0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝2．
故选：B．
9．【解答】解：观察图形的变化发现：
每4个数为一个循环组，
2016÷4＝504
所以从0开始到2015共2016个数构成504个循环，
2016是第505个循环的第1个数，
2017是第505个循环的第2个数，
2018是第505个循环的第3个数，
2019是第505个循环的第4个数，
2020是第506个循环的第1个数，
所以从2018到2019再到2020，箭头的方向是以下图示中的C．
故选：C．
10．【解答】解：如图1，直线y＝x﹣5中，令y＝0，得x＝5；令x＝0，得y＝﹣5，
即直线y＝x﹣5与坐标轴围成的△OEF为等腰直角三角形，
∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，
由图2可得，t＝3时，直线l经过点A，
∴AO＝5﹣3×1＝2，
∴A（0，﹣2），
由图2可得，t＝15时，直线l经过点C，
∴当t＝，直线l经过B，D两点，
∴AD＝（9﹣3）×1＝6，
∴等腰Rt△ABD中，BD＝，
即当a＝9时，b＝．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．【解答】解：原式＝4﹣4
＝0．
故答案为：0．
12．【解答】解：列表得：

1
2
2
3
1
11
12
12
13
2
21
22
22
23
2
21
22
22
23
3
31
32
32
33
∵共有16种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字不同的有10种，
∴两次抽出的卡片所标数字不同的概率是＝．
故答案为：．
13．【解答】解：如图，∵矩形的对边互相平行，
∴∠1＝∠3，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠2+∠4+90°＝180°，∠1＝26°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣26°＝64°．
故答案为：64．

14．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，
∴∠BCD＝∠DAB＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△ABC、△ADC都是等边三角形，
∴AC＝AD＝2，
∵AB＝2，
∴△ADC的高为，AC＝2，
∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，
∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G，
在△ADH和△ACG中，
，
∴△ADH≌△ACG（ASA），
∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形AEF﹣S△ACD＝﹣×2×＝﹣，
故答案为：﹣．

15．【解答】解：①如图1中，当∠PDC＝90°时，

∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠PDC＝180°，
∴A、D、P共线，
∵EA＝EP，∠AEP＝90°，
∴∠EAP＝45°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝45°，
∵∠B＝90°
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，
∴BE＝AB＝3．
②如图2中，当∠DPC＝90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE＝x，

∵∠AEB+∠PEF＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠PEF，
在△ABE和△EFP中，
，
∴△ABE≌△EFP，
∴EF＝AB＝3，PF＝HC＝BE＝x，
∴CF＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2，
∵∠DPH+∠CPH+90°，∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠DPH＝∠PCH，
∵∠DHP＝∠PHC，
∴△PHD∽△CHP，
∴PH2＝DH•CH，
∴（x﹣2）2＝x（3﹣x），
∴x＝或（舍），
∴BE＝，
综上所述，当△PDC是直角三角形时，BE的值为3或．
故答案为：3或．
三、解答题（共8题，共75分）
16．【解答】解：（1）在解答这道数学题的过程中，用到的数学知识有：因式分解、分式的加减运算法则、分式的约分、不等式组的解法等；
（2）进行计算时容易出错的地方为：通分时括号中第二项的变形容易出现错误；代入时把x＝5代入计算等；
（3）原式＝（+）•
＝•
＝x+5；
当x＝1时，原式＝1+5＝6．
故答案为：x+5；1；6．
17．【解答】解：（1）被调查的学生人数为：12÷20%＝60（人）；
故答案为：60；

（2）喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16＝8（人），补全统计图如下：


（3）扇形统计图“文学类”对应的圆心角度数是：360°×＝144°；

（4）全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200×＝480（人）；
故答案为：480．
18．【解答】解：作DH⊥BC于H，设DH＝x米．
∵∠ACD＝90°，
∴在直角△ADH中，∠DAH＝30°，AD＝2DH＝2x，AH＝DH÷tan30°＝x，
在直角△BDH中，∠DBH＝50°，BH＝，BD＝DH•sin50°＝sin50°x，
∵AH﹣BH＝AB＝10米，
∴x﹣＝10，
∴x＝，
∴BD＝＝÷0.766≈14.5米，
20＞14.5，
∴小明能把风筝捡回来．

19．【解答】解：（1）设一包口罩m元，一瓶洗手液n元，
根据题意，解得，
答：一包口罩20元，一瓶洗手液12元．

（2）由题意得y1＝20×0.9x＝18x，
当0≤x≤40时，y2＝20x，
当x＞40时，y2＝40×20+（x﹣40）×20×0.8＝16x+160，
∴．

