2020年中考（通用）数学二轮复习难点突破：反比例函数综合题 含答案


2020年中考（通用）数学二轮复习难点突破：反比例函数综合题
1．菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B落在y轴正半轴上，点A、D落在第一象限内，且D点坐标为（4，3）．

（1）如图1，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，求k的值；
（2）菱形ABCD向右平移t个单位得到菱形A1B1C1D1，如图2．
①请直接写出点B1、D1的坐标（用含t的代数式表示）：B1　 　、D1　 　；
②是否存在反比例函数y＝（x＞0），使得点B1、D1同时落在y＝（x＞0）的图象上？若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．
2．正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y＝（x＞0）．
（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）的关系式；
（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，
①求△A'EF的面积；
②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在明理由．

3．如图，点A （2，4）在函数y＝（k＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线BD上一点，点E也在函数y＝（k＞0）的图象上．
（1）求k的值；
（2）当∠ABD＝45°时，求E点坐标．

4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点．已知AB＝6，AD＝8，∠DAB＝60°，点B的坐标为（﹣6，0）．

（1）求点D和点M的坐标；
（2）如图①，将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点D′和点M的对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，M′作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以B′，C′，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
5．如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx+b与坐标轴交于A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）经过一次函数上一点C （2，a）．
（1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象；
（2）依据图象直接写出当x＞0时不等式kx+b＞的解集；
（3）若反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b交于C、D两点，使用直尺与2B铅笔构造以C、D为顶点的矩形，且使得矩形的面积为10．

6．如图，直线y＝ax+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝4，点A的坐标为（﹣4，0）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，过点Q作QH⊥x轴于点H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．

7．定义：若实数x，y，x'，y'满足x＝kx'+2，y＝ky'+2（k为常数，k≠0），则在平面直角坐标系xOy中，称点（x，y）为点（x'，y'）的“k值关联点”．例如，点（3，0）是点（1，﹣2）的“1值关联点”．
（1）在A（2，3），B（1，3）两点中，点　 　是P（1，﹣1）的“k值关联点”；
（2）若点C （8，5）是双曲线y＝（t≠0）上点D的“3值关联点”，求t的值和点D的坐标；
（3）设两个不相等的非零实数m，n满足点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，求点F到原点O的距离的最小值．
8．如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝k2x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，m）两点，一次函数的图象与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x为何值时，y2＞0？
（3）已知点P（0，a）（a＞0），过点P作x轴的平行线，在第一象限内交一次函数y2＝k2x+b的图象于点M，交反比例函数y1＝的图象于点N．结合函数图象直接写出当PM＞PN时a的取值范围．

9．如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．

（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；
（2）如图（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标；
（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
10．如图，如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B （1，﹣3）．
（1）填空：一次函数的解析式为　 　，反比例函数的解析式为　 　；
（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．

11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，4）．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0），当随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写过程）．

12．如图，在平面直角坐标系中，点A（m，n）（m＞0）在双曲线y＝上．
（1）如图1，m＝1，∠AOB＝45°，点B正好在y＝（x＞0）上，求B点坐标；
（2）如图2，线段OA绕O点旋转至OC，且C点正好落在y＝上，C（a，b），试求m与a的数量关系．
13．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足＝2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标．

15．如图，直线y＝﹣x+6与反比例函数y＝（x＞0）分别交于点D、A（AB＜AC），经探索研究发现：结论AB＝CD始终成立．另一直线y＝mx（m＞0）交线段BC于点E，交反比例函数y＝（x＞0））图象于点F．
（1）当BC＝5时：
①求反比例函数的解析式．
②若BE＝3CE，求点F的坐标．
（2）当BE：CD＝1：2时，请直接写出k与m的数量关系．

16．对于平面直角坐标系xOy中的任意点P（ x，y），如果满足x+y＝a（x≥0，a为常数），那么我们称这样的点叫做“特征点”．
（1）当2≤a≤3时，
①在点A（1，2），B（1，3），C（2.5，0）中，满足此条件的特征点为　 　；
②⊙W的圆心为W（m，0），半径为1，如果⊙W上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m的取值范围；
（2）已知函数Z＝+x（x＞0），请利用特征点求出该函数的最小值．

