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2020年河南省焦作市中考数学一模试卷 解析版
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这是一份2020年河南省焦作市中考数学一模试卷 解析版，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年河南省焦作市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．截止3月4日，各级财政共安排疫情防控资金1104.8亿元．将数据“1104.8亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.11048×104 B．1.1048×1011
C．0.11048×1012 D．1.1048×103
3．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．国 B．武 C．汉 D．加
4．如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，则DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
5．据了解，某定点医院收治的7名新型冠状肺炎患者的新冠病毒潜伏期分别为2天，3天，3天，4天，4天，4天，7天，则这7名患者新冠病毒潜伏期的众数和中位数分别为（ ）
A．4天，4天 B．3天，4天 C．4天，3天 D．3天，7天
6．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p2的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．如图所示，两个可以自由转动的转盘，每个盘面被等分成几个面积相等的扇形区域，并涂上图中所示的颜色，分别转动两个转盘，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，重转），两个指针指向区域的颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C．1 D．
9．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，
（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC
10．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（ ）
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．＝ ．
12．如图，直线AB∥CD，将一块含45°角的直角三角板按图中方式放置，直角顶点F落在直线AB上，若∠1＝50°，则∠2的度数为 ．
13．不等式组的最大整数解为 ．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过C作CD⊥OB交于D，交弦AB于E．若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
15．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点A'落在△BCD的边上时，AE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．先化简，再求值：，其中．
17．某校七、八年级各有300名学生，近期对他们“2020年新型冠状病毒”防治知识进行了线上测试，为了了解他们的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．七年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80
80.5
81
82
82
83
83.5
84
84
85
86
86.5
87
88
89
89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
85.3
m
90
八年级
87.2
85
91
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）在随机抽样的学生中，防治知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ；
（3）若各年级防治知识的前90名将参加线上防治知识竞赛，预估七年级分数至少达到 分的学生才能入选；
（4）若85分及以上为“优秀”，请估计七年级达到“优秀”的人数．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC为⊙O的直径，D为⊙O任意一点，连接AD交BC于点F，EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）填空：①当∠CAD的度数为 时，四边形ABDC是正方形；
②若四边形ABDC的面积为4，则AD的长为 ．
19．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）
20．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B（1，﹣3）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．
21．某学校准备购进一批红外线测温仪和口罩若干包．已知购买1个红外线测温仪和2包口罩共需460元；购买2个红外线测温计和3包口罩共需880元．
（1）求一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元；
（2）学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．
①设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
②学校购买口罩的包数x在什么范围内，选择优惠活动一比活动二更省钱？请说明理由．
22．（1）问题发现
如图1，在△ABC中和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，∠BAC＝∠CDE＝60°，点D是BC的垂线AF上任意一点．
填空：①的值为 ；
②∠ABE的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△ABC中和△DCE中，∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30°，点D是BC的垂线AF上任意一点．请判断的值及∠ABE的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若AB＝，CD＝，请直接写出BE的长．
23．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．
（1）求抛物线解析式；
（2）E（m，0）是x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．
①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请直接写出m的值．
2020年河南省焦作市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：的相反数是，
故选：C．
2．截止3月4日，各级财政共安排疫情防控资金1104.8亿元．将数据“1104.8亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.11048×104 B．1.1048×1011
C．0.11048×1012 D．1.1048×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1104.8亿＝110480000000，所以将1104.8亿用科学记数法表示为1.1048×1011，