（3）当x≤40时，选择方式一，
当x＞40时，y1＝18x，y2＝16x+!60，
当y1＜y2时，18x＜16x+160，解得x＜80，选择方式一；
当y1＝y2时，18x＝16x+160，解得x＝80，选择方式一和方式二均可；
当y1＞y2时，18x＞16x+160，解得x＞80，选择方式二．
80÷8＝10（人）．
综上所述，当乐乐妈妈根据联合家长的人数小于10人时选择方式一，等于10人时两种方式均可，大于10人时选择方式二．
20．【解答】（1）证明：如图，连接OE．
∵AC是⊙O的切线，
∴AC⊥OE，
∵BC⊥AE，
∴OE∥BC，
∴∠OEB＝∠EBC，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠EBC＝∠OBE，
∴BE平分∠DBC．

（2）①解：结论：当AD＝4时，四边形BOEF是菱形．
理由：连接EF，OF．
∵BD＝8，AD＝4，
∴AD＝OD＝OB＝4，
∵∠AEO＝90°，
∴DE＝AO＝4，
∴DE＝OE＝OD＝4，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠EOA＝60°，
∵OE∥BC，
∴∠OBF＝∠AOE＝60°，
∵OF＝OB，
∴△OBF是等边三角形，
∴BF＝OB＝OE，∠FOB＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∵OE＝OF，
∴△EOF是等边三角形，
∴EF＝OE＝OB＝BF，
∴四边形BOEF是菱形．
故答案为4．

②解：∵BD是直径，
∴∠DEB＝90°，
∵∠EBD＝∠EBC，
∴sin∠EBD＝sin∠EBC＝＝，
∴＝，
∵BD＝8，
∴DE＝2．
故答案为2．

21．【解答】解：
（1）∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴＝＝＝，
∴CD＝2OB＝8，
∵OA＝OD＝OB＝3，
∴A（3，0），B（0，4），C（﹣3，8），
把A、B两点的坐标分别代入y＝ax+b可得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4，
∵反比例函数y＝的图象经过点C，
∴k＝﹣24，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；

（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，
即线段AC（包含A点，不包含C点）所对应的自变量x的取值范围，
∵C（﹣3，8），
∴0＜﹣x+4≤﹣的解集为﹣3≤x＜0；

（3）∵B（0，4），C（﹣3，8），
∴BC＝5，
∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，
∴有BC＝BP或BC＝PC两种情况，
①当BC＝BP时，即BP＝5，
∴OP＝BP+OB＝4+5＝9，或OP＝BP﹣PB＝5﹣4＝1，
∴P点坐标为（0，9）或（0，﹣1）；
②当BC＝PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，
∴线段BP的中点坐标为（0，8），
∴P点坐标为（0，12）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，﹣1）或（0，9）或（0，12）．
22．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BF＝AB，
∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形，
BF＝BE，
∴BD﹣BF＝AB﹣BE，
即DF＝AE；
故答案为DF＝AE；
②DF＝AE．理由如下：
∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，
∴∠ABE＝∠DBF，
∵＝，＝，
∴＝，
∴△ABE∽△DBF，
∴＝＝，
即DF＝AE；
（2）如图3，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝mAB，
∴BD＝＝AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴＝，
∴＝＝，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，
∴∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，
∴＝＝，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴＝＝，
即DF′＝AE′．

23．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+4得﹣1﹣b+4＝0，解得b＝3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4；
∴y＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点D的坐标为（，）；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+3x+4＝4，则C（0，4），
∴OC＝4，
当EF∥OC，且EF＝OC＝4时，以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
设E（x，﹣x2+3x+4），则F（x，0），
∴|﹣x2+3x+4|＝4，
解方程﹣x2+3x+4＝4得x1＝0，x2＝3，则F（3，0）；
解方程﹣x2+3x+4＝﹣4得x1＝，x2＝，则F（，0）或（，0）
当CE∥OF，CE＝OF时，以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，此时CE∥x轴，则CE＝3，
∴OF＝3，此时F（﹣3，0）
综上所述，F点的坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（，0）或（，0）；
（3）当Q点在BC上方，
作QH∥y轴，CH∥x轴，如图，设Q（t，﹣t2+3t+4），H（t，4），
当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则A（﹣1，0），B（4，0），
∵点P与点A关于y轴对称
∴P（1，0），
∵OC＝OB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴∠HCQ＝45°，
∵∠PCB＝∠QCB，
∴∠QCH＝∠PCO，
∴Rt△QCH∽Rt△PCO，
∴＝，即＝，解得t1＝0（舍去），t2＝，
∴Q点坐标为（，）．
当Q点在BC下方，则Q点为直线PC与抛物线的交点，
易得直线PC的解析式为y＝﹣4x+4，
解方程组得或，则Q点坐标为（7，﹣24），
综上所述，Q点坐标为（，）或（7，﹣24）．