17．如图，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y＝图象上，过点B作BF⊥OC，垂足为F，设OF＝t．
（1）求∠ACO的正切值；
（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；
（3）已知直线y＝2x+2与反比例函数y＝图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x轴，求m的值．

18．如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．
（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；
（2）求△AOD的面积；
（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．










参考答案
1．解：（1）如图，作DF⊥x轴于点F，

∵点D的坐标为（4，3），
∴FO＝4，DF＝3，
∴DO＝5，
∴AD＝5．
∴A点坐标为（4，8），
∴xy＝4×8＝32，
∴k＝32；

（2）①平移后B1、D1的坐标分别为：（t，5），（t+4，3），
故答案为：（t，5），（t+4，3）；

②存在，理由如下：
∵点B1、D1同时落在（x＞0）的图象上B1（t，5），D1（t+4，3），
∴5t＝n，3（t+4）＝n，
解得：t＝6，n＝30
所以，存在，此时n＝30．
2．解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），
∴点D（1，3），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3，
故反比例函数表达式为：y＝；

（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），
则平移后点E纵坐标为3，则点E（3，1），
同理点F（，2），
△A'EF的面积＝S正方形A′B′C′D′﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝；

（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），
设点P（m，0），
则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝，EP2＝（m﹣3）2+1，PF2＝（m﹣）2+4，
当EF＝EP时，即＝（m﹣3）2+1，解得：m＝或；
当EF＝PF时，同理可得：m＝（舍去负值）；
当EP＝PF时，同理可得：m＝，
故点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
3．解：（1）∵点A （2，4）在函数y＝（k＞0）的图象上，
∴4＝，
解得，k＝8；
（2）作EG⊥BC于G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴EG＝BG，
设EG＝a，则OG＝2+a，
∴点E的坐标为（2+a，a），
∵点E也在函数y＝（k＞0）的图象上，
∴（2+a）×a＝8，
整理得，a2+2a﹣8＝0，
解得，a1＝﹣4（舍去），a2＝2，
此时，E点坐标为（4，2）．

4．解：（1）∵AB＝6，点B的坐标为（﹣6，0），
∴点A（﹣12，0），
如图1，过点D作DE⊥x轴于点D，

则ED＝ADsin∠DAB＝8×＝4，同理AE＝4，
故点D（﹣8，4），则点C（﹣2，4），
由中点公式得，点M（﹣4，2）；

（2）图象向右平移了a个单位，则点D′（a﹣8，4）、点M′（a﹣4，2），
∵点D′M′都在函数上，
∴（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2，
解得：a＝12，
则k＝（12﹣8）×4＝16，
故反比例函数的表达式为＝；

（3）由（2）知，点M′的坐标为（8，2），点B′、C′的坐标分别为（6，0）、（10，4），
设点P（m，2），点Q（s，t）；
①当B′C′是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′，

过点C′作C′H⊥l交于点H，C′H＝4﹣2＝2，
直线B′C′的倾斜角为60°，则∠M′PC′＝30°，PH＝C′H÷tan∠M′PC′＝2＝6，
故点P的坐标为（16，2），
由题意得：点P、Q′关于点C′对称，由中点公式得，点Q的坐标为（12，﹣4）；
同理点Q、Q′关于点M′对称，由中点公式得，点Q′（4，6）；
故点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）；
②当B′C′是矩形的对角线时，
∵B′C′的中点即为PQ的中点，且PQ＝B′C′，
∴，解得：，，
故点Q的坐标为（4，2）或（12，2）；
综上，点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）或（4，2）或（12，2）．
5．解：（1）∵一次函数y＝kx+b过点A（0，4），点B（8，0），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+4；
∵点C在一次函数图象上，
∴a＝﹣×2+4＝3，
∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C （2，3），
∴m＝6，
∴反比例函数解析式为：y＝，
图象如图所示：

（2）∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+4交于C、D两点，
∴＝﹣x+4，
∴x1＝2，x2＝6，
∴点D（6，1），
由图象可得：当2＜x＜6时，y＝kx+b的图象在y＝图象的上方，
∴不等式kx+b＞的解集为2＜x＜6；
（3）如图，若以CD为边，则矩形ABDC，矩形A'B'DC为所求，