故选：B．
3．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．国 B．武 C．汉 D．加
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“中”与“汉”是相对面．
故选：C．
4．如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，则DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得BE＝6，
∴DE＝DB+BE＝3+6＝9，
故选：D．
5．据了解，某定点医院收治的7名新型冠状肺炎患者的新冠病毒潜伏期分别为2天，3天，3天，4天，4天，4天，7天，则这7名患者新冠病毒潜伏期的众数和中位数分别为（ ）
A．4天，4天 B．3天，4天 C．4天，3天 D．3天，7天
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【解答】解：从小到大排列此数据为：2天，3天，3天，4天，4天，4天，7天，
数据4天出现了三次最多为众数；
4天处在第4位为中位数．
故选：A．
6．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p2的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：方程化为x2﹣5x+6﹣p2＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．如图所示，两个可以自由转动的转盘，每个盘面被等分成几个面积相等的扇形区域，并涂上图中所示的颜色，分别转动两个转盘，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，重转），两个指针指向区域的颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图可得所有等可能的结果，进而可得两个指针指向区域的颜色相同的概率．
【解答】解：根据题意画出树状图如下：
根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
颜色相同的有2种，
所以两个指针指向区域的颜色相同的概率为：
＝．
故选：B．
8．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】由抛物线y＝2（x﹣1）2可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴x＝＝1即可求解；
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，可知函数的对称轴x＝＝1，
∴m＝﹣；
将点（﹣，n）代入函数解析式，可得n＝2（﹣﹣1）2＝；
故选：A．
9．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，
（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC
【分析】根据作图方法可得BC＝BD＝CD，进而可得△BCD等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得AD垂直平分BC，利用等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，利用面积公式可计算四边形ABDC的面积．
【解答】解：根据作图方法可得BC＝BD＝CD，
∵BD＝CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；
∴O为BC中点，
∴AO是△BAC的中线，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；
∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC•DO+BC•AO＝BC•AD，故D选项错误，
故选：D．
10．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（ ）
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
【分析】根据A（1，0），O为正六边形的中心，可得OA＝AB＝1，连接OB，作BG⊥OA于点G，可得AG＝OA＝，BG＝，可得C（﹣，），E（﹣，﹣），根据题意可得，P，Q第一次相遇地点的坐标在点C（﹣，），以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），第三次相遇地点在点A（1，0），…如此循环下去，即可求出第2020次相遇地点的坐标．
【解答】解：∵A（1，0），O为正六边形的中心，
∴OA＝AB＝1，
连接OB，作BG⊥OA于点G，
则AG＝OA＝，BG＝，
∴B（，），
∴C（﹣，），
E（﹣，﹣），
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），
此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，
此时P，Q相遇地点的坐标在点C（﹣，），
以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），
第三次相遇地点在点A（1，0），
…如此下去，
∵2020÷3＝673…1，
∴第2020次相遇地点在点C，C的坐标为（﹣，）．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．＝ ．
【分析】根据绝对值的性质和立方根的性质计算，再算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣2，
＝﹣，
故答案为：﹣．
12．如图，直线AB∥CD，将一块含45°角的直角三角板按图中方式放置，直角顶点F落在直线AB上，若∠1＝50°，则∠2的度数为 85° ．
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠1＝50°，∠GEF＝45°，
∴∠3＝180°﹣50°﹣45°＝85°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝85°，
故答案为：85°．
13．不等式组的最大整数解为 2 ．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集求出即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣6，
由②得：x≤2，
则不等式组的解集是﹣6＜x≤2，
则它的最大整数解是2，
故答案为：2．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过C作CD⊥OB交于D，交弦AB于E．若OA＝2，则阴影部分的面积为 +﹣1 ．
【分析】连接OD，根据已知条件得到OC＝BC＝OB＝OC，求得∠ODC＝30°，CD∥OA，根据平行线的性质得到∠AOD＝∠CDO＝30°，CE＝OA＝1，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OD，
∵OB＝OA＝OD，点C是OB的中点，
∴OC＝BC＝OB＝OD，
∵CD⊥OB，
∴∠OCD＝∠BCD＝∠AOB＝90°，
∴∠ODC＝30°，CD∥OA，
∴∠AOD＝∠CDO＝30°，CE＝OA＝1，
∴CD＝OC＝，
∴阴影部分的面积为+1×﹣（1+2）×1+1×1＝+﹣1，
故答案为：+﹣1．
15．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点A'落在△BCD的边上时，AE的长为 2或 ．
【分析】分两种情况讨论，当点A'落在BD上时，由折叠的性质可得AH＝A'H，由平行线分线段成比例可求AE的长；
当点A'落在BC上时，由勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求AN的长，由勾股定理可求AE的长．
【解答】解：如图，当点A'落在BD上时，连接AA'交EF于H，
∵将△AEF沿EF折叠，
∴AH＝A'H，
∵EF∥BD，
∴，
∴AE＝DE＝AD＝2；
若点A'落在BC上时，
如图，当点A'落在BC上时，连接AA'交EF于点H，过点A'作A'N⊥AD于N，
∵A'N⊥AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝A'N＝3，AN＝A'B，
∵AB＝3，BC＝4＝AD，
∴BD＝＝＝5，
∵将△AEF沿EF折叠，
∴AA'⊥EF，AE＝A'E，AF＝A'F，
∵EF∥BD，
∴AA'⊥BD，
∴∠AA'B+∠A'BD＝90°，
又∵∠ABD+∠A'BD＝90°，
∴∠ABD＝∠AA'B，
∴tan∠ABD＝tan∠AA'B＝＝，
∴BA'＝＝，
∵A'E2＝A'N2+NE2，
∴AE2＝9+（AE﹣）2，
∴AE＝，
综上所述：AE＝2或，
故答案为：2或．
三．解答题
16．先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得
【解答】解：
＝
＝
＝，
当时，
原式＝．
17．某校七、八年级各有300名学生，近期对他们“2020年新型冠状病毒”防治知识进行了线上测试，为了了解他们的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．七年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80
80.5
81
82
82
83
83.5
84
84
85
86
86.5
87
88
89
89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
85.3
m
90
八年级
87.2
85
91
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 82 ；
（2）在随机抽样的学生中，防治知识成绩为84分的学生，在 七 年级排名更靠前，理由是 该学生的成绩大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数 ；
（3）若各年级防治知识的前90名将参加线上防治知识竞赛，预估七年级分数至少达到 89 分的学生才能入选；
（4）若85分及以上为“优秀”，请估计七年级达到“优秀”的人数．
【分析】（1）根据中位数的定义直接求解即可；
（2）从七、八年级的中位数进行分析，即可得出在七年级排名更靠前；
（3）先求出从抽取的50名学生中参加线上防治知识竞赛得人数，再结合统计图给出的数据，即可得出答案；
（4）用总人数乘以达到“优秀”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）∵七年级共有50名学生，第25，26名学生的成绩为82分，82分，
∴m＝＝82（分）；
故答案为：82；
（2）在七年级排名更靠前，理由如下：
∵七年级的中位数是82分，八年级的中位数是85分，
∴该学生的成绩大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴在七年级排名更靠前；
故答案为：七，该学生的成绩大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数；
（3）根据题意得：
×50＝15（人），
则在抽取的50名学生中，必须有15人参加线上防治知识竞赛，
所以至少达到89分才能入选．
故答案为：89；
（4）根据题意得：
300×＝120（人），
答：七年级达到优秀的人数约为120人．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC为⊙O的直径，D为⊙O任意一点，连接AD交BC于点F，EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）填空：①当∠CAD的度数为 45° 时，四边形ABDC是正方形；
②若四边形ABDC的面积为4，则AD的长为 2 ．
【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△ACD即可．
（2）①当∠CAD的度数为45°时，四边形ABDC是正方形，证明AB＝BD＝CD＝AD即可解决问题．
②证明S△AED＝S四边形ABDC＝4即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BC为ΘO直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∠ABD+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ACD，
又∠BAF+∠CAF＝∠BAF+∠BAE＝90°，
∴∠CAF＝∠BAE，
又AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（ASA）
（2）解：①当∠CAD＝45°时，四边形ABDC是正方形．
理由：∵∠CAD＝∠BAD＝45°，
∴＝，
∴BD＝CD，
∴△ABC，△BCD都是等腰直角三角形，
∵BC＝BC，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABDC是正方形．
故答案为：45°．
②∵△EAB≌△DAC，
∴AE＝AD，S△ABE＝S△ADC，
∴S△AED＝S四边形ABDC＝4，
∴•AD2＝4，
∴AD＝2，
故答案为．
19．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）
【分析】设AC＝CD＝x，则BC＝x﹣10，根据锐角三角函数列出方程即可求出x的值，进而求出DE的值．
【解答】解：在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，则AC＝CD．
设AC＝CD＝x，则BC＝x﹣10，
在Rt△BCD中，．
∴CD＝BC•tan59.1°，
∴x＝1.67（x﹣10），
解得：x≈24.93，
在Rt△ACE中，．
CE＝AC•tan30.1°＝24.93×0.58≈14.46，
∴DE＝DC﹣CE＝24.93﹣14.46＝10.47≈10.5，
答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米．
20．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B（1，﹣3）．
（1）填空：一次函数的解析式为 y＝﹣x﹣2 ，反比例函数的解析式为 y＝﹣ ；
（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．
【分析】（1）将点A，点B坐标代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵点A（m，1）和B （1，﹣3）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1，
∴m＝﹣3，
∴点A（﹣3，1），
∴反比例函数解析式为：y＝；
∵一次函数y＝﹣x+b过点B（1，﹣3），
∴﹣3＝﹣1+b，
∴b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣2；
故答案为：y＝﹣x﹣2，；
（2）如图1，当∠APB＝90°时，过点P作CD⊥x轴，过点A作AC⊥DC于C，过点B作BD⊥CD于D，
设点P的坐标为（x，0），
∴AC＝x+3，CP＝1，PD＝3，BD＝x﹣1，
∵∠APB＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝90°，
又∵∠APC+∠CAP＝90°，
∴∠CAP＝∠BPD，
又∵∠C＝∠BDP＝90°，
∴△ACP∽△PBD，
∴，
∴，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），
∴点P（﹣1+，0）；
当∠ABP＝90°时，
∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴点C（﹣2，0），点D（0，﹣2），