若以CD为对角线，则矩形DEDF为所求．
6．解：（1）把A（﹣4，0）代入y＝ax+2，
得，﹣4a+2＝0，解得a＝，
故直线AB的解析式为y＝x+2，
把y＝4代入y＝x+2，得，x+2＝4，
解得x＝4，
∴点P（4，4）．
把P（4，4）代入y＝，得k＝16，
故双曲线的解析式为y＝；
（2）把x＝0代入y＝x+2，得y＝2，
∴点B的坐标为（0，2），
∴OB＝2，
∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，
设Q（m，），则CH＝m﹣4，QH＝，
由题意可知∠AOB＝∠QHC＝90°，
当△AOB∼△QHC时，，即，
解得：m1＝2+2，m2＝2﹣2 （不合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（2+2，4﹣4），
当△BOA∼△QHC时，，即，
解得m1＝8，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（8，2）．
综上可知，点Q的坐标为（2+2，4﹣4）或（8，2）．
7．解：（1）若点A（2，3）是P（1，﹣1）的“k值关联点”，
∴k＝≠，不合题意，
若点B（1，3）是P（1，﹣1）的“k值关联点”，
∴k＝＝＝﹣1，符合题意，
故答案为：B；
（2）设点D坐标为（x，y），
∵点C （8，5）是点D的“3值关联点”，
∴
∴
∴点D坐标为（2，1），
∵点D是双曲线y＝（t≠0）上点，
∴t＝2×1＝2；
（3）∵点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，
∴，
∴m2n+mn2﹣2n＝2n2m﹣2m，
∴（m﹣n）（mn+2）＝0，
∵m≠n，
∴mn＝﹣2，
∴m＝，
∵（m﹣n）2≥0，
∴m2+n2﹣2mn≥0，
∴m2+n2≥2mn，
∴m2+n2＝+n2≥2×n×＝4，
∴点F到原点O的距离＝＝，
∴点F到原点O的距离的最小值为2．
8．解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，3），
∴，
∴k1＝3，
∴反比例函数表达式为：；
∵点B（3，m）在函数的图象上，
∴，
∴B（3，1）．
∵一次函数y2＝k2x+b的图象过点A（1，3），B（3，1），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为：y2＝﹣x+4；
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为，y2＝﹣x+4．
（2）∵当y2＝0时，﹣x+4＝0，x＝4，
∴C（4，0），
由图象可知，当x＜4时，y2＞0．
（3）如图，

由图象可得，当1＜a＜3时，PM＞PN．
9．解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED＝90°．

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ODC+∠EDA＝90°．
∵∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠EDA＝∠OCD，
在△AED和△DOC中
，
∴△AED≌△DOC（AAS），
∴OD＝EA＝5，
∴点D的纵坐标为5；
（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，

设OD′＝a，OC′＝b，
同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，
∴C′N＝OD′＝A′M＝a，B′N＝C′O＝D′M＝b，
∴A′（a，a+b），B′（a+b，b），
∵点A′、B′在反比例函数y＝的图象上，
∴a（a+b）＝8，b（a+b）＝8，
∴解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去），
∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；
（3）设直线A′B′的解析式为y＝mx+n，
把A′（2，4），B′（4，2）代入得
，
解得，
∴直线A′B′解析式为y＝﹣x+6，
同样可求得直线C′D′解析式为y＝﹣x+2，
由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），
当A点在直线C′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝，
此时点A的坐标为（，），
∴k＝×＝；
当点D在直线A′B′上时，有m＝6，此时点A的坐标为（6，12），
∴k＝6×12＝72；
综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤72．
10．解：（1）∵点A（m，1）和B （1，﹣3）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1，
∴m＝﹣3，
∴点A（﹣3，1），
∴反比例函数解析式为：y＝；
∵一次函数y＝﹣x+b过点B（1，﹣3），
∴﹣3＝﹣1+b，
∴b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣2；
故答案为：y＝﹣x﹣2，；
（2）如图1，当∠ABP＝90°时，过点P作CD⊥x轴，过点A作AC⊥DC于C，过点B作BD⊥CD于D，