∴OC＝2，OD＝2，CD＝2，BC＝3，
∵cos∠OCD＝，
∴，
∴CP＝6，
∵点C（﹣2，0），
∴点P（4，0），
综上所述：点P的坐标为（，0）或（4，0）．
21．某学校准备购进一批红外线测温仪和口罩若干包．已知购买1个红外线测温仪和2包口罩共需460元；购买2个红外线测温计和3包口罩共需880元．
（1）求一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元；
（2）学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．
①设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
②学校购买口罩的包数x在什么范围内，选择优惠活动一比活动二更省钱？请说明理由．
【分析】（1）根据题意，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以得到一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元；
（2）①根据题意，可以分别写出y1，y2与x的函数关系式；
②令y1＜y2，然后即可得到x的取值范围，本题得以解决
【解答】解：（1）设一个红外线测温仪售价x元，一包口罩售价y元，
，
解得，，
答：一个红外线测温仪售价380元，一包口罩售价40元；
（2）①由题意可得，
y1＝20×380+40（x﹣20）＝40x+6800，
y2＝20×380+40×30+0.5×40（x﹣30）＝20x+8200，
即y1＝40x+6800，y2＝20x+8200；
②当购买口罩超过30包而不足70包时，选择优惠活动一更合算，
理由：当y1＜y2时，
即40x+6800＜20x+8200，
解得，x＜70，
答：当购买口罩超过30包而不足70包时，选择优惠活动一更合算．
22．（1）问题发现
如图1，在△ABC中和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，∠BAC＝∠CDE＝60°，点D是BC的垂线AF上任意一点．
填空：①的值为 1 ；
②∠ABE的度数为 90° ．
（2）类比探究
如图2，在△ABC中和△DCE中，∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30°，点D是BC的垂线AF上任意一点．请判断的值及∠ABE的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若AB＝，CD＝，请直接写出BE的长．
【分析】（1）先判断△ABC中和△DCE是等边三角形，由△ACD≌△BCE可得AD＝BE，∠EBC＝∠DAC即可得到答案；
（2）由∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30°，可得△ACD∽△BCE，从而可得＝，∠EBC＝∠DAC，即可得到答案；
（3）先求出AC、CF，再求AD、DF，分两种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，DC＝DE，∠BAC＝∠CDE＝60°，
∴△ABC和△DCE是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝∠ABC＝60°，
∴∠ACD＝60°﹣∠BCD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，
∵△ABC是等边三角形，AF是BC的垂线，
∴＝1，∠DAC＝∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝90°；
故答案为：①1；②90°；
（2），∠ABE＝60°，理由如下：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴，
同理：，
∴，
又∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，∠CAD＝∠CBE，
∵点D是BC的垂线AF上一点，
∴∠CAD＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝∠ABC+∠CAD＝60°；
（3）①当D在线段AF上时，如图：
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝，
∴AC＝AB•tan30°＝1，
在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，
∴CF＝AC＝，
根据勾股定理，AF＝＝，
在Rt△DCF中，CD＝，
DF＝＝，
∴AD＝AF﹣DF＝，
∵＝，
∴BE＝，
②当D在线段AF延长线上时，如图：
同样的方法可得：CF＝，AF＝，DF＝，
∴AD＝AF+DF＝，
∵＝，
∴BE＝．
综上所述，BE为或．
23．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．
（1）求抛物线解析式；
（2）E（m，0）是x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．
①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请直接写出m的值．
【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；
（2）分两种情况讨论，由两点距离公式和勾股定理可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求BP解析式，联立方程可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），
∴0＝﹣3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，则，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵ED⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＜90°，
设点E（m，0），点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，﹣m+3），
∴PD2＝（﹣m2+3m）2，BP2＝m2+（﹣m2+2m）2，BD2＝m2+（﹣m+3﹣3）2＝2m2，
当∠PBD＝90°时，BP2+BD2＝PD2，
∴m2+（﹣m2+2m）2+2m2＝（﹣m2+3m）2，
∴m＝1，m＝0（舍去），
∴点E的坐标为（1，0），
当∠BPD＝90°时，BP2+PD2＝BD2，
∴m2+（﹣m2+2m）2+（﹣m2+3m）2＝2m2，
∴m＝0（舍去），m＝3（舍去），m＝2，
∴点E的坐标为（2，0），
综上所述：点E的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）当点P在x轴上方时，如图1，连接BC，延长BP交x轴于N，
∵点A（3，0），点B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠BAO＝∠PBD+∠BNO＝45°，
∴∠CBO＝∠BNO，
又∵∠BOC＝∠BON＝90°，
∴△BCO∽△NBO，则，
∴，
∴ON＝9，
∴点N（9，0），
∴直线BN解析式为：y＝﹣x+3，
∴﹣x+3＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝，
∴点P的横坐标为，
∴m＝；
当点P在x轴下方时，如图2，连接BC，设BP与x轴交于点H，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠OBH+∠PBD＝45°，
∴∠CBO＝∠OBH，
又∵OB＝OB，∠COB＝∠BOH，
∴△BOH≌△BOC（ASA），
∴OC＝OH＝1，
∴点H（1，0），
∴直线BH解析式为：y＝﹣3x+3，
∴﹣3x+3＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝5，
∴点P的横坐标为5，
∴m＝5，
综上所述：m＝5或．
2020年河南省焦作市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．截止3月4日，各级财政共安排疫情防控资金1104.8亿元．将数据“1104.8亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.11048×104 B．1.1048×1011
C．0.11048×1012 D．1.1048×103
3．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．国 B．武 C．汉 D．加
4．如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，则DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
5．据了解，某定点医院收治的7名新型冠状肺炎患者的新冠病毒潜伏期分别为2天，3天，3天，4天，4天，4天，7天，则这7名患者新冠病毒潜伏期的众数和中位数分别为（ ）
A．4天，4天 B．3天，4天 C．4天，3天 D．3天，7天
6．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p2的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．如图所示，两个可以自由转动的转盘，每个盘面被等分成几个面积相等的扇形区域，并涂上图中所示的颜色，分别转动两个转盘，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，重转），两个指针指向区域的颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C．1 D．
9．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，
（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC
10．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（ ）
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．＝ ．
12．如图，直线AB∥CD，将一块含45°角的直角三角板按图中方式放置，直角顶点F落在直线AB上，若∠1＝50°，则∠2的度数为 ．
13．不等式组的最大整数解为 ．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过C作CD⊥OB交于D，交弦AB于E．若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
15．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点A'落在△BCD的边上时，AE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．先化简，再求值：，其中．
17．某校七、八年级各有300名学生，近期对他们“2020年新型冠状病毒”防治知识进行了线上测试，为了了解他们的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．七年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80
80.5
81
82
82
83
83.5
84
84
85
86
86.5
87
88
89
89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
85.3
m
90
八年级
87.2
85
91
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）在随机抽样的学生中，防治知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ；
（3）若各年级防治知识的前90名将参加线上防治知识竞赛，预估七年级分数至少达到 分的学生才能入选；
（4）若85分及以上为“优秀”，请估计七年级达到“优秀”的人数．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC为⊙O的直径，D为⊙O任意一点，连接AD交BC于点F，EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）填空：①当∠CAD的度数为 时，四边形ABDC是正方形；
②若四边形ABDC的面积为4，则AD的长为 ．
19．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）
20．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B（1，﹣3）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．
21．某学校准备购进一批红外线测温仪和口罩若干包．已知购买1个红外线测温仪和2包口罩共需460元；购买2个红外线测温计和3包口罩共需880元．
（1）求一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元；
（2）学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．
①设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
②学校购买口罩的包数x在什么范围内，选择优惠活动一比活动二更省钱？请说明理由．
22．（1）问题发现
如图1，在△ABC中和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，∠BAC＝∠CDE＝60°，点D是BC的垂线AF上任意一点．
填空：①的值为 ；
②∠ABE的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△ABC中和△DCE中，∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30°，点D是BC的垂线AF上任意一点．请判断的值及∠ABE的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若AB＝，CD＝，请直接写出BE的长．
23．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．
（1）求抛物线解析式；
（2）E（m，0）是x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．
①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请直接写出m的值．
2020年河南省焦作市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：的相反数是，
故选：C．
2．截止3月4日，各级财政共安排疫情防控资金1104.8亿元．将数据“1104.8亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.11048×104 B．1.1048×1011
C．0.11048×1012 D．1.1048×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1104.8亿＝110480000000，所以将1104.8亿用科学记数法表示为1.1048×1011，
故选：B．
3．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．国 B．武 C．汉 D．加
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“中”与“汉”是相对面．