设点P的坐标为（x，0），
∴AC＝x+3，CP＝1，PD＝3，BD＝x﹣1，
∵∠APB＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝90°，
又∵∠APC+∠CAP＝90°，
∴∠CAP＝∠BPD，
又∵∠C＝∠BDP＝90°，
∴△ACP∽△PBD，
∴，
∴，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），
∴点P（﹣1+，0）；
当∠ABP＝90°时，

∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴点C（﹣2，0），点D（0，﹣2），
∴OC＝2，OD＝2，CD＝2，BC＝3，
∵tan∠OCD＝，
∴，
∴CP＝6，
∵点C（﹣2，0），
∴点P（4，0），
综上所述：点P的坐标为（，0）或（4，0）．
11．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵B（4，1），C（4，4），
∴BC⊥x轴，AD＝BC＝3，
而A点坐标为（1，0），
∴点D的坐标为（1，3）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的函数图象经过点D（1，3），
∴3＝，
∴m＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）当x＝4时，y＝kx+4﹣4k＝4k+4﹣4k＝4，
∴一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；

（3）设点P的横坐标为a，
∵一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，
∴k＞0，P点的纵坐标要小于4，横坐标大于4，
当纵坐标小于4时，
∵y＝，
∴＜4，解得：a＞，
则a的范围为a＞1或a＜．
12．解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥OA，交OB于D，作DF⊥AE于点F，

∵点A（m，n）（m＞0）在双曲线y＝上，
∴mn＝4，
∵m＝1，
∴n＝4，
∴A（1，4），
∴AE＝1，OE＝4，
∵AO⊥AD，∠AOD＝45°，
∴∠AOD＝∠ADO＝45°，
∴AO＝AD，
∵∠AOE+∠EAO＝90°，∠EAO+∠DAF＝90°，
∴∠AOE＝∠DAF，
又∵∠AEO＝∠F＝90°，AO＝AD，
∴△AOE≌△DAF（AAS），
∴AE＝DF＝1，OE＝AF＝4，
∴EF＝5，
∴点D（5，3），
∴直线OD解析式为：y＝x，
联立方程组可得
∴x＝，
∴点B（，）；
（2）∵点A（m，n），点C（a，b）在反比例函数图象上，
∴A（m，），B（a，），
∵线段OA绕O点旋转至OC，
∴OA＝OC，
∵OA2＝OC2，
∴m2+＝a2+，
∴（m2﹣a2）（1﹣）＝0，
∵m≠a，
∴m+a＝0或ma＝4或ma＝﹣4．
13．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
（3）存在，
理由如下：联立，
解得：或，
∴B点坐标为（2，1），
∵点P在y轴上，
∴设P（0，m），
∴AB＝＝，AP＝，PB＝，
若BP为斜边，
∴BP2＝AB2+AP2 ，
即 ＝2+，
解得：m＝1，
∴P（0，1）；
若AP为斜边，
∴AP2＝PB2+AB2 ，
即 ＝+2，
解得：m＝﹣1，
∴P（0，﹣1）；
综上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）．
14．解：∵点A坐标（2，3），
∴AH＝3，
∵＝2，
∴BH＝1，AB＝2，
∴点B（2，1），
设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
∵点B在反比例函数的图象上，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，
∵AB⊥x轴，
∴CD⊥x轴，
∴点D纵坐标2，
∴点D坐标（1，2）．
15．解：（1）①针对于直线y＝﹣x+6，令x＝0，则y＝6，
∴A（0，6），
∴OA＝6，
令y＝0，则0＝﹣x+6，
∴x＝8，
∴D（8，0），
∴OD＝8，
∴AD＝10，
∵BC＝5，
∴AB+CD＝AD﹣BC＝5，
∵AB＝CD，
∴AB＝，
过点B作BG⊥y轴于G，
∴∠AGB＝90°＝∠AOB，
∵∠BAG＝∠DAO，
∴△ABG∽ADO，
∴，
∴，
∴AG＝，BG＝2，
∴OG＝OA﹣AG＝，
∴B（2，），
∵点B在反比例函数y＝（x＞0））图象上，
∴k＝2×＝9，
∴反比例函数的解析式为y＝；