故选：C．
4．如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，则DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得BE＝6，
∴DE＝DB+BE＝3+6＝9，
故选：D．
5．据了解，某定点医院收治的7名新型冠状肺炎患者的新冠病毒潜伏期分别为2天，3天，3天，4天，4天，4天，7天，则这7名患者新冠病毒潜伏期的众数和中位数分别为（ ）
A．4天，4天 B．3天，4天 C．4天，3天 D．3天，7天
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【解答】解：从小到大排列此数据为：2天，3天，3天，4天，4天，4天，7天，
数据4天出现了三次最多为众数；
4天处在第4位为中位数．
故选：A．
6．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p2的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：方程化为x2﹣5x+6﹣p2＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．如图所示，两个可以自由转动的转盘，每个盘面被等分成几个面积相等的扇形区域，并涂上图中所示的颜色，分别转动两个转盘，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，重转），两个指针指向区域的颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图可得所有等可能的结果，进而可得两个指针指向区域的颜色相同的概率．
【解答】解：根据题意画出树状图如下：
根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
颜色相同的有2种，
所以两个指针指向区域的颜色相同的概率为：
＝．
故选：B．
8．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】由抛物线y＝2（x﹣1）2可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴x＝＝1即可求解；
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，可知函数的对称轴x＝＝1，
∴m＝﹣；
将点（﹣，n）代入函数解析式，可得n＝2（﹣﹣1）2＝；
故选：A．
9．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，
（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC
【分析】根据作图方法可得BC＝BD＝CD，进而可得△BCD等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得AD垂直平分BC，利用等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，利用面积公式可计算四边形ABDC的面积．
【解答】解：根据作图方法可得BC＝BD＝CD，
∵BD＝CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；
∴O为BC中点，
∴AO是△BAC的中线，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；
∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC•DO+BC•AO＝BC•AD，故D选项错误，
故选：D．
10．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（ ）
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
【分析】根据A（1，0），O为正六边形的中心，可得OA＝AB＝1，连接OB，作BG⊥OA于点G，可得AG＝OA＝，BG＝，可得C（﹣，），E（﹣，﹣），根据题意可得，P，Q第一次相遇地点的坐标在点C（﹣，），以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），第三次相遇地点在点A（1，0），…如此循环下去，即可求出第2020次相遇地点的坐标．
【解答】解：∵A（1，0），O为正六边形的中心，
∴OA＝AB＝1，
连接OB，作BG⊥OA于点G，
则AG＝OA＝，BG＝，
∴B（，），
∴C（﹣，），
E（﹣，﹣），
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），
此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，
此时P，Q相遇地点的坐标在点C（﹣，），
以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），
第三次相遇地点在点A（1，0），
…如此下去，
∵2020÷3＝673…1，
∴第2020次相遇地点在点C，C的坐标为（﹣，）．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．＝ ．
【分析】根据绝对值的性质和立方根的性质计算，再算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣2，
＝﹣，
故答案为：﹣．
12．如图，直线AB∥CD，将一块含45°角的直角三角板按图中方式放置，直角顶点F落在直线AB上，若∠1＝50°，则∠2的度数为 85° ．
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠1＝50°，∠GEF＝45°，
∴∠3＝180°﹣50°﹣45°＝85°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝85°，
故答案为：85°．
13．不等式组的最大整数解为 2 ．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集求出即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣6，
由②得：x≤2，
则不等式组的解集是﹣6＜x≤2，
则它的最大整数解是2，
故答案为：2．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过C作CD⊥OB交于D，交弦AB于E．若OA＝2，则阴影部分的面积为 +﹣1 ．
【分析】连接OD，根据已知条件得到OC＝BC＝OB＝OC，求得∠ODC＝30°，CD∥OA，根据平行线的性质得到∠AOD＝∠CDO＝30°，CE＝OA＝1，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OD，
∵OB＝OA＝OD，点C是OB的中点，
∴OC＝BC＝OB＝OD，
∵CD⊥OB，
∴∠OCD＝∠BCD＝∠AOB＝90°，
∴∠ODC＝30°，CD∥OA，
∴∠AOD＝∠CDO＝30°，CE＝OA＝1，
∴CD＝OC＝，
∴阴影部分的面积为+1×﹣（1+2）×1+1×1＝+﹣1，
故答案为：+﹣1．
15．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点A'落在△BCD的边上时，AE的长为 2或 ．
【分析】分两种情况讨论，当点A'落在BD上时，由折叠的性质可得AH＝A'H，由平行线分线段成比例可求AE的长；
当点A'落在BC上时，由勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求AN的长，由勾股定理可求AE的长．
【解答】解：如图，当点A'落在BD上时，连接AA'交EF于H，
∵将△AEF沿EF折叠，
∴AH＝A'H，
∵EF∥BD，
∴，
∴AE＝DE＝AD＝2；
若点A'落在BC上时，
如图，当点A'落在BC上时，连接AA'交EF于点H，过点A'作A'N⊥AD于N，
∵A'N⊥AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝A'N＝3，AN＝A'B，
∵AB＝3，BC＝4＝AD，
∴BD＝＝＝5，
∵将△AEF沿EF折叠，
∴AA'⊥EF，AE＝A'E，AF＝A'F，
∵EF∥BD，
∴AA'⊥BD，
∴∠AA'B+∠A'BD＝90°，
又∵∠ABD+∠A'BD＝90°，
∴∠ABD＝∠AA'B，
∴tan∠ABD＝tan∠AA'B＝＝，
∴BA'＝＝，
∵A'E2＝A'N2+NE2，
∴AE2＝9+（AE﹣）2，
∴AE＝，
综上所述：AE＝2或，
故答案为：2或．
三．解答题
16．先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得
【解答】解：
＝
＝
＝，
当时，
原式＝．
17．某校七、八年级各有300名学生，近期对他们“2020年新型冠状病毒”防治知识进行了线上测试，为了了解他们的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．七年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80
80.5
81
82
82
83
83.5
84
84
85
86
86.5
87
88
89
89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
85.3
m
90
八年级
87.2
85
91
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 82 ；
（2）在随机抽样的学生中，防治知识成绩为84分的学生，在 七 年级排名更靠前，理由是 该学生的成绩大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数 ；
（3）若各年级防治知识的前90名将参加线上防治知识竞赛，预估七年级分数至少达到 89 分的学生才能入选；
（4）若85分及以上为“优秀”，请估计七年级达到“优秀”的人数．
【分析】（1）根据中位数的定义直接求解即可；
（2）从七、八年级的中位数进行分析，即可得出在七年级排名更靠前；
（3）先求出从抽取的50名学生中参加线上防治知识竞赛得人数，再结合统计图给出的数据，即可得出答案；
（4）用总人数乘以达到“优秀”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）∵七年级共有50名学生，第25，26名学生的成绩为82分，82分，
∴m＝＝82（分）；
故答案为：82；
（2）在七年级排名更靠前，理由如下：
∵七年级的中位数是82分，八年级的中位数是85分，
∴该学生的成绩大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴在七年级排名更靠前；
故答案为：七，该学生的成绩大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数；
（3）根据题意得：
×50＝15（人），
则在抽取的50名学生中，必须有15人参加线上防治知识竞赛，
所以至少达到89分才能入选．
故答案为：89；
（4）根据题意得：
300×＝120（人），
答：七年级达到优秀的人数约为120人．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC为⊙O的直径，D为⊙O任意一点，连接AD交BC于点F，EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）填空：①当∠CAD的度数为 45° 时，四边形ABDC是正方形；
②若四边形ABDC的面积为4，则AD的长为 2 ．
【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△ACD即可．
（2）①当∠CAD的度数为45°时，四边形ABDC是正方形，证明AB＝BD＝CD＝AD即可解决问题．
②证明S△AED＝S四边形ABDC＝4即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BC为ΘO直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∠ABD+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ACD，
又∠BAF+∠CAF＝∠BAF+∠BAE＝90°，
∴∠CAF＝∠BAE，
又AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（ASA）
（2）解：①当∠CAD＝45°时，四边形ABDC是正方形．
理由：∵∠CAD＝∠BAD＝45°，
∴＝，
∴BD＝CD，
∴△ABC，△BCD都是等腰直角三角形，
∵BC＝BC，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABDC是正方形．
故答案为：45°．
②∵△EAB≌△DAC，
∴AE＝AD，S△ABE＝S△ADC，
∴S△AED＝S四边形ABDC＝4，
∴•AD2＝4，
∴AD＝2，
故答案为．
19．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）
【分析】设AC＝CD＝x，则BC＝x﹣10，根据锐角三角函数列出方程即可求出x的值，进而求出DE的值．
【解答】解：在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，则AC＝CD．
设AC＝CD＝x，则BC＝x﹣10，
在Rt△BCD中，．
∴CD＝BC•tan59.1°，
∴x＝1.67（x﹣10），
解得：x≈24.93，
在Rt△ACE中，．
CE＝AC•tan30.1°＝24.93×0.58≈14.46，
∴DE＝DC﹣CE＝24.93﹣14.46＝10.47≈10.5，
答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米．
20．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B（1，﹣3）．
（1）填空：一次函数的解析式为 y＝﹣x﹣2 ，反比例函数的解析式为 y＝﹣ ；
（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．
【分析】（1）将点A，点B坐标代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵点A（m，1）和B （1，﹣3）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1，
∴m＝﹣3，
∴点A（﹣3，1），
∴反比例函数解析式为：y＝；
∵一次函数y＝﹣x+b过点B（1，﹣3），
∴﹣3＝﹣1+b，
∴b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣2；
故答案为：y＝﹣x﹣2，；
（2）如图1，当∠APB＝90°时，过点P作CD⊥x轴，过点A作AC⊥DC于C，过点B作BD⊥CD于D，
设点P的坐标为（x，0），
∴AC＝x+3，CP＝1，PD＝3，BD＝x﹣1，
∵∠APB＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝90°，
又∵∠APC+∠CAP＝90°，
∴∠CAP＝∠BPD，
又∵∠C＝∠BDP＝90°，
∴△ACP∽△PBD，
∴，
∴，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），
∴点P（﹣1+，0）；
当∠ABP＝90°时，
∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴点C（﹣2，0），点D（0，﹣2），
∴OC＝2，OD＝2，CD＝2，BC＝3，
∵cos∠OCD＝，
∴，
∴CP＝6，
∵点C（﹣2，0），
∴点P（4，0），
综上所述：点P的坐标为（，0）或（4，0）．