②∵BC＝5，
∴BE+CE＝5，
∵BE＝3CE，
∴BE＝，
∴AE＝AB+BE＝，
过点E作EH⊥y轴于H，
∴∠AHE＝90°＝∠AOB，
∵∠HAE＝∠OAD，
∴△HAE∽△OAD，
∴，
∴，
∴AH＝，BG＝5，
∴OH＝OA﹣AH＝，
∴E（5，），
∴直线OE的解析式为y＝x，
联立，解得，（舍）或，
∴F（2，）；

（2）∵BE：CD＝1：2，
∴BE＝a，则CD＝2a，
∴AB＝CD＝2a，
∴AE＝AB+BE＝3a，
过点E作EH⊥y轴于H，
同（1）的方法得，△HAE∽△OAD，
∴，
∴，
∴AH＝a，EH＝a，
∴OH＝OA﹣AH＝6﹣a，
∴E（a，6﹣a），
将点E坐标代入直线y＝mx（m＞0）中，解得am＝6﹣a，
∴a＝，
将点E的坐标代入反比例函数y＝（x＞0）中，
解得，k＝a（6﹣a）＝a（10﹣3a）＝×（10﹣）＝．

16．解：（1）①∵1+2＝3，1+3＝4，2.5+0＝2.5，
又∵2≤a≤3，
∴A，C是特征点．
故答案为：A，C．

②如图2中，

当⊙W1与直线y＝﹣x+2相切时，W1（2﹣，0），
当⊙W2与直线y＝﹣3相切时，W2（3+，0），
观察图象可知满足条件的m取值范围为：2﹣≤m≤3+．

（2）∵x＞0，
∴y＝的图象在第一象限，这个图象上的点的坐标为（x，），
∵特征点满足x+y＝a（x≥0，a为常数），
∴x+＝a，特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，x+的值最小（如图3中），

此时交点的坐标为（1，1），
∴Z＝x+的值最小，最小值为2．
17．解：（1）∵直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点A（﹣1，0），点C（0，2）
∴OA＝1，OC＝2，
∴tan∠ACO＝＝；
（2）∵四边形ACBE是矩形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCF＝90°，且∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACO＝∠CBF，
∵OF＝t，
∴CF＝2﹣t，
∵tan∠CBF＝tan∠ACO＝，
∴BF＝4﹣2t，
∴点B（4﹣2t，t）；
（3）如图，连接DE，交x轴于H点，

∵DE⊥x轴，
∴∠AHE＝90°，
∴∠HAE+∠AEH＝90°，且∠CAO+∠HAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCF＝90°，
∴∠AEH＝∠BCF，且∠CFB＝∠AHE，AE＝BC，
∴△BCF≌△AEH（AAS）
∴AH＝BF＝4﹣2t，CF＝HE，
∵点A（﹣1，0），
∴点H（3﹣2t，0），
∴当x＝3﹣2t时，y＝2（3﹣2t）+2＝8﹣4t，
∴点D坐标为（3﹣2t，8﹣4t），
∵点D，点B都在反比例函数y＝上，
∴（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t）
∴t1＝2（不合题意舍去），t2＝；
∴点B（，）
∴m＝×＝．
18．解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，
∴点A，点B关于原点对称，
∴点B的横坐标为1，
∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；
（2）连接OC，OE，
由图象知，点A，点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴OC＝AB＝AO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∴S△AEO＝S△ACE＝，
∵AD＝2DE，
∴AE＝DE，
∴S△AOD＝2S△AOE＝3；
（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，
则EF∥AH，
∵AD＝2DE，
∴DE＝EA，
∵EF∥AH，
∴＝＝1，
∴DF＝FH，
∴EF是△DHA的中位线，
∴EF＝AH，
∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，
∴OF•EF＝OH•HA，
∴OH＝OF，
∴OH＝HF，
∴DF＝FH＝HO＝DO，
∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，
∴﹣＝1，
∴k＝﹣2，
∴y＝﹣，
∵点A在y＝﹣的图象上，
∴把x＝﹣1代入得，y＝2，
∴A（﹣1，2），
∵点A在直线y＝mx上，
∴m＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，
当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，
则OM＝2，
∴点M的坐标为（0．﹣2）；
当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，
∴OM＝2PG＝4，
∴点M的坐标为（0．﹣4）；
综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．