21．某学校准备购进一批红外线测温仪和口罩若干包．已知购买1个红外线测温仪和2包口罩共需460元；购买2个红外线测温计和3包口罩共需880元．
（1）求一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元；
（2）学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．
①设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
②学校购买口罩的包数x在什么范围内，选择优惠活动一比活动二更省钱？请说明理由．
【分析】（1）根据题意，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以得到一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元；
（2）①根据题意，可以分别写出y1，y2与x的函数关系式；
②令y1＜y2，然后即可得到x的取值范围，本题得以解决
【解答】解：（1）设一个红外线测温仪售价x元，一包口罩售价y元，
，
解得，，
答：一个红外线测温仪售价380元，一包口罩售价40元；
（2）①由题意可得，
y1＝20×380+40（x﹣20）＝40x+6800，
y2＝20×380+40×30+0.5×40（x﹣30）＝20x+8200，
即y1＝40x+6800，y2＝20x+8200；
②当购买口罩超过30包而不足70包时，选择优惠活动一更合算，
理由：当y1＜y2时，
即40x+6800＜20x+8200，
解得，x＜70，
答：当购买口罩超过30包而不足70包时，选择优惠活动一更合算．
22．（1）问题发现
如图1，在△ABC中和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，∠BAC＝∠CDE＝60°，点D是BC的垂线AF上任意一点．
填空：①的值为 1 ；
②∠ABE的度数为 90° ．
（2）类比探究
如图2，在△ABC中和△DCE中，∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30°，点D是BC的垂线AF上任意一点．请判断的值及∠ABE的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若AB＝，CD＝，请直接写出BE的长．
【分析】（1）先判断△ABC中和△DCE是等边三角形，由△ACD≌△BCE可得AD＝BE，∠EBC＝∠DAC即可得到答案；
（2）由∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30°，可得△ACD∽△BCE，从而可得＝，∠EBC＝∠DAC，即可得到答案；
（3）先求出AC、CF，再求AD、DF，分两种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，DC＝DE，∠BAC＝∠CDE＝60°，
∴△ABC和△DCE是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝∠ABC＝60°，
∴∠ACD＝60°﹣∠BCD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，
∵△ABC是等边三角形，AF是BC的垂线，
∴＝1，∠DAC＝∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝90°；
故答案为：①1；②90°；
（2），∠ABE＝60°，理由如下：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴，
同理：，
∴，
又∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，∠CAD＝∠CBE，
∵点D是BC的垂线AF上一点，
∴∠CAD＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝∠ABC+∠CAD＝60°；
（3）①当D在线段AF上时，如图：
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝，
∴AC＝AB•tan30°＝1，
在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，
∴CF＝AC＝，
根据勾股定理，AF＝＝，
在Rt△DCF中，CD＝，
DF＝＝，
∴AD＝AF﹣DF＝，
∵＝，
∴BE＝，
②当D在线段AF延长线上时，如图：
同样的方法可得：CF＝，AF＝，DF＝，
∴AD＝AF+DF＝，
∵＝，
∴BE＝．
综上所述，BE为或．
23．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．
（1）求抛物线解析式；
（2）E（m，0）是x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．
①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请直接写出m的值．
【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；
（2）分两种情况讨论，由两点距离公式和勾股定理可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求BP解析式，联立方程可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），
∴0＝﹣3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，则，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵ED⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＜90°，
设点E（m，0），点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，﹣m+3），
∴PD2＝（﹣m2+3m）2，BP2＝m2+（﹣m2+2m）2，BD2＝m2+（﹣m+3﹣3）2＝2m2，
当∠PBD＝90°时，BP2+BD2＝PD2，
∴m2+（﹣m2+2m）2+2m2＝（﹣m2+3m）2，
∴m＝1，m＝0（舍去），
∴点E的坐标为（1，0），
当∠BPD＝90°时，BP2+PD2＝BD2，
∴m2+（﹣m2+2m）2+（﹣m2+3m）2＝2m2，
∴m＝0（舍去），m＝3（舍去），m＝2，
∴点E的坐标为（2，0），
综上所述：点E的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）当点P在x轴上方时，如图1，连接BC，延长BP交x轴于N，
∵点A（3，0），点B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠BAO＝∠PBD+∠BNO＝45°，
∴∠CBO＝∠BNO，
又∵∠BOC＝∠BON＝90°，
∴△BCO∽△NBO，则，
∴，
∴ON＝9，
∴点N（9，0），
∴直线BN解析式为：y＝﹣x+3，
∴﹣x+3＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝，
∴点P的横坐标为，
∴m＝；
当点P在x轴下方时，如图2，连接BC，设BP与x轴交于点H，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠OBH+∠PBD＝45°，
∴∠CBO＝∠OBH，
又∵OB＝OB，∠COB＝∠BOH，
∴△BOH≌△BOC（ASA），
∴OC＝OH＝1，
∴点H（1，0），
∴直线BH解析式为：y＝﹣3x+3，
∴﹣3x+3＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝5，
∴点P的横坐标为5，
∴m＝5，
综上所述：m＝5或．